Duopolul

Duopolul

Cadrul conceptual

Consideram piata unui produs, pentru care oferta este asigurata de un numar redus de producatori. Fiecare din acesti producatori detine o cota parte din desfacerea pe piata, atomicitatea cererii fiind trasatura esentiala a consumatorilor acestui produs. Cererea de factori necesari productiei se realizeaza pe piata cu concurenta perfecta; este o ipoteza simplificatoare pentru demersul analizei cantitative ce-l vom derula in continuare, ipoteza ce nu afecteaza continutul legitatilor ce vor fi evidentiate privind comportamentul producatorilor pe piata produsului analizat. Eliminarea acestei ipoteze conduce la introducerea caracteristicilor de monopson a factorilor achizitionati in conditiile respective, modelul matematic al functiei de cost fiind similar cu cel analizat in cap.8 § 8.2.

Ansamblul producatorilor ce asigura oferta pe piata produsului in ipotezele precizate mai sus formeaza asa numitul oligopol si piata este piata de oligopol.

In cazul particular cand numarul producatorilor este doi, numim aceasta structura de piata, duopol.

Vom incepe analiza cu duopolul, in mod progresiv cu gradul de complexitate, chiar daca este posibila si varianta reciproca de a studia mecanismul de oligopol si apoi prin particularizare pentru N = 2 producatori sa deducem legitatile duopolului.

Este caracterizat de mecanismele precizate mai sus, pentru N = 2 producatori ce concureaza pentru acapararea pietei produsului analizat.

Problemele care se pun sunt:

      cum isi impart piata si in consecinta care va fi decizia de productie a fiecarei firme pentru a-si maximiza profitul?

      Care va fi nivelul pretului produsului?

Tinand seama de concurenta acerba si de dorinta fiecarui producator de a domina piata, s-au dezvoltat in literatura de specialitate o diversitate de modele, in functie de caracteristicile specifice ale comportamentului celor doi producatori.

Echilibrul Cournot pe piata de duopol

Notam cele doua firme cu F₁ si F₂; cum cererea totala pe piata este limitata, q, data prin functia (inversa) a cererii:

P = s(q)        (9.1)

fiecare firma va produce o cantitate , in functie de cat produce cealalta firma, deci q₁+q₂=q. Dar la un moment t, firma F₁ nu stie cu exactitate (prin secretul strict pastrat) cat va produce concurenta sa, F₂ si reciproc - cu exceptia accidentala a informarii prin spionaj economic, situatie care ar fi posibila numai la un moment oarecare t₁, deci nesemnificativa in general, prin masurile de stopare a scurgerii de informatii lu 757b13h ate de firma spionata in urma semnalelor date de piata.

In consecinta este natural sa pornim de la ipoteza ca fiecare firma va face o predictie (va anticipa) cat va produce concurenta sa. Notam cu q_j - cantitatile efective decise a fi produse de fiecare firma si q₁^a,q₂^a anticiparile facute de F₂ respectiv de F₁ asupra productiei pe care considera ca o va realiza concurenta F₁ respectiv F₂.

Functiile de cost sunt deterministe:

C₁(q₁) - pentru firma F₁

C₂(q₂) - pentru firma F₂.

Dar veniturile si profiturile sunt anticipate:

(9.2.a)

(9.2.b)

respectiv:

(9.3.a)

(9.3.b)

Static, se poate construi "tabelul de bord" al anticiparilor:

A.     Identificarea curbelor de reactie anticipate

Asa cum am mentionat, productia fiecarei firme va fi functie de cat anticipeaza ca produce concurenta:

functii ale caror grafice, in sistemul de axe (q­₁,q₂) - numit in teoria sistemelor si "spatiul fazelor", sunt curbe numite "curbe de reactie" ale fiecarei firme in raport cu cat anticipeaza ca va produce firma concurenta.

Identificarea acestor curbe se face prin rezolvarea problemelor de maximizare a profitului anticipat.

max (9.3')

Deducem (C.N.O):

(9.3'')

sub restrictia conditiei de ordinul 2:

(9.3''')

Se constata existenta acelorasi legitati binecunoscute ale mecanismului decizional:

egalitatea intre veniturile marginale si costurile marginale inregistrate la fiecare firma si

conditia ca variatia costurilor marginale sa devanseze pe cea a veniturilor marginale, conditie garantata (deci suficienta) cand deciziile de productie apartin domeniului pe care costul marginal este crescator si venitul marginal este descrescator.

Tinand cont de expresia veniturilor anticipate (9.2) a) si b), deducem sistemul:

din care, prin rezolvare, se obtin, in ordine, curbele de reactie anticipata ale fiecarei firme, adica si .

Exemplu: Consideram cazul cand functia cererii pe piata produsului este liniara:

(9.5)

si presupunem ca firmele au randamente constante de scara, deci functiile de cost (total) sunt liniare:

si (9.6)

unde - sunt costurile fixe ale celor doua firme - daca analiza se face pe termen scurt sau =0, daca analiza se face pe termen lung).

Sistemul (CNO) devine:

din care obtinem functiile (curbele) de reactie a celor doua firme, care in acest caz sunt dreptele:

(F₁)                   (9.4.A)

(F₂)                 (9.4.B)

si exista numai daca< a, adica atunci cand costul mediu variabil al fiecarei firme este mai mic decat pretul maxim oferit de cel putin un consumator cand oferta s-ar reduce le zero.

Conditia de ordin 2 este verificata; gasim: -2b < 0 - adevarat.

Studii de caz propuse

Identificati curbele de reactie daca:

a)      costurile marginale sunt descrise prin functii liniare:

(9.6')

b)      costurile sunt "normale", adica parabole de ordinul 3:

(9.6")

cand curba cererii este liniara (9.5)

Aceeasi problema, cand functia de cerere este o parabola trunchiata:

p = aq² + bq +c ,              (9.5')

in care caz precizati si conditiile pentru parametrii a, b, c, astfel ca (9.5') sa fie o curba de cerere.

Indicatie Trebuie ca (q) = aq² + bq + c sa fie descrescatoare, deci exista doua variante (vezi fig. (9.1)):

(q)  - convexa, cand a > 0

(q)  - concava, cand a < 0

care reflecta comportamentul consumatorilor: in prima situatie (a>0) pretul scade accelerat; in cea dea doua pretul scade din ce in ce mai lent.

Aceeasi problema, cand functia de cerere este hiperbolica:

, cu a > 0, b > 0 (9.5")

Cercetati cazurile cand b = 1 sau b > 1, sau b < 1.

Formulati functii de cerere cu punct de inflexiune, in cele doua variante (mai intai convexe, apoi concave si invers)

B.      Anticipari in echilibrul Cournot. Nucleul duopolului

Ipoteza care se face asupra anticiparilor este ca firmele au informatie completa asupra productiei concurentei, deci:

si (9.7)

In aceste conditii functiile de reactie f₁ si f₂ devin deterministe si se obtin din sistemul (9.3") fara anticipare:

si cum  

se deduce:

Din prima ecuatie se obtine functia q₁ = f₁(q₂) si din a doua,
q₂ = f₂(q₁).

In consecinta, nucleul duopolului in echilibrul de tip Cournot este si p* = s(q*) unde q* = obtinut din sistemul:

deci la intersectia curbelor de reactie f₁ si f₂.

In figura 9.2 se prezinta mecanismul realizarii echilibrului de tip Cournot, un mecanism complex in care conditiile pietei (cererea si echilibrul pe piata) sunt reflectate in figura b), in partea dreapta, in cadranul I, iar comportamentul firmelor este reprezentat in figura a), in stanga, in cadranele I, II si IV astfel:

   In cadranul I, in axele  (q₁,p) este ilustrat mecanismul decizional al firmei F₁;

   In cadranul II, in axele  (q₂,p) este ilustrat mecanismul decizional al firmei F₂ .(atentie!: q₂ este pozitiv si nu se interpreteaza ca in cazul unei singure variabile, la stanga ordonatei - valorile sunt negative); graficele costului marginal si venitului marginal se obtin in aceasta reprezentare cu q­₂ spre stanga, prin reprezentarea in mod obisnuit (cu q₂ spre dreapta) si rabatarea prin simetrie fata de axa verticala, in cadranul II).

  

q

In cadranul IV sunt reprezentate functiile de reactie f₁ si f₂ ale celor doua firme in axele (q₁,q₂).

Oferta totala pe piata, q = q₁ + q₂ este deci functie de decizia fiecarei firme si se obtine prin proiectia cantitatilor q₂ respectiv q₁ din cadranul III (al firmelor), pe axa verticala din cadranul IV (al pietei), apoi prin rabatare pe bisectoare (dreapta la 45 , din figura b) se obtine cantitatea produsa
q* = pe axa ofertei pe piata (axa orizontala din figura b) si in consecinta, la intersectia cu curba cererii p = se obtine pretul de echilibru p* care defineste pozitia curbelor veniturilor marginale si din cadranele I si II ale firmelor.

Pentru obtinerea cantitatilor produse de fiecare firma, trebuie sa avem concordante intre deciziile si rezultate din cadranul I si II cu cele rezultate din functiile de reactie (cadranul IV).

Aceasta concordanta se obtine prin reprezentarea in cadranul III
a bisectoarei care reflecta, prin rabatarea cantitatii de pe abcisa cadranului II egalitatea cu nivelul lui rezultat din echilibrul dat de functiile de reactie si inregistrat pe ordonata cadranului IV.

Pentru o mai buna intelegere a acestor interdependente destul de complexe propunem refacerea concreta a figurii 9.2 in conditiile functiilor de cost si de cerere studiate in exemplul 1, adica pentru functiile liniare (9.5) si (9.6), fie in cazul teoretic, fie in cazul numeric. Acelasi exercitiu se propune si pentru unul (sau mai multe) din studiile de caz prezentate mai sus.

C.     Mecanismul ajustarii dinamice a echilibrului de tip Cournot

Ipoteza facuta in paragraful anterior este evident nerealista, dar vom demonstra ca nivelul de echilibru astfel obtinut este punctul de echilibru stationar al unui proces dinamic de ajustari ale anticiparilor, deci un proces dinamic stabil, ce poate fi reprezentat in spatiul fazelor (axele (q₁, q₂)). Cea mai intuitiva metoda de anticipare este aceea de a lua ca functii de reactie:

deci decizia de productie a unei firme este functie de cat a produs concurenta in perioada anterioara.

Se evidentiaza astfel doua procese dinamice de ordin 2:

Astfel, la sfarsitul perioadei t = 0, firmele cunosc ofertele concurentilor in perioada respectiva: respectiv .

Atunci decizia lor pentru perioada t = 1, t = 2, t = 3, . va fi reflectata prin functiile:

t = 1 :      si

t = 2 :      si

t = 3 :      si

etc.

Teorema: Daca procesele dinamice reflectate prin ecuatiile cu diferente finite:sunt stabile, atunci exista echilibru stationar al duopolului (, ), unde si sunt solutiile ecuatiilor algebrice:

Nota aici inseamna productia firmei j la momentul t.

Consecinta 1 Exista echilibru al duopolului in conditiile anticipari-lor de tip (9.4'.a) si (9.4'.b), daca functiile de reactie ale celor doua firme verifica conditiile ca prin compunerea lor, functiile si sa admita punct fix.

Observatie: Conditiile de punct fix sunt fundamentate prin teoremele de punct fix studiate in cursul de matematica (teorema Brower, teorema Kakutani etc.)

Consecinta 2: Daca f₁ si f₂ sunt liniare, atunci conditia de stabilitate este ca valorile proprii ale ecuatiilor caracteristice (de gradul 2) atasate proceselor dinamice (9.9',a) si (9.9'.b) sa fie, in modul, subunitare.

Exemplul 2: Pentru ilustrare sa studiem aceste procese in conditiile exemplului 1 de mai sus. Deducem procesul dinamic:

adica:

Ecuatiile caracteristice sunt:

(in acest caz coincid), deci valorile proprii sunt , adica , si, in consecinta, exista punctul stationar al procesului, deci echilibrul duopolului:

,

Ca o consecinta, firma F₁ va detine o parte mai mare din piata, daca , deci firma care are costuri marginale mai reduse (in acest caz, costuri medii variabile mai reduse) va domina piata de duopol.

Pretul pietei va fi:

p* = s(q*) = a-bq*

unde oferta este deci

Ce putem spune? Daca este cel mai mic cost variabil, atunci:

si cum a>din cele doua relatii rezulta p*>deci, cu siguranta, pretul pietei acopera costurile medii variabile ale firmei dominante pe piata.

Cum , putem scrie: , deci nu putem trage concluzia ca p*>deoarece (), astfel ca se inregistreaza doua situatii:

P*>, caz in care firma F₂ va rezista pe piata de duopol

P*<, caz in care daca F2 nu se redreseaza pe termen lung, va fi inlaturata, situatie care asigura firmei F₁ dominatie de monopol.

In conditii similare se studiaza si scenariile propuse in §A.

D.     Curbele de izoprofit si echilibrul Cournot

Daca q₁ si q₂ sunt variabile, curbele de izoprofit ale celor doua firme vor fi locul geometric al combinatiilor (q₁, q₂) pentru care profitul ramane acelasi. Din ecuatiile profitului (9.3.a) si (9.3.b) se gasesc curbele izoprofitului, sub forma implicita:

si sub forma explicita:

Pentru diverse valori ale lui π₁ respectiv π₂ se obtin familiile de curbe ale izoprofitului.

Consecinta 1. Varfurile acestor curbe se afla pe curbele de reactie:

Aceasta consecinta decurge din CNO, (9.3"), din care am dedus f₁ si f₂.

Consecinta 2 Curbele izoprofitului maxim ,:

sunt tangente in punctul de intersectie al curbelor de reactie, deci in punctul de echilibru al duopolului de tip Cournot.

Pentru ilustrare, vom determina curbele de izoprofit in conditiile exemplelor 1 si 2 de mai sus (vezi figura 9.3).

Curba (implicita) a izoprofitului firmei F₁ este:

R₁(q₁ + q₂) - C₁(q₁) = π₁

adica:   aq₁ - bq₁(q₁ + q₂) - a b q₁ = π₁ , deci familia de parabole (cu parametrul π₁):

Ecuatia explicita este:

Graficul:  asimptotele: q₁ Þ q₂ ¥

q₁ ¥ Þ q₂ ¥

Pentru q₂ = 0 se obtin punctele de intersectie cu abscisa, ca solutii ale ecuatiei . Stim, in plus, ca punctele de maxim ale curbelor (10.10.A) se afla pe curba de reactie f₁.

Similar se obtin curbele izoprofitului firmei F₂, dar graficul se face in sistemul de axe  - abcisa si - ordonata.

Astfel, daca vom considera curba , in oricare punct A de pe aceasta curba, profitul firmei F₁ va fi maxim, dar productia firmei F₁ va fi >si a celei de-a doua, <, care este atat de mica incat nu poate accepta situatia de pe piata respectiva, deci va actiona astfel incat firma F₁ sa-si micsoreze productia (oferta pe piata) prin apropiere de functia sa de reactie f₁, pana cand punctul A se va suprapune peste punctul de echilibru E.

Similar, daca decizia initiala a celor doua firme ar corespunde unui punct B de pe curba izoprofitului maxim al firmei F₂.

Cartelul pe piata de duopol

A.     Nucleul duopolului in conditii de cartel

Analiza facuta pe baza curbelor de izoprofit in mecanismul de tip Cournot, reflecta labilitatea in interactiunea celor doua firme pe piata de duopol in conditiile adoptarii functiilor de reactie individuale prin anticiparea deciziei firmei concurente privind oferta pe piata a acesteia. In consecinta, ipoteza cunoasterii perfecte a strategiei concurentei nu este suficient de realista, asa cum am aratat in paragraful precedent. O forma specifica de actiune, in acest context, a celor doua firme este cea de cooperare, cele doua firme urmarind maximizarea profitului comun. Se obtine problema:

unde q = q₁ + q₂ si p = s(q) este functia de cerere a pietei.

Conditiile de optim (CNO) sunt:

care reflecta cerinta ca venitul marginal inregistrat pentru fiecare firma sa egaleze costul marginal al acestei firme.

Dar

si cum ,

se obtine (CNO) pentru firmele F₁ si F₂:

adica decizia optima se inregistreaza cand

(9.12)

deci numai cand firmele au acelasi cost marginal in vecinatatea nucleului duopolului.

Teorema Nucleul duopolului, in actiunea de tip cartel pe piata, este q* = unde si sunt cantitatile ofertate de cele doua firme, deduse ca solutii ale sistemului 9.11'. a) si b) si pretul pe piata va fi: p* = s(q*), daca functiile de cost ale celor doua firme, care reflecta tehnologia detinuta, se incadreaza in cerintele conditiilor de ordin 2:

   Matricea hessiana a profitului comun, H_π este negativ definita

Observatie: Matricea hessiana este:

(9.13)

si conditia de a fi negativ definita impune cerintele:

si det H_π > 0, (9.13')

adica        (9.13'.a)

si                      (9.13'.b)

Asadar, conditia necesara a echilibrului duopolului in actiunea de tip cartel pe piata, este ca profiturile marginale a celor doua firme sa fie descrescatoare.

Propunem pentru ilustrare studiul de caz in variantele:

a)      Functia de cerere a pietei este liniara:

p = a - bq   (9.11.A)

b)      Functiile de cost ale celor doua firme sunt:

b₁)  liniare: C_j(q_j) = (9.11.B)

unde (acest caz corespunde situatiei cand cele doua firme au o activitate caracterizata prin RSC (randamente de scara constante)).

b₂) C_j(q_j) = (9.11.C)

b₃₎ C_j(q_j) = (9.11.D) (adica un cost de tip "normal").

B.      Comparatia cu duopolul de tip Cournot

Daca in conditiile cand firmele din duopol actioneaza prin anticipari de tip Cournot, am vazut ca conditiile de optim impuneau:

, , (9.3")

vom constata ca atunci cand firmele constituie un cartel, aceste conditii sunt incalcate.

Intr-adevar, calculand profiturile individuale:

(9.14.a)

(9.14.b)

decizia de optim individuala rezulta din (CNO):

Comparand cu decizia rezultata in conditii de cartel (relatiile 9.11'.a si b), obtinem:

adica:

deoarece .

Consecinte:

Maximizarea profitului comun, in conditii de cartel, nu asigura in mod necesar maximizarea profiturilor individuale (dupa cum se deduce din 9.14".a si b);

Din (CNO) ale duopolului de tip Cournot si de tip cartel deducem ca intre veniturile marginale obtinute de cele doua firme exista relatiile:

(9.15.a)

(9.15.b)

unde respectiv sunt veniturile marginale in conditii de cartel respectiv Cournot. Deci curbele veniturilor marginale in cartel sunt la stanga curbelor veniturilor marginale de tip Cournot, si cum costurile marginale sunt aceleasi, , se deduce legitatea:

 Productiile firmelor in conditii de cartel sunt mai mici decat in conditiile de actiune de tip Cournot:

(9.15)

Consecinta: Oferta pe piata a duopolului in conditii de cartel este mai mica decat in conditii de tip Cournot

(9.15')

Cum functia de cerere a pietei p - , este descrescatoare, rezulta:

 Pretul in conditii de cartel, , va fi mai ridicat decat in conditii de tip Cournot, p^*:

(9.15")

Ilustrarea grafica este facuta in figura 9.4.

Duopolul de tip Stackelberg. Firma leader

Corespunde situatiei cand una din firme este leader - fie prin cantitatea produsa, fie prin costul mult mai scazut fata de firma concurenta - dictand astfel conditiile de piata; firma concurenta - numita "satelit" va produce - in conformitate cu functia sa de reactie q₂ = f₂(q₁) - numai acea cantitate q₂ care completeaza cererea q a pietei, subordonandu-se deciziei q₁ a leaderului.

Notam cu F₁ firma leader si cu F₂ firma satelit. Problema deciziei la nivelul firmei leader este:

(9.16)

unde

q=q₁ + f₂(q₁) si in consecinta p = s(q) = s(q₁) (9.17)

f₂ fiind functia de reactie a firmei satelit, q₂ = f₂(q₁)

Conditia necesara de optim conduce la legitatea cunoscuta:

(9.16')

unde

(9.18)

pretul p fiind dat de functia cererii pe piata p = s(q) = s(q₁ + f(q₁)).

Variatia pretului este indusa numai de decizia firmei leader:

, deci - de unde si definirea firmei F₂ ca firma satelit, deoarece nu poate impune conditii pe piata de duopol.

In consecinta, decizia firmei dominante (leader) este rezultata din ecuatia (9.16').

Pentru firma F₂, decizia optima rezulta din conditia:

(9.19)

adica:

(9.19')

si cum , se obtine cerinta:

p =                                   (9.19")

Deci q^*₂ este solutia ecuatiei (9.19"), adica solutia rezultata din:

(9.19")

din care se obtine functia de reactie f₂:

(9.20)

In concluzie, nucleul duopolului de tip Stackelberg (cu firma leader) este punctul (q^*,p^*), unde:

si (9.21)

in care sisunt solutiile sistemului dat de (CNO) pentru cele doua firme:

daca sunt indeplinite conditiile de ordinul 2:

Ilustrarea grafica a nucleului duopolului de tip Stackelberg este prezentata in figura 9.5.

Se constata ca pentru nivelul al productiei firmei leader, firma satelit va produce nivelul situat pe curba de reactie f₂, echilibrul realizat prin punctul E₂, care concomitent se afla pe aceeasi ordonata cu cerinta echilibrului optim (9.19"') reprezentata prin punctul A.

Studii de caz: Cercetati echilibrul Stackelberg, precizati nucleul pentru studiile de caz prezentate prin relatiile (9.11.A); (9.11.B) si (9.11.C)

Identificati curbele de relatii ale firmei satelit si curbele de izoprofit ale celor doua firme.

Duopolul de tip Bertrand

Corespunde cazului cand preturile pietei sunt fixate, , deci functia de cerere este:

(9.23)

firmele urmand sa-si imparta piata prin cantitatile ofertate la acest pret, si .

Echilibrul duopolului de tip Bertrand se afla deci pe curba de indiferenta a ofertei totale:

(9.23')

In consecinta, daca firma F₁ a acoperit volumul din oferta, atunci firma F­₂ va acoperi restul:

(9.23")

Din conditia maximizarii profitului:

(9.24)

se deduc cantitatile ce trebuie produse:

(9.24')

adica abcisele punctelor de intersectie ale costurilor marginale cu pretul
p = (vezi fig. 9.6)

Studii de caz

Studiati echilibrul Bertrand si identificati curbele de indiferenta cand:

a)         Functia de cerere este liniara: a - bq =

b)         Functiile de cost sunt:

b₁) parabole de ordinul 2:

b₂) parabole de ordinul 3:

unde

Aceeasi problema cand functia de cerere este parabolica respectiv hiperbolica. Ce se constata?

Concluzie:

Chiar daca duopolul reprezinta cea mai simpla (in sensul lejeritatii abordarii cantitative) structura de oligopol pe piate cu concurenta imperfecta, se constata din succinta abordare prezentata in acest capitol, cat de complicate sunt procesele analizate; mai mult, complexitatea se evidentiaza si mai pregnant, daca tinem seama de aplicatiile ilustrative prezentate in capitolul 7, care utilizeaza instrumentele de cercetare specifice teoriei jocurilor.