Modelul matematic pentru implementarea capm in analiza de portofoliu

Modelul matematic pentru implementarea CAPM in analiza de portofoliu

Teoria ne ajuta sa ne confruntam cu realitatea spune Sharpe. Dar teoria de portofoliu si teoria pietei de capital dezvoltate de el lucreaza cu previziuni asupra viitorului Dar in analiza reala empirica se lucreaza cu date din trecut. Aceasta este insa sarcina econometriei sa gaseasca dovada provenita din datele trecute pentru previziunile anterioare. Daca acum 10 ani oamenii au avut previziuni corecte asupra viitorului, datele din ultimii 10 ani pot fi utilizate pentru masura p 545b14f reviziunilor trecute. Acest rationament este utilizat pentru modelarea pietei de capital de analistii pietei de capital care sunt atasati Teoriei Moderne de Portofoliu.

Pentru aceasta se folosesc datele trecute si se utilizeaza urmatorul algoritm matematic de analiza.

Conform modelului de piata, rentabilitatea oricarui titlu, R_i , poate fi exprimata ca o combinatie liniara a rentabilitatii unui indice de piata reprezentativ, in speta, rentabilitatea indicelui bursier reprezentativ, pe care o notam R_M :

_Ec. II‑

unde coeficientul de volatilitate al titlului i, este coeficientul b_i si care am vazut ca masoara gradul de legatura care exista intre activ si piata, iar a_i este un parametru egal cu rentabilitatea intrinseca a activului, cand rentabilitatea pietei este egala cu zero.

Modelul matematic diagonal presupune din partea analistului de titluri determinarea valorilor: , pentru fiecare dintre cele n titluri care compun portofoliul, deci un total de 3n date, precum si determinarea R_M si s_M pentru indicele pietei, deci un total de 2 informatii.

In total, modelul matematic diagonal al lui Sharpe face apel la 3n+2 informatii, fata de cele informatii utilizate de modelul matematic Markowitz, simplificare care a conferit acestui model un interes deosebit din partea analistilor pietei de capital. Analiza portofoliului poate fi astfel realizata prin determinarea parametrilor modelului diagonal si prin elaborarea unui model standard de calcul al rentabilitatii si riscului unui portofoliu.

Rentabilitatea unui portofoliu este calculata ca medie a rentabilitatilor individuale ale titlurilor care compun portofoliul, conform formulei:

_Ec. II‑

unde x_i este ponderea titlului "i", iar n numarul de titluri care compun portofoliul.

Tinand cont de expresia modelului de piata, rentabilitatea portofoliului poate fi exprimata astfel:

_Ec. II‑

unde :

termenul reprezinta rentabilitatea specifica, termenul este rentabilitatea indicelui reprezentativ de piata, iar, b_P este coeficientul de volatilitate al portofoliului, .

Riscul portofoliului compus din n titluri este masurat cu relatia:

_Ec. II‑

Riscul portofoliului este compus dupa cum am vazut:

1.dintr-un risc nesistematic sau risc specific fiecarui titlu din structura portofoliului, determinat de modificari in comportamentul economic al intreprinderii sau al ramurii de care apartine firma emitenta a titlului sau de supra sau subevaluarea titlului pe piata si

2.dintr-un risc sistematic, sau de piata, caracterizat de variabilitatea principalilor indicatori macroeconomici.

Optimizarea portofoliilor prin modelul lui Sharpe

Pentru minimizarea riscului portofoliului la o rentabilitate data (scontata) a acestuia, se utilizeaza functia Lagrange a relatiei riscului portofoliului :

_Ec. II‑

cu restrictiile:

1.          

2.

3.

unde : R_P^* este rentabilitatea dorita sau estimata de investitor.

Functia Lagrange este urmatoarea:

_Ec. II‑

unde l l l sunt multiplicatori Lagrange.

Prin derivarea functiei Lagrange in raport cu x_i , l l si l si egalarea derivatelor partiale cu zero, se obtin conditiile de optim necesare minimizarii riscului portofoliului.

Rezulta un sistem de n+3 ecuatii liniare care poate fi scris ca o ecuatie matriceala de forma:

A * X = B : _Ec. II‑

_Ec. II‑

Numarul total de informatii necesare acestui model este de 3n + 2. Prin inversarea matricii A se obtin solutiile sistemului :

_Ec. II‑

Ponderile X_i obtinute pe aceasta cale la fiecare rentabilitate estimata , vor defini portofoliile eficiente ce pot fi selectionate de investitori in functie de aversiunea acestora fata de risc.