Concepte de baza statistica

Concepte de baza statistica

Populatia statistica

Populatia statistica reprezinta multimea elementelor simple sau complexe, de aceeasi natura, care au una sau mai multe insusiri esentiale comune, proprii elementelor cat si populatiei privita ca un tot unitar. Florea I., 1998}

O populatie este finita daca include un numar determinat de elemente, dar ea poate fi considerate drept reprezentativa a unei populatii teoretice infinite. Ca urmare apare necesitatea de a delimita o populate in: continut, spatiu si timp. Se mai denumeste si populafia univers.

Exemple de populatii statistice: multimea persoanelor dintr-o anumita tara, localitate, zona etc. in anul t, multimea gospodariilor din Romania, la momentul t, multimea consumatorilor unui produs, multimea societatilor producatoare sau concurente ale unui produs, mullimea societatilor distribuitoare, angajatii unei societati, etc.

Se noteaza cu majusculele de la inceputul alfabetului: A, B, etc.

Unitatea statistica constituie elementul component, al populatiei statistice, asupra caruia se va efectua nemijlocit observarea.

Unitatea statistica este purtatorul originar de informatie sau subiectul logic al informatiei statistice. Datorita varietatii aspectelor sub care se poate prezenta in fapt, unitatea statistica comporta o definitie precisa, care sa excluda prin posibilitate de interpretare diferita de catre observatori si astfel orice eroare ce poate prejudicia valoarea investigatiei.

In exemplele citate mai sus, unitatile statistice sunt: persoana, gospodaria, consumatorul, societatea producatoare sau concurenta, societatea distribuitoare, angajatul etc.

Se noteaza cu minusculele corespunzatoare majusculei ce simbolizeaza populatia statistica, respectiv a, b, etc..

Volumul populatiei reprezinta numarul unitatilor statistice care alcatuiesc populatia statistica. Acesta poate fi finit sau infinit, in functie de tipul populatiei care poate fi la fel finita sau infinita.

Se noteaza cu N.

Esantion reprezinta o submultime a unei populatii statistice, constituita dupa criterii bine stabilite. In raport cu procedeul de formare a esantionului avem esantioane aleatoare si esantioane dirijate.

Esantionul aleator este format din unitatile statistice care rezulta printr-un procedeu aleator: procedeul tragerii la sorti, tabelul cu numere intamplatoare, procedeul extragerilor sistematice.

Esantionul dirijat este constituit pe baza unor informatii auxiliare existente la nivelul populatiei studiate sau lasand liber pe anchetator sa aleaga unitatile respectand doar realizarea structurii esantionului in functie de criteriile stabilite.

Se noteaza cu n.

Majoritatea studiilor au ca suport datele provenite de la nivel de esantion, de aici importanla constituirii acestuia si implicit, apelarea la inferenta statistica, pentru a estima parametrii la nivelul populatiei univers.

Variabila statistica

Variabila statistica reprezinta o insusire sau o trasatura comuna tuturor unitatilor unei populatii. Nivelul inregistrat de o variabila statistica la o unitate oarecare a populatiei se numeste realizare sau starea variabilei. FloreaL, 1998.

In general se noteaza cu majusculele de la sfarsitul alfabetului, X, Y, Z etc. Daca se noteaza cu X o variabila statistica oarecare, atunci cu x, x₂,..-, x_n se vor nota starile variabilei respective.

Variabilele statistice se clasifica in raport cu natura, modul de exprimare si modul de variatie.

a) Dupa natura lor variabilele statistice pot fi atributive, de timp si de spatiu.

Variabila atributiva exprima un atribut sau insusire esentiala (alta, decat timpul sau spatiul) unitatilor populatiei;

Variabila de timp ne arata timpul in care au luat fiinta unitatile populatiei sau perioada de timp in care au existat (exista);

Variabila de sptiu ne arata spatiul in care exista sau au luat nastere unitatile populatiei.

b) Dupa modul de exprimare a starilor deosebim:

Variabila cantitativa este variabila ale carei stari se exprima prin valori mimerice. Se mai numeste si variabila metrica.

Variabila calitativa este variabila ale carei stari se exprima prin cuvinte sau coduri. Se mai numeste variabila nominala (starile se exprima prin cuvinte) sau variabila ordinala (starile se exprima prin coduri).

c) dupa modul de variatie variabila cantitativa poate fi:

Variabila discreta este acea variabila care, in intervalul sau de definite inregistreaza eel mult valori rationale, variatia are loc in salturi.

Variabila continua este acea variabila care poate lua orice valoare reala din intervatul sau de variatie.

Exemple de variabile statistice relativ la populatia formata din multimea consumatorilor unui produs:

- varsta: variabila atributiva, cantitativa, continua

X=

- frecventa de cumparare: variabila atributiva calitativa

Y =

- numar de sortimente cumparate relativ la produsul analizat: variabila atributiva, cantitativa, discreta:

Z

- localizarea magazinelor de unde cumpara: variabila de spatiu , calitativa

S=

- data ultimei cumparari a produsului analizat: variabila de timp,

T =

Variabila aleatoare

Variabila aleatoare este variabila care poate lua orice valoare din valorile unei multimi finite sau infinite, cu o anumita probabilitate, rezultata dintr-o functie asociata variabilei, numita lege de probabilitate.Ca si variabila statistica, variabila aleatoare in raport cu valorile sale poate fi discreta sau continua.

In timp ce o variabila aleatoare inregistreaza valori la intamplare, variabila statistica constituie o insusire certa a unitatilor statistice din populatie. Valorile unei variabile aleatoare sunt probabile si in stransa legatura cu un anumit experiment. Starile unei variabile statistice nu sunt probabile, ele cuantifica o trasatura proprie fiecarei unitati din populatie.

Observarea statistica

Observarea statistica consta in identificarea unitatilor populatiei si inregistrarea starilor variabilelor in raport cu care este studiata. Ansamblul starilor variabilelor rezultate prin observare se numesc statistici.

Dupa gradul de cuprindere a populatiei statistice, observarea statistica este de doua feluri: totala si partiala.

Observarea totala este acel tip de observare statistica in care are loc inregistrarea tuturor unitatilor care fac parte din populatie statistica supusa studiului. Recensamantul populatiei Romaniei este un exemplu de observare totala.

Observarea partiala presupune observarea si inregistrarea unui anumit numar de unitati din populatie, alese dupa criterii bine definite.

In cercetarea statistica a unei populatii punctul de pornire il poate constitui fie statistici exhaustive rezultate prin observarea populatiei univers , fie statisticile rezultate din observarea partiala a unui esantion A ≤A, in ambele cazuri scopul final fiind acelasi - obtinerea de informatii la nivelul populatiei univers A.

In primul caz, ansamblul de tehnici folosite in prelucrarea statisticilor se bazeaza pe matematica delerminista si au un caracter relativ simplu. Acest demers al cercetarii statistice constituie obiectul asa numitei statistici descriptive.

In al doilea caz tehnicile cantitative utilizate se bazeaza pe teoria probabilitatilor, permitand extinderea informatiilor de la esantion la populatia univers - inductie statistica. Acest demers constituie obiectul asa numitei statistici inferentiale.

Seria statistica

Seria statistica este o constructie care reda fie distributia unei populatii in raport cu una sau mai multe variabile, fie variatia unei marimi in timp, in spatiu sau de la o categorie la alta.

Seriile statistice se clasifica in raport cu mai multe criterii, astfel:

1. In raport cu numarul variabilelor

Serii statistice unidimensionale, au la baza o singura variabila;

Serii statistice multidimensionale, care au la baza doua sau mai multe variabile.

2. Dupa natura variabilelor deosebim:

Serii aiributive, care au la baza variabile atributive;

Serii cronologice (de timp sau istorice), care au la baza variabile de timp;

Serii de spatiu sau teritoriale, care au la baza o variabila de spatiu.

3. Dupa modul de exprimare a starilor variabilei deosebim:

Serii calitative, care au la baza variabile calitative;

Serii cantitative, care au la baza variabile cantitative si care dupa modul de variatie a variabilei pot fi: discrete (cand variabila este discrete) si continue (cand variabila este continua).

4. In raport cu natura indicatomlui din care este alcatuita seria, avem:

Serii de frecventa sau serii de distributie (repartitie);

Serii de variatie.

Seria statistica redand distributia populatiei in raport cu una sau mai multe variabile constituie o descompunere a acesteia intr-un numar R de clase. O astfel de serie este formata in exclusivitate din frecvente (absolute cumulate sau necumulate, relative cumulate sau necumulate) si de aceea se numesc serie de frecventa, de distributie sau de repartitie. Prescurtat se mai foloseste si denumirea de repartitie statistica sau distributie statistica.

Seria statistica ce reda variaria unei marimi in timp, in spatiu sau de la o categorie la alta se numeste serie de variatie.

Seria statistica de repartitie

Conform definitiei de mai sus, prin aceasta serie se distribuie unitatile

unei populatii statistice in raport cu una sau mai multe variabile.

Fie o serie statistica unidimensionala avand la baza variabila X,

respectiv:

X:

N_i este frecventa absoluta a clasei i, i= si reprezinta numarul de unitati ale populatiei din clasa pentru care variabila X a inregistrat valoarea X_i ;

N₁+N₂+.+N_R = N

Clasa (grupa) de unitati in raport cu o variabila reuneste acele unitati din cadrul populatiei care inregistreaza aceeasi stare a variabilei sau starile variabilei apartinand unui anumit interval de variatie.

Ca urmare, in raport cu o variabila statistica populatia poate fi structurata intr-un anumit numar de clase.

Exemplu

Fie A - populatia statistica reprezentand unitatile de cazare turistica din Romania, in anul 1999 si X - categoria de confort (este o variabila statistica atributiva, cantitativa discreta). Distributia acestor unitati in raport cu variabila X este urmatoarea (conform A.S. al Romaniei, 2000)

X:

0 - neclasificate;

1090 - ne arata numarul unitatilor de cazare turistice avand categoria de stele';

De asemenea, relativ la seria statistica unidimensionala avand la baza variabila X, poate fi formata cu frecvente relative, frecvente cumulate absolute sau relative.

Fie seria X formata cu frecvente relative:

X:

f_i - ne arata ponderea unitatilor din populatie care au inregistrat pentru variabila X starea x_i:

f_{i =} sau

f_{i =} i = = 1 (100%)

Exemplu:

X:

Sau:

X:

% reprezinta ponderea unitatilor de cazare turistica avand categoria de ,,2 stele'.

Pornind de la seria (1.1) se poate deduce seria formata cu frecvente absolute cumulate, respectiv:

X : (1.3.)

unde: N(x_i) reprezinta numarul de unitati din populatia studiata pentru care variabila inregistreaza valori ce nu depasesc valoarea x_i.

N(x₁) = N₁

N(x₂) = N₁+N₂

_..........

N(x_i) = N₁ + N₂ + +N_i

_{...............}

N(x_R) = N₁ + N₂ + +N_i + . + N_R = N

Exemplu.

X:

2864 - ne arata numarul unitatilor de cazare turistica avand cel mult doua stele.

Pornind de la seria (1.1) sau (1.2) se poate deduce seria formata cu frecvente relative cumulate, respectiv:

X:

unde: f_N(x_i) - exprima ponderea unitatii populatiei studiate pentru care variabila a inregistrat valori ce nu depasesc valoarea x_i.

F_N(x_i) = f_{1 +} f_{2 +. +} f_i

F_N(x_i) = * 100                i =

Exemplu:

X:

% - reprezinta ponderea unitatilor de cazare turistice avand cel mult ,,2 stele'.

Asa cum se poate constata din definitia celor doua marimi de frecvente cumulate, acestea se pot calcula si are sens elaborarea unor serii statistice doar in cazul in care la baza seriei se gaseste o variabila cantitativa.

Relativ la aceeasi populatie statistica studiata A - multimea unitanlor de cazare turistica din Romania in anul 1999, din A.S. al Romaniei /2000, se pot extrage alte serii statistice de repartipe, ca de exemplu:

- distributia unitatilor de cazare in raport cu forma de proprietate (cf. A.S. al Romaniei/2000, pg.518).

Y :

Aceasta este o serie statistica de repartitie unidimensionala avand la baza o variabila atributiva, calitativa si formata cu frecvente absolute, in aceasta situatie se poate elabora seria statistica formata cu frecvente relative, respectiv:

Y :

distributia unitatilor de cazare in raport cu tipul destinatiei turistice (cf. A.S. al Romaniei/2000, pag.519)

Z

Este o serie statistica de repartitie unidimensionala avand la baza o variabila atributiva calitativa si formata cu frecvente absolute. Se poate elabora seria formata cu frecvente relative.

De asemenea, se pot elabora serii de repartitie unidimensionale in raport cu numarul de turisti cazati, cu gradul de utilizare a capacitatii in functiune, capacitatea existenta etc.

Seria statistica de repartitie bidimensionala este o constructie ce reda distributia unei populatii in raport cu doua variabile.

Astfel, fie populatia statistica A studiata in raport cu variabilele X si Y, rezultatele observarii se pot grupa intr-un tabel de forma urmatoare:

unde

N_ij reprezinta numarul de unitati pentru care, variabila X inregistreaza starea Xj si variabila Y inregistreaza starea yi, ;

- N_i numarul de unitati pentru care Y ⁼ y indiferent de nivelul inregistrat de variabila X;

N_j numarul de unitati pentru care X = Xj, indiferent de nivelul inregistrat de variabilaY;

- N - numarul total de unitati analizate.

Din seria bidimensionala se pot extrage serii unidimensionale de forma urmatoare :

X :

X :

denumite si serii de repartitie marginale, in raport cu X si Y

X/Y = y_j :

denumita seria de repartitie unidimensionala in raport cu X conditionata de Y = y_i, numarul acestora fiind egal cu numarul de stari a variabilei Y.

Y/ X = x_j :

denumita serie de repartitie unidimensionala in raport cu Y conditionata de X = x_j, numarul acestora fiind egal cu numarul de stari a variabilei X.

De asemenea se poate elabora sau deduce seria de repartitie bidimensionala formata cu frecvente relative, respectiv:

f_ij f_{j =} f_{i =} i =

Exemple:

Relativ la populatia statistica A studiata, din A. S. al Romaniei/2000, se poate extrage o serie de repartitie bidimensionala, avand la baza variabilele:

X - categoria de confort (numar de stele)

Y - tipul unitatii de cazare turistica de forma urmatoare:

Sursa: A.S. al Romaniei/2000, pag.515

21 - ne arata numarul de pensiuni agroturistice avand categoria de confort de 3 stele.

Tabelul de mai sus este o repartitie statistica bidimensionala avand la baza o variabila X atributiva cantitativa discreta si o variabila Y atributiva calitativa, formata cu frecvente absolute.

Se poate deduce seria de repartitie bidimensionala formata cu frecvente relative, respectiv:

0,6 % - reprezinta ponderea pensiunilor agroturistice avand categoria de confort de ,,3 stele', din totalul unitatilor de cazare turistica.

De asemenea se pot extrage seriile unidimensionale marginale in raport cu X si Y si cele conditionate, de exemplu:

X:

Y:

X/Y = pensiuni turistice :

Y/X = 3 :

Seria statistica de variatie

Conform definitiei seria de variatie reda variatia unei marimi, in timp, in spatiu sau de la o categorie la alta. Ca urmare, in continuare vom vorbi de serii cronologice (au la baza o variabila de timp), serii de spatiu si serii categoriale (au la baza variabile atributive). Cele mai des intalnite sunt seriile cronologice si seriile de spatiu.

Seriile de variatie au la baza marimi absolute si relative. Dupa unii autori din cadrul marimilor absolute fac parte indicatorii de nivel si diferenta absoluta a unei marimi, iar din cadrul marimilor relative fac parte: indicatorul relativ de intensitate, indicele statistic si diferenta relative a unei marimi.

Indicatorul de nivel (Y) este o marime ce reflecta nivelul unui fenomen analizat. De exemplu: productia diferitelor produse, veniturile populatiei, suprafata cultivata cu principalele culturi, transportul, exportul, importul etc.

Diferenta absoluta a unei marimi (Δy) exprima diferenta dintre nivelul cercetat si nivelul baza de comparatie al marimii analizate. Se exprima in aceeasi unitate de masura in care este cuantificat fenomenul analizat si ne arata cu cat s-a modificat acesta de la un nivel la altul.

Indicele statistic al unei marimi (/_y ) exprima raportul dintre nivelul cercetat si nivelul baza de comparatie al marimii analizate. Ne arata de cate ori se modifica acea marime, de la un nivel la altul.

Diferenta relativa a unei marimi (R_y) exprima raportul dintre diferenta absoluta a marimii respective si nivelul baza de comparatie al acesteia. Ne arata cu cat la suta se modifica marimea de la un nivel la altul.

Indicatorul relativ de intensitate (d) se defineste ca raport intre doi indicatori de nivel de natura diferita si arata gradul de raspandire a fenomenului cuantificat de indicatorul de la numarator in raport cu fenomeoul cuantificat de indicatorul de la numitor. De exemplu: productia diferitelor culturi / ha, densitatea populatiei, productia principalelor produse / locuitor, rata somajului etc.

Greutatea specifica (g) reflecta structura fenomenului analizat in raport cu starile variabile X, de la baza seriei.

Seriile cronologice

Seria cronologica reflecta evolutia in timp a unei marimi.

Valorile variabilei ca functie de timp pot fi fixate la un anumit moment de timp sau sa se refere la un interval de timp.

Seria cronologica de momente este o serie de observatii ordonate in timp, exprimand stocuri [Trebici V.. 1985]. De exemplu, volumul populatiei, numar de universitati, banci, institutii, fonduri fixe, numarul salariatilor, intreprinderile mici si mijlocii din diferite domenii de activitate, unitatile de cazare turistica etc.Intr-o astfel de serie insumarea marimii analizate nu are sens din punct de vedere al continutului, aceasta fiind permisa din considerente de calcul, ajustat etc.

Seria cronologica de intervale este o serie de observatii ordonate in timp exprimand fluxuri. De exemplu: nascutii vii, divorturile, decesele, productia diferitelor culturi sau produse, venituri, cheltuieli, productia industriala, agricola, exportul, importul etc.Intr-o astfel de serie are sens insumarea marimii analizate.

Fie o serie cronologica de momente sau de intervale ce reflecta evolutia in timp a nivelului unei marimi Y,

Y:

Pornind de la aceasta serie se pot deduce seriile formate cu diferente absolute, indici si diferente relative. In functie de modul de raportare a starilor variabilei timp t, marimile de mai sus se pot calcula cu baza fixa (t / to) (baza de comparatie ramane aceeasi) sau cu baza in lant(t /t-1) (baza de comparatie se schimba, fiind considerata cea precedenta nivelului comparat).

Fie seriile cronologice formate cu: - diferente absolute cu baza fixa:

= y(t) - y(0)

diferente absolute cu baza in lant

Intre cele doua tipuri de diferente absolute cu baza fixa si cu baza in lant, exista relatii de legatura ce ne permit exprimarea unora in functie celelalte. In acest context, insumand diferentele absolute cu baza in lant se obtin diferentele absolute cu baza fixa.

Scazand diferentele succesive cu baza fixa se obtin diferenfele cu baza in lant.

y(t) - y(0) - y(t-1) + y(0) = y(t) - y(t-1) =

Diferenta absoluta ne arata cu cat se modifica marimea analizata de la un moment la altul. Se exprima in aceeasi unitate de masura in care este cuantificat fenomenul studiat.

Daca fenomenul analizat se exprima valoric, atunci diferenta absoluta nu reflecta prea bine modificarile ce intervin, impunandu-se utilizarea marimilor relative respective, indicele statistic si diferenta relativa.

Fie seriile cronologice formate cu:

- indici statistici cu baza fixa

- indici statistici cu baza in lant :

* 100

Indicele statistic ne arata de cate ori se modifica fenomenul analizat. Este marimea cel mai des folosita in caracterizarea evolutiei fenomenelor din economie.

Avand ca baza de referinta o serie cronologica de forma (1.7) se pot elabora serii formate cu:

- diferente relative cu baza fixa

sau

diferente relative cu baza in lant

(1.13)

Diferentarelativa ne arata cu cat la suta se modified fenomenul de la un moment la altul. Aceasta mSrime la fel ca si indicele statistice, se foloseste frecvent in caracterizarea fenomenelor din economic.

Daca seria cronologica analizata, de forma (1.7) este de intervale, se poate deduce seria formata cu greutatea specifica :

g _y

g(t) =

Seria statistica de spatiu (teritoriala)

Seria statistica de spatiu este o constructie statistica ce reflecta variatia in spatiu a unei marimi.

Seria de spatiu prezinta o importanta din ce in ce mai mare, datorita dezvoltarii sistemului informational, a necesitatii comparatiilor internationale si a comparatiilor intre regiunile unei tari.

In cadrul Anuarului Statistic al Romaniei exista capitole distincte de ,,Statistica teritoriala' si ,,Statistica internationala'. In capitolul de ,,Statistica teritoriala' sunt cuprinse informatii privind: populatia, fort a de munca, conditii de munca, veniturile populatiei, cheltuielile si consumul populatiei, locuinte, asistenta sociala, sanatate, invatamant, cultura, sport, conturi nationale, rezultate si performante ale intreprinderilor, agricultura, silvicultura, industrie, transporturi, posta, telecomunicatii, turism, finante, justitie si starea infractionala, pe cele 7 regiuni si Bucuresti.

La baza seriei de spatiu se gasesc atat marimi absolute (indicator de nivel, diferenta absoluta), cat si marimi relative (indicator relativ de intensitate, indicele statistic, diferenta relativa).

Fie seria statistica Z, de forma urmatoare:

Z: (1.15)

unde __

Si - este o stare a variabilei ce exprima spatiul,      i=1,R,

Z(i) - exprima o marime (indicator de nivel sau relativ de intensitate).

Plecand de la seria de forma (1.15) se pot deduce seriile formate cu:

- diferente absolute cu baza fixa:

= z(i) - z(0)

- indicii statistici cu baza fixa

= * 100

diferente relative cu baza fixa

= * 100

Se deduc seriile formate cu marimi absolute si relative calculate doar cu baza fixa (se poate alege orice stare a variabile ce exprima spatiu).

PROBLEME PROPUSE (capitolul 1)

PI. Dati 5 exemple de populatii statistice a caror cercetare ar prezenta interes si pentru fiecare populatie selectata precizati:

1. denumirea populatiei, a unitatii statistice si volumul acesteia;

2. scopul cercetarii statistice;

3. variabilele statistice in raport cu care s-ar face observarea statistica a populatiei.

P2. Sa se extraga din Anuarul Statistic sau alte surse informationale o serie statistica bidimensionala ce reda distributia unei populatii in raport cu doua variabile atributive, relativ la care se cere:

1. denumirea populatiei ce a fost supusa observarii si volumul acesteia;

2. unitatea statistica;

3. caracterizarea variabilelor statistice in raport cu care a fost studiata populatia;

4. caracterizarea seriei statistice in raport cu toate criteriile cunoscute;

5. elaborarea seriei bidimensionale formata cu frecvente relative, interpretare;

6. extragerea repartitiilor unidimensionale marginale si a celor conditionate;

7. pornind de la o repartitie marginala deduceti celelalte serii statistice posibile, interpretare.

P3. Din Anuarul Statistic sau alte surse informationale extrageti o serie statistica de repartitie, avand la baza o variabila de spatiu, relativ la care se cere:

1. denumirea populatiei statistice si volumului ei;

2. unitatea statistica;

3. caracterizarea seriei dupa toate criteriile cunoscute;

4. deducerea seriei formata cu frecvente

5. interpretare.

P4. Din Anuarul Statistic sau alte surse informationale extrageti doua serii cronologice avand la baza indicatorul de nivel, una de momente, alta de intervale si deduceti seriile formate cu diferente absolute, indici statistici, diferente relative, cu baza fixa si cu baza in lant (interpretari).

P5. Dati 5 exemple de serii cronologice avand la baza indicatorul relativ de

intensitate

P6. Din Anuarul Statistic sau alte surse informationale extrageti o serie de spatiu formata cu indicatorul de nivel sau indicator relativ de intensitate si deduceti seriile formate cu diferente absolute, indici si diferente relative, calculate cu baza fixa. Interpretare.

P7. Extrageti 5 exemple de serii de spatiu ce contin informatii importante pentru domeniul economic.

P8.Se da urmatoarea serie de variatie, cronologica, de momente, avand la baza un indicator de nivel :

-farmaciile din Romania la sfirsitul anului 1989

Z :

Deduceti seriile formate cu toti indicatorii derivati posibili.

P9.Se da urmatoarea serie de variatie, cronologica, de intervale, avand la baza un indicator de nivel :

Z :

Deduceti seriile formate cu toti indicatorii derivati posibili.

P.10 Se considera o firma a carei C.A. a evoluat in ultimele 12 luni dupa cum urmeaza :

-Luna 1-220

- Luna 2-225

- Luna 3-240

-Luna 4-250

- Luna 5-240

- Luna 6-245

- Luna 7-260

- Luna 8-280

- Luna 9-270

- Luna 10-275

- Luna 11-290

- Luna 11-290 (mil.lei)

Se cere :

1.Alcatuiti o serie cronologica cu datele din problema si comentati tipul de indicator folosit.

2.Analizati cu cat s-a modificat C.A. atat in raport cu prima luna cat si in raport cu luna precedenta.

3.Aratati de cate ori se modifica C.A. in raport cu prima luna, cat si de la o luna la alta.

4.Aratati cu cat la suta s-a modificat

C.A. in raport cu prima luna, cat si de la o luna la alta.

5.Graficul seriei.(cronograma).