INDICATORI STATISTICI ABSOLUTI, RELATIVI SI MEDII

Cuvinte-cheie

1. Indicatorii statistici - definire, tipologie

Indicatorul statistic este expresia numerica a unei caracteristici observate pe un fenomen, proces sau pe o categorie economico-sociala, delimitata in timp si spatiu.

Intre cele mai importante functii ale indicatorilor statistici se numara: functia de masurare, de comparare, de sinteza, de estimare, de verificare a ipotezelor si testare a semnificatiei parametrilor statistici utilizati.

Dupa metoda de obtinere a indicatorilor si rolul jucat in cercetare, indicatorii pot fi impartiti in doua categorii:

a)       indicatori absoluti (primari);

b)       indicatori derivati (rezultati din calcule).

Indicatorii primari (marimi absolute) exprima direct nivelul caracteristicii cercetate, in unitati concrete, specifice de masura. Se pot obtine direct, prin inregistrarea nivelului caracteristicii, prin centralizarea datelor sau prin insumarea partiala sau totala a datelor individuale. Ei prezinta o capacitate relativ limitata de descriere a fenomenului/procesului analizat, si nu permit realizarea unor aprecieri calitative. Totusi, indicatorii primari reprezinta punctul de plecare al analizei statistice.

Indicatorii derivati (marimi calculate din cele primare) se obtin prin prelucrarea indicatorilor absoluti si fac posibila exprimarea cantitativa si analiza aspectelor calitative ale fenomenelor si proceselor analizate. Intre indicatorii derivati se numara: marimile relative, marimile medii, indicatorii variatiei, ai corelatiei si regresiei, indicii etc.         

In analiza, economistul trebuie sa combine mereu indicatorii derivati cu cei primari pentru a fi sigur ca interlocutorul intelege amploarea reala (absoluta) a aspectului reflectat prin unul sau altul dintre indicatorii derivati.

Marimile relative.

Marimile relative sunt cea mai simpla forma a indicatorilor derivati, obtinandu-se prin raportarea (compararea) a doi indicatori statistici.

Este obligatoriu, insa, sa se respecte urmatoarele reguli pentru a obtine o marime relativa semnificativa, compatibila cu realitatea:

• intre numarator si numitor trebuie sa existe o legatura logica;
• intre numarator si numitor trebuie sa existe compatibilitate metodologica, de timp si de spatiu, pentru ca rezultatul sa fie util cunosterii;
• nivelul numitorului trebuie sa fie unul normal, obisnuit (sa nu fie o stare de exceptie).

Forma cea mai simpla de exprimare a marimilor relative este cea de coeficient aratand cate unitati din indicatorul raportat revin la o unitate din indicatorul baza de raportare.

La fel de utilizata este si exprimarea marimilor relative sub forma procentuala (rezultatul impartirii se inmulteste cu 100).

Pentru o mai mare expresivitate, in unele situatii, marimile relative mai pot fi exprimate in promile, prodecimile sau procentimile, aratand cate unitati din indicatorul raportat revin la 1000, 10.000, respectiv, 100.000 unitati din indicatorul baza de raportare (de exemplu: natalitatea sau mortalitatea se exprima la 1000 de locuitori, numarul medici la 10.000 de locuitori, numarul studenti la 100.000 de locuitori etc.).

Sunt cinci mari categorii de marimi relative, dupa functia de cunoastere pe care o indeplinesc:

marimi relative de structura;

marimi relative de coordonare;

marimi relative de intensitate;

marimi relative de dinamica;

marimi relative de programare a activitatii.

Marimile relative de structura (ponderi, greutati specifice) - arata in ce raport se afla fiecare parte, element al unui grup fata de volumul intregii colectivitati.

q       Pentru o serie simpla de date statistice, ponderea (greutatea specifica) a unui element x_i in totalul colectivitatii Sx_i:

[1]

q       Pentru o serie de frecvente (x_i, n_i):

[1^/]

Marimile relative de structura care arata raportul dintre numarul unitatilor din fiecare grupa fata de numarul unitatilor din intreaga colectivitate se numesc frecvente relative:

[2]

Observatie: Calculele sunt corecte atunci cand:%. Uneori, se prefera expresia neprocentuala. Atunci, .

Pentru ilustrare, vezi Problema 1, punctul (a).

Marimile relative de coordonare compara prin raportare acelasi indicator observat in doua grupe/colectivitati/unitati teritoriale diferite (A si B):

[3]

daca baza de raportare este unitatea B, sau, invers:

[3^/]

daca baza de raportare este unitatea A.

Observatii:

In practica, se alege un singur sens al comparatiei.

Marimile relative de coordonare se reprezinta grafic prin diagrame cu coloane sau cu benzi.

Vezi problema 1, punctul (b).

Marimile relative de dinamica (indici individuali) raporteaza nivelul unui proces/fenomen dintr-o perioada, numita perioada curenta (x₁), la nivelul aceluiasi fenomen dintr-o perioada anterioara - perioada de baza (x₀). Raportul caracterizeaza evolutia in timp, dinamica:

[4]

Vezi Problema 1, punctul (c), precum si Problema 2, punctele (a), (b) si (d).

In cazul in care datele analizate surprind mai multe perioade de timp succesive (este o serie cronologica), modificarea in timp poate fi determinata fie fata de anul anterior:

[4^/]

fie fata de o perioada fixa (perioada "0"), aceeasi pentru toti cei n ani pentru care se analizeaza evolutia fenomenului:

[4^//]

In primul caz s-a calculat un indice cu baza in lant, iar cel de-al doilea caz, un indice cu baza fixa.

Marimile relative de intensitate compara valorile unei variabile X cu valorile altei variabile Y. Intre caracteristicile comparate exista o legatura logica, o dependenta sau o asociere. Exemple: productivitatea unui factor de productie se determina ca raport intre volumul productiei si nivelul factorului de productie; PIB/locuitor se obtine ca raport intre produsul intern brut si numarul populatiei; rata somajului se estimeaza ca raport intre numarul de someri si populatia activa etc.

unde individualizeaza valorile concrete ale variabilelor X, Y si Y =Z ·X.

Observatie: Marimile relative de intensitate se exprima in unitati de masura specifice - raportul dintre unitatile de masura a celor doi indicatori comparati.

Vezi Problema 2, punctele (c), (e) si (f).

Marimile relative ale programarii activitatii se folosesc, in special, in planificarile de activitati economice la nivel microeconomic.

Se pot calcula doi astfel de indicatori:

Marimea relativa a sarcinii programate ca raport intre nivelul propus de activitate (x_plan) si nivelul realizarilor perioadei precedente (x₀) pentru a arata intensitatea efortului necesar realizarii obiectivului programat (planificat):

[6]

Marimea relativa a realizarii programului - se calculeaza ca raport intre nivelul realizat in perioada curenta (x₁) si obiectivul planificat (x_plan), pentru a surprinde in ce proportie s-a realizat nivelul planificat:

[7]

Observatie: Intre marimile relative ale programarii activitatii si indicele de dinamica exista relatia:

Vezi enuntul si rezolvarea Problemei 1.

3. Marimile medii

Media este expresia sintetizarii intr-un singur nivel reprezentativ a tot ceea ce este esential, tipic si obiectiv in aparitia si manifestarea unui fenomen de masa

Media trebuie inteleasa ca un nivel obisnuit, ca un nivel la care ne asteptam, ca un fel de speranta matematica sau centru de greutate capabil sa exprime esenta comuna a tuturor sau a majoritatii manifestarilor individuale ce alcatuiesc colectivitatea cercetata.

Desi continutul acestei marimi este abstract, forma de exprimare este concreta. Prin urmare, media se exprima in aceleasi unitati de masura ca si variantele concrete din care se calculeaza.

Pentru ca valoarea medie sa fie reprezentativa pentru intreaga colectivitate, trebuie sa se tina cont de urmatoarele cerinte:

• utilizarea unui numar suficient de mare de observatii, astfel incat esenta comuna sa poata fi evidentiata;
• sa se aleaga acel tip de medie, care corespunde cat mai bine naturii variatiei fenomenului analizat.

In functie de tipul datelor disponibile si de necesitatile de analiza, poate fi folosita una din urmatoarele doua categorii de marimi medii:

• medii calculate;
• medii pozitionale.

Mediile calculate se determina pe baza tuturor variantelor inregistrate intr-o colectivitate.

In functie de natura variatiei (exprimate sub forma de marimi absolute sau relative) si de felul datelor inregitrate (numai valori pozitive sau majoritatea pozitive, dar si unele nule sau negative), distingem mai multe feluri de medii calculate. Cele mai utilizate in analiza economica sunt:

• media aritmetica;
• media armonica;
• media geometrica;
• media patratica;
• media cubica;
• media parabolica;
• media cronologica.

Dintre acestea, vor fi prezentate in continuare primele patru tipuri de medii. Problema 3 este un exemplu didactic pentru determinarea acestor categorii de medii, atat ca medii simple, cat si ca medii ponderate.

Media aritmetica () este cea mai utilizata medie; se foloseste atunci cand datele fenomenului cercetat se prezinta sub forma de marimi primare, direct insumbile.

Media aritmetica este acea valoare abstracta care, inlocuind toate variantele unei colectivitati (toti termenii seriei), nu modifica suma acestora.

q       Pentru o serie simpla, suma termenilor seriei este:

[8]

Inlocuind toti termenii seriei cu valoarea medie (

[9]

, [9^/]

se obtine formula mediei aritmetice simple:

, [10]

q       Pentru o serie de distributie (de frecvente) este preferabila determinarea mediei aritmetice ponderate. Pentru a scurta procesul de calcul, se tine seama de frecvente absolute (n_i) inregistrate pentru fiecare varianta distincta () a seriei sau pentru fiecare interval de variatie (vezi si paragraful 3.):

[11]

Daca se iau in considerare frecventele relative ( formula de mai sus se rescrie astfel:

[11^/]

Vezi si Problema 4, punctele (a) si (d).

Media aritmetica are avantajul de a fi usor de folosit si totodata este usor de inteles, fiind cea mai frecvent folosita medie (este o medie populara). Media aritmetica are insa si marele dezavantaj ca este sensibila la valorile extreme (valori fie foarte mici, fie foarte mari). Existenta unor astfel de valori, in special in situatia in care extremele sunt numai intr-un singur sens (ceea ce nu duce la compensarea lor), va avea ca rezultat o medie aritmetica ce poate fi nereprezentativa pentru colectivitatea pentru care s-a calculat.

Caseta 1. Principalele proprietati ale mediei aritmetice Media aritmetica are mai multe proprietati. Unele dintre ele se incadreaza in categoria proprietatilor de verificare a exactitatii, in timp ce altele se inscriu in categoria proprietatilor de simplificare a calculului: a)      media aritmetica este cuprinsa intre valorile minima si maxima ale caracteristicii: b)      suma abaterilor valorilor individuale de la medie este zero, media avand, prin definitie, proprietatea de a compensa abaterile pozitive cu cele negative: Pentru seria simpla: Pentru seria de frecvente: Observatie: Aceasta proprietate este echivalenta cu definitia mediei. Intr-adevar, relatia se poate scrie: , ceea ce este o relatie echivalenta cu ecuatia [9] prezentata la definirea mediei. c)      daca toti termenii seriei sunt modificati (micsorati/mariti) cu o constanta a, media noii serii se va modifica, in acelasi sens, cu aceasi constanta a. q       Pentru seria simpla: q       Pentru seria de frecvente:

Media armonica se calculeaza din valorile inverse ale termenilor seriei. Se recomanda a fi folosita atunci cand in colectivitate predomina valorile mici (seria este asimptotica catre valorile mici).

Media armonica este, prin urmare acea valoare care nu modifica suma inverselor termenilor seriei.

q           Pentru serii simple, aceasta afirmatie poate fi formulata astfel:

Inlocuind fiecare varianta cu media armonica, relatia [12] devine:

de  unde formula mediei armonice simple:

[14]

q       Pentru serii de frecvente media armonica ponderata este:

[15]

Media armonica are urmatoarele proprietati:

media armonica este o valoare interna seriei din care a fost calculata

media armonica este asociativa;

media armonica nu este translativa.

Observatie: In analiza activitatii economice, media armonica se foloseste la calculul anumitor tipuri de indici (indici cu ponderare curenta) sau ca un artificiu de calcul pentru determinarea mediei aritmetice, atunci cand baza de date nu permite aflarea directa a acesteia (vezi capitolul 8: Indicii statistici).

Media patratica se calculeaza din patratele termenilor seriei. Se recomanda a fi folosita atunci cand in colectivitate predomina valorile mari (serie asimptotica catre valorile mari) sau atunci cand termenii au atat valori pozitive, cat si negative.

Cu alte cuvinte, media patratica este aceea valoare care, inlocuind termenii inregistrati ai seriei de date, nu modifica suma patratelor acestora:

[17]

[17^/]

de unde rezulta:

q       Pentru serii simple, media patratica simpla:

               [18]

q       Pentru serii de frecvente, media patratica ponderata:

                [19]

Media patratica are proprietatile urmatoare:

Este cuprinsa intre valoarea minima si cea maxima a seriei de date;

Este influentata intr-o foarte mare masura de variantele cu o valoare mare, deoarece, prin ridicare la patrat aceste valori devin foarte mari.

Media geometrica. Spre deosebire de mediile calculate anterior, aceasta medie se bazeaza pe relatia de produs a termenilor seriei. In analiza economica, se recomanda calculul ei atunci cand termenii colectivitatii se prezinta sub forma de marimi relative. De obicei, acestea nu sunt direct insumabile, dar admit operatia de inmultire.

Media geometrica este valoarea care, inlocuind termenii seriei, nu modifica produsul acestora:

[20]

[21]

sau

[21^/]

de unde:

media geometrica simpla:

                    [22]

media geometrica ponderata:

                      [23]

Observatie: media geometrica ponderata este rar folosita in analiza economica.

Media geometrica se bucura de avantajul ca nu este influentata nici de valorile mici, nici de cele mari, fiind apreciata a fi o marime medie mai exacta. Dezavantajul principal este acela ca nu poate fi calculata daca unele variante sunt negative sau nule.

Media geometrica are urmatoarele proprietati:

media geometrica este o valoare interna seriei statistice din care a fost calculata;

media geometrica este asociativa;

suma abaterilor logaritmilor variantelor unei variabile fata de logaritmul mediei lor geometrice este egala cu zero

puterea "n" a mediei geometrice calculata din "k" valori pozitive este egala cu media geometrica a puterii "n" a celor "k" valori;

Comparand diferitele marimi medii calculate pentru o aceeasi serie de date (vezi si Problema 3) se observa ca intre medii exista urmatoarea relatie:

[24]

Observatii:

Intr-o analiza economica se foloseste o singura valoare medie calculata, aleasa in concordanta cu datele disponibile si necesitatile de analiza.

Media trebuie insotita si de alti indicatori (indicatori ai variatiei sau imprastierii) pentru a putea aprecia si intelege in profunzime semnificatia valorii medii calculate.

Alte tipuri de medii calculate vor fi prezentate pe parcursul acestui volum.

Mediile pozitionale

Spre deosebire de mediile prezentate mai sus, mediile pozitionale nu se calculeaza. Ele se indentifica in cadrul unei serii (colectivitati) cu cate o varianta reala, care poseda o anume proprietate, in temeiul careia respectiva varianta ofera o informatie satisfacatoare despre esentialul, tipicul intregii colectivitati.     

Mediana (Me) reprezinta valoarea mijlocie a unei serii de date aranjate crescator sau descrescator. Cu alte cuvinte, fata de valoarea mediana, jumatate din observatii au valori mai mici sau egale cu mediana, iar jumatate au valori mai mari sau egale cu mediana. 

Utilizarea medianei ca o expresie a tendintei centrale este recomandata mai ales atunci cand seria contine valori extreme, valoarea medie nemaifiind, in acest caz, reprezentativa.

Vezi Problema 4, punctul (c).

Modul sau dominanta unei variabile reprezinta valoarea care inregistreaza cea mai mare frecventa de aparitie. Valoarea modala se utilizeaza ca indicator al tendintei centrale atunci cand media nu se poate calcula sau nu are sens sa fie calculata. De exemplu, in loc de stabilirea marimii medii la confectii, a numarului mediu la pantofi etc. se prefera varianta cea mai frecventa.

Anumite serii de date pot sa nu prezinte o valoare modala (repartitii monotone sau rectangulare), pe cand altele pot avea doua sau mai multe valori modale. Pentru a putea analiza astfel de serii multimodale, este necesar ca numarul de inregistrari sa fie suficient de mare.

In cazul seriilor de date organizate pe intervale de variatie a caracteristicii de grupare, modul se afla prin interpolare in intervalul de grupare cu frecventa cea mai mare (vezi capitolul 3).

Observatie: Pentru seriile de date care tind catre repartitia normala, mediana este curpinsa intre media aritmetica si mod, iar in cazul unei repartitii normale perfecte, media coincide cu mediana si modul.

4. Intrebari de control

1. Ce este un indicator statistic?

2. Cum deosebiti un indicator primar de unul derivat?

3. Care sunt regulile a caror respectare asigura obtinerea unei marimi relative comparabile cu realitatea?

4. In ce fel exprimati o marime relativa?

5. Care sunt categoriile de marimi relative ce se pot distinge dupa functia de cunoastere?

6. Cum deosebiti marimile relative de structura de cele de coordonare?

7. Ce fel de comparatii puteti face atunci cand doriti sa caracterizati evolutia in timp (dinamica) unui fenomen?

8. De cate feluri sunt si la ce servesc marimile relative ale programarii activitatii?

9. Ce este o medie? Precizati continutul si forma de exprimar a unei marimi medii.

10. Prin ce se deosebesc mediile calculate de cele pozitionale?

11. Definiti media aritmetica. Care sunt principalele ei proprietati?

12. Care este relatia dintre diferitele marimi medii calculate? De ce nu coincid aceste medii?

13. Cum definmiti mediana si modul unei serii de date?

14. Precizati relatia dintre medie, mediana si mod.

5. Probleme rezolvate

Problema nr. 1

O societate comerciala specializata in productia si exportul de confectii a realizat in anul 2006 un export de 10 milioane Euro, in anul 2007 de 12 milioane Euro, iar pentru anul 2001 isi propune sa orienteze spre pietele externe 60% dintr-o productie marfa estimata la 25 milioane Euro.

Pana la sfarsitul lunii februarie 2008, societatea a realizat deja exporturi in valoare de 5 milioane Euro si avea in portofoliul de comenzi de executat contracte in valoare de alte 8 milioane Euro, din care 1 milion Euro cu termene de livrare in 2009.

Se cere sa se analizeze activitatea de export a societatii comerciale, folosind indicatorii absoluti si relativi adecvati;

Rezolvare:

a) Programul de export pe anul 2008 prezinta urmatoarea structura din punct de vedere al executiei la sfarsitul lunii februarie 2008:

Tabel 1.1

^* doar 7 din cele 8 milioane Euro contracte aflate in portofoliul de comenzi au termen de derulare in anul 2008

In analiza activitatii se pot face si comparatii intre diversele stadii de executie a programului de export, recurgand la marimi relative de coordonare.

Astfel, la sfarsitul lunii februarie 2008, societatea comerciala mai avea de contractat exporturi de 3 milioane Euro fata de contracte deja incheiate in contul anului 2008 in valoare de 5+7=12 milioane Euro, ceea ce duce la un raport de 1 la 4 intre cerinta de a (mai) contracta si "deja contractat". La aceeasi data, raportul intre volumul de contracte derulate si cele ramase de derulat era de 5 la 7 sau 1 la 1,4.

Aceasta informatie ajuta conducerea societatii comerciale in stabilirea cadentei de executare a contractelor ramase pentru derulare pana la sfarsitul anului.

Pentru a caracteriza dinamica exportului, se va observa ca in anul 2007 exportul era cu 2 milioane Euro mai mare decat in 2006, respectiv de 1,2 ori (cu 20%) superior realizarilor anului precedent.

Exportul programat pentru anul 2008 se situeaza la 15 milioane Euro (). Aceasta inseamna ca exportul anului 2008 va putea fi de 1,25 ori (15:12= 1,25) mai mare decat cel din 2007 (15:12) si, respectiv, de 1,5 ori superior exportului din 2006, cu conditia indeplinirii integrale a programului propus.

Problema nr. 2

Piata zaharului din Romania se caracteriza prin urmatoarele date specifice anilor 1996, 1999 si 2000:

Tabel 1

Sursa: Date preluate din revista "Capital" nr 47/23 noiembrie 2000

Se cere sa se determine si comenteze evolutia (1996 = 100%) urmatorilor indicatori:

a)      Suprafata cultivata cu sfecla de zahar;

Raspuns: 1999: 36,6%; 2000: 21,9%

b)      Productia de zahar rafinat obtinut din sfecla cultivata in tara;

Raspuns: 1999: 38%; 2000: 21,1%

c)      Randamentul la hectar al productiei de zahar din sfecla;

Raspuns: 1996: 1,74 tone/ha (100%),

1999: 1,80 tone/ha (103,4%); 2000: 1,67 tone/ha (96%)

d)      Consumul de zahar;

Raspuns: 1999: 85,1%; 2000: 76,6%

e)      Aprecierea consumului de zahar din productia proprie de zahar din sfecla cultivata in tara;

Raspuns: 1996: 40,4% (100%)

1999: 18,0% (44,6%); 2000: 11,1 (27,5%)

f)        Consumul de zahar pe locuitor

Raspuns: 1996: 26,0 kg/locuitor (100%)

1999: 22,3 kg/locuitor (85,8%)

2000: 20,2 kg/locuitor (77,7%)

Problema nr 3

Sa se determine marimile medii specifice seriei de variante simple de mai jos si sa se observe relatia dintre indicatorii determinati: 7; 9; 4; 6; 3; 5; 8;

Sa se observe efectul atribuirii unor frecvente diferite variantelor seriei de mai sus, potrivit tabelului alaturat:

Tabel 3.1

Rezolvare:

Seria de variante simple se caracterizeaza prin urmatoarele medii calculate:

Media aritmetica:   

Media armonica:

Media geometrica:     

Media patratica:

Se constata ca:

Dintre mediile pozitionale, doar mediana poate fi aflata.

Locul ei este egal cu .

Aceasta inseamna ca in seria de variante ordonate crescator: 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9, mediana va fi media aritmetica simpla a variantelor a patra si a cincea, asezate de o parte si de cealalta parte fata de mijlocul seriei:

Se obsera ca .

Observatie: Intr-o serie de variante simple nu exista valoare modala.

Pentru seria de variante cu frecvente, mediile calculate rezulta din aplicarea relatiilor:

Media aritmetica:   

Fata de media specifica seriei de variante simple, se constata o micsorare cu 0,75 unitati (aceasta diminuare se poate exprima procentual comparand scaderea absoluta cu media initiala, adica ). Reducerea se datoreaza faptului ca variantele mici ale seriei sunt mai frecvente decat variantele mari.

Media armonica:

Deoarece media armonica simpla este sensibila la variantele mici ale seriei, scaderea nu mai este atat de pronuntata ca in cazul mediei aritmetice. Totusi, scaderea mediei armonice a seriei de frecvente este de 0,348 unitati (-8%) fata de aceeasi medie a seriei de variante simple.

Media geometrica:     

Aplicarea relatiei de calcul presupune logaritmarea formulei de mai sus:

Se observa ca, pentru a usura procesul de calcul, media geometrica ponderata este transformata in medie aritmetica ponderata a logaritmilor variantelor, ponderarea mediei realizandu-se cu frecventa inregistrarii variantelor in colectivitatea cercetata.

Media geometrica a variantelor seriei de frecvente este si ea mai mica decat cea a seriei simple, dar reducerea este cu 0,548 unitati (-11,1%).

Media patratica:

Ea este, la randul ei, cu 0,845 unitati (-14,2%) mai mica decat aceeasi fel de medie calculata pe seria de intervale simple.

Se constata ca se pastraza relatia dintre medii:

insa atribuirea unor frecvente diferite variantelor seriei genereaza modificari variabile de la o medie la alta.

Medii pozitionale

Aflarea medianei presupune ordonarea prealabila a termenilor seriei:

Tabel 3.2

Locul medianei este egal cu , iar mediana este media aritmetica simpla a variantelor x₁₈ si x_19. Adunand treptat frecventele, se constata ca 3+8+9=20, ceea ce inseamna ca ambele variante au valoarea 4, deci:

Me = 4

Modul reprezinta varianta cu frecventa cea mai mare:

Mo = 4

Prin urmare, in acest exemplu, mediana si modul au aceeasi valoare, 4, fiind mai mici decat media aritmetica ponderata.

Problema nr. 4

Se cunoaste distributia a 83 studenti ai anului II din cadrul Facultatii de Relatii Economice Internationale in functie de notele obtinute la examenul de statistica:

Tabel 4.1

limita superioara nu este cuprinsa in interval

Se cere:

a)      Sa se determine nota medie la examenul de statistica pentru cei 83 de studenti;

b)      Sa se determine nota cea mai des obtinuta de studenti;

c)      Sa se determine nota care imparte studentii anului in doua parti egale;

d)      Sa se transforme frecventele absolute in frecvente relative si sa se refaca estimarile pentru medie, mediana si mod. Ce se constata?

Rezolvare:

a) Pentru a stabili centrele intervalelor de grupare marginale, se accepta ipoteza ca si acestea sunt la fel de mari (ample) ca si intervalele definite de la mijlocul seriei (adica, tot de doua puncte):

Tabel 4.2

Media aritmetica

b) Daca seria celor 83 studenti ar fi prezentata pe variante distincte de grupare, nota cea mai des obtinuta (nota dominanta sau modul) s-ar putea identifica prin observarea frecventei maxime (n_max).

Pentru ca datele sunt grupate pe patru intervale de notare, modul se estimeaza prin interpolare in intervalul cu frecventa maxima (intervalul modal):

unde:

reprezinta limita inferioara a interalului modal (= 6)

este marimea acestui interval (k = 2)

este diferenta intre frecventa intervalului modal si frecventa intervalului imediat anterior (= 35 - 26 = 9)

este diferenta intre frecventa intervalului modal si frecventa intervalului imediat urmator (= 35 - 18 = 17)

c) Pentru estimarea medianei unei repartitii de frecvente organizate pe intervale de grupare a variantelor se stabileste mai intai locul medianei:

locMe =

Observatie: Daca seria ar fi prezentata pe variante distincte, atunci x₄₂ ar fi varianta care imparte colectivitatea in doua parti egale: 41 variante mai mici, cel mult egale cu x₄₂ si alte 41 variante mai mari, cel putin egale cu valoarea mijlocie).

Cum seria este prezentata pe patru grupe de note, trebuie identificat intervalul care cuprinde pe x_42, iar apoi se aplica formula de interpolare pentru estimarea medianei.

Prin cumularea treptata a frecventelor n_i (pana se ajunge la un numar egal sau mai mare decat 42 - locul medianei), se afla ca intervalul care contine mijlocul seriei, este intervalul (6 - 8), iar mediana are valoarea estimata de:

unde:

reprezinta limita inferioara a intervalului median (care contine mijlocul seriei) (= 6)

este marimea acestui interval (k = 2);

- suma frecventelor pana la intervalul care contine mediana (30);

- frecventa specifica acestui interval (35).

Observatii:

• Nu este obligatoriu ca cele trei valori ale tendintei centrale (media, mediana si modul) sa se inscrie in acelasi interval de grupare, cum s-a intamplat in acest exemplu.

In cazul seriilor organizate pe intervale neegale de grupare, marimea intervalului de grupare (k) care contine mijlocul seriei si, respective, marimea intervalului modal, pot diferi.

d) Transformarea frecventelor absolute in frecvente relative se realizeaza raportand frecventa specifica fiecarei grupe (n_i) la volumul colectivitatii (N = S n_i = 83 studenti). Se inmulteste cu 100% daca se doreste exprimarea procentuala a ponderii fiecarei grupe. Rezulta, in ordinea grupelor din tabelul 10.1 urmatoarele frecvente relative: 4,82%, 31,32%, 42,17%, 21,69%. Evident, suma frecventelor relative face exact 100%.

Aplicarea formulelor deja cunoscute conduce la obtinerea acelorasi rezultate ca si in cazul frecventelor absolute.

Observatie: Unele diferente pot apare ca urmare a rotunjirilor practicate la stabilirea frecventelor relative. Cu cat rotunjirile sunt mai avansate, cu atat diferentele fata de rezultatele obtinute la primele trei puncte ale problemei sunt mai semnificative. Pentru a verifica aceasta asertiune, se recomanda ca in locul sirului de frecvente relative de mai sus, sa se utilizeze valorile rotunjite ale acestora: 5%, 31%, 42%, 22%.

Rezultatele sunt: = 6,62; Me = 6,69; Mo = 6,71.

6. Probleme propuse

Problema nr. 5

O societate comerciala prezinta urmatoarea situatie a fondului de salarii si a numarului de salariati pe grupe de vechime in munca (date conventionale):

Tabelul 5.1

Se cere:

a)      Sa se determine marimile relative de coordonare fata de ultima grupa de vechime, pentru fiecare variabila studiata si sa se faca analiza comparativa a rezultatelor;

b)      Sa se reprezinte grafic structura fondului de salarii si a numarului de salariati;

c)      Sa se determine marimile relative de intensitate. Care este semnificatia economica a acestora?

Problema nr. 6

O societate comeciala a inregistrat in anul (t) o cifra de afaceri de 25 milioane USD, propunandu-si pentru anul (t+1) o cifra de afaceri de 30 milioane USD si a realizat numai 28 milioane USD.

Sa se determine marimile relative care exprima:

a)      Intensitatea efortului necesar realizarii planului in (t+1) comparativ cu (t).

b)      Procentul realizat din obiectivul propus in (t+1).

c)      Evolutia cifrei de afaceri a firmei in anul (t+1) fata de anul (t).

Problema nr. 7

Se cunosc urmatoarele date referitoare la suprafata si populatia unui grup de tari din Europa continentala, in 2005:

Tabel 7.1

Sursa: Guide Risque Pays - 2007.

Se cere:

a)      Sa se calculeze marimile relative de intensitate si sa se arate semnificatia lor.

b)      Sa se reprezinte grafic rezultatelor obtinute.

Problema nr. 8

Determinati media, mediana si modul pentru seria: 7; 10; 3; 6; 7; 12; 5; 8; 9; 12 si 14.

Problema nr. 9

O societate comerciala prezinta urmatoarea situatie a personalului pe grupe de varsta (date conventionale):

Tabelul 9.1

^*) limita superioara nu este cuprinsa in interval

Se cere:

a)      Sa se determine varsta medie a personalului din societatea comerciala analizata.

b)      Sa se calculeza varsta care imparte salariatii in doua grupe egale.

c)      Sa se determine varsta cea mai des intalnita in randul personalului acestei societati comerciale.

d)      Sa se observe relatia dintre cei trei indicatori obtinuti.