Parametrii concentrarii

Parametrii concentrarii

Daca la baza unei serii se afla o variabila numerica, atunci caracterizarea sintetica a concentrarii valorilor sale in jurul valorii medii se realizeaza in principal cu ajutorul parametrilor adecvati ai variatiei.

In cazul in care se 515d37f ria are insa la baza o variabila nenumerica, caracterizarea sintetica a concentrarii starilor variabilei se poate realiza prin:

lungimea vectorului de structura

energia informationala

entropia informationala

Lungimea vectorului de structura

Prin definitie intr-un spatiu cu R dimensiuni , norma vectorului f , notata cu , se exprima astfel:

Seria prezinta o concentrare maxima daca toate unitatile populatiei sunt repartizate intr-o singura clasa a carei frecventa relativa va fi 1, iar pentru celelalte clase frecventele relative vor fi 0.

Energia informationala

Acest parametru a fost introdus de academicianul Octav Onicescu.Prin definitie :

E=, unde s-a notat cu E, energia informationala.

In cazul unei populatii caracterizate de un grad de concentrare maxim, va exista o clasa care va avea frecventa relativa egala cu 1, iar celelalte vor avea frecvente relative 0 si ca urmare E_max=1.

Daca populatia este caracterizata de o concentrare minima, atunci :E_min=1/R.

Forma relativa a acestui parametru, notata cu E_r, se deduce astfel :

, de unde .

Referitor la populatia data , studiata in raport cu o variabila X, se calculeaza E_r, iar daca :

-E_r se apropie de 1,atunci populatia respectiva este caracterizata de un inalt grad de concentrare

- E_r se apropie de 0,atunci populatia respectiva este caracterizata printr-o concentrare minima.

Entropia informationala

Pentru o serie cu frecvente relative, entropia informationala, notata cu H se defineste astfel :

H=

In cazul unei concentrari minime, entropia informationala inregistreaza o valoare maxima, deoarece :

In cazul unei concentrari maxime, entropia informationala inregistreaza o valoare minima, deoarece :

H=1 ln1+ (R-1)*0*ln 1/0

Ca urmare entropia informationala verifica urmatoarea dubla inegalitate :

Formula relativa a entropiei informationale, notata cu H_r, se determina astfel :

3.5.Parametrii formei

Parametrii formei unei serii de repartitie, dupa continut, se clasifica in doua grupe ;

-parametrii asimetriei

-parametrii boltirii

Parametrii asimetriei

Asimetria unei serii se defineste in raport cu dispunerea unitatilor intr-o parte sau alta a valorii medii.

In acest sens o serie de repartitie este simetrica in raport cu media sa daca frecventele valorilor variabilei X, egal departate de valoarea medie, sunt egale intre ele, adica :

),

oricare ar fi astfel incat sa se afle printre valorile lui X.

O serie de repartitie este asimetrica in raport cu valoarea sa medie daca exista cel putin o pereche de valori ale variabilei X, egal departate de valoarea medie, pentru care frecventele corespunzatoare sa nu fie egale intre ele, adica :

)

oricare ar fi astfel incat sa se afle printre valorile lui X.

Coeficientul de asimetrie a lui Pearson

Conform acestui parametru, o serie are o asimetrie cu atat mai pronuntata cu cat diferenta dintre valoarea medie si valoarea modala este mai mare.

Expresia de calcul pentru coeficientul de asimetrie a lui Pearson, notat cu

In raport cu valoarea obtinuta pentru , se poate aprecia gradul de asimetrie precum si sensul acesteia.

In acest sens avem :

1.daca =0, atunci , iar seria respectiva este simetrica

2.daca >0, atunci >M₀ si ca urmare, valoarea modala este situata la stinga mediei, ceea ce imprima distributiei o asimetrie pozitiva.

Coeficientul de asimetrie a lui Fisher

Acest parametru se noteaza cu ₃, iar expresia sa de calcul este :

Calculand valoarea acestui parametru, in functie de semnul ei, avem urmatoarele cazuri :

1., ceea ce inseamna ca , adica suma tuturor abaterilor cu semnul minus, este egala cu suma tuturor abaterilor cu semnul plus, ridicate la puterea a treia.In acest caz, seria este simetrica.

2. >0, ceea ce inseamna ca >0.Aceasta este echivalent cu faptul ca pe total suma abaterilor cu semnul plus de la valoarea medie este mai mare decat suma abaterilor cu semnul minus si ca urmare seria prezinta o asimetrie pozitiva.

3. <0, deci <0. Aceasta este echivalent cu faptul ca pe total suma abaterilor cu semnul minus de la valoarea medie este mai mare decat suma abaterilor cu semnul plus si ca urmare seria prezinta o asimetrie negativa..

Parametrii boltirii

Aprecierea boltirii unei serii este utila in caracterizarea gradului de reprezentativitate a valorii medii cat si pentru compararea reprezentativitatii a doua sau mai multe valori medii ce reprezinta serii diferite.

Parametrul da o caracterizare numerica sub forma absoluta a gradului de boltire a unei serii.

Sub forma relativa gradul de boltire a unei serii se masoara cu parametrul :

sau

unde , expresie cunoscuta sub denumirea de exces al seriei.

Urmatoarele cazuri sunt semnificative cu privire la aprecierea boltirii unei serii :

daca ( adica B₄=3) atunci seria in cauza prezinta aceeasi boltire cu a curbei normale(excesul este nul)

>0, atunci boltirea corespunzatoare curbei respective este mai inalta si mai ascutita decat curba normala

<0, atunci boltirea corespunzatoare curbei respective este mai plata ( mai joasa si mai lata) decat curba normala.

PROBLEME PROPUSE (Capitolul 3)

P1.In vederea studierii situatiei actuale pe piata actiunilor, s-a format un esantion reprezentativ de volum 40, a carui repartitie in raport cu pretul ( in mii lei) este :

X :

Se cere :

a)      pretul mediu

b)      pretul inregistrat de cele mai multe actiuni din esantion

c)      acel pret care divide esantionul in doua parti egale

d)      reprezentativitatea pretului mediu

e)      sa se calculeze cu cat se abate in medie pretul unei actiuni din esantion de la pretul mediu

f)        folosind valorile quartile sa se studieze structura actiunilor in raport cu pretul.

P2.Intr-o firma s-au realizat 40 de produse in cadrul unui trimestru.Acestea au fost propuse prelucrarii in mod secvential in doua sectii de productie.

Repartitia produselor realizate in raport cu costurile ( in mii lei) din cele doua sectii a fost :

Folosind proprietatea conform careia " media sumei a doua variabile este egala cu suma mediilor acestora", calculati costul mediu pe produs.

P.3.Distributia a 100 de angajati din trei ramuri de activitate diferite, in raport cu salariul primit este :

Folosind proprietatea de aditiune a mediei aritmetice sa se calculeze salariul mediu pe angajat.

P.4.Se considera o populatie statistica a agentilor ec. Studiata in raport cu volumul vinzarilor.Distributia populatiei in raport cu aceasta variabila este :

X :

Se cere :1)Sa se determine valoarea modala a seriei si interpretati rezultatul

2)Gasiti valoarea mediana si interpretati-o corespunzator.

3) Calculati abaterea medie patratica si interpretati rezultatul.

P.5. Se da urmatoarea repartitie unidimensionala avand la baza o variabila discreta, relativ la care se cere :

a) Valoarea medie si caracterizarea reprezentativitatii acesteia

b) Valoarea mediana si caracterizarea reprezentativitatii acesteia

c)Valoarea modala

d)Analiza statistica a asimetriei

e)Analiza gradului de concentrare a unitatilor

X : unde X-este numarul de copii

P.6. Se da urmatoarea repartitie statistica unidimensionala avand la baza o variabila continua, relativ la care se cere :

a) Valoarea medie si caracterizarea reprezentativitatii acesteia

b) Valoarea mediana si caracterizarea reprezentativitatii acesteia

c)Valoarea modala

d)Analiza statistica a asimetriei si a boltirii

X-reprezinta nr. de agenti economici care au inregistrat profit

X :