Parametrii de structura

Parametrii de structura

Frecvente sunt cazurile cand este necesara studierea structurii populatiei in raport cu o variabila sau alta.Parametrii statistici, in forma cea mai generala, folositi in caracterizarea structurii unei populatii, poarta denumirea de valori quantile.

Valorile quantile ale unei serii de repartitie unidimensionale sunt acele marimi inregistrate de variabila X, care impart seria in n parti egale ( mai precis imparte populatia in n parti egale).In acest caz se vor 737j93h calcula p quantile; p=n-1.

Pentru o serie continua a carei densitate de probabilitate f(x) este cunoscuta, urmatoarea egalitate este satisfacuta de cele p quantile :

(3.2.1.)

unde cele n-1 quantile s-au notat cu q₁, q₂,, q_n-1

Pentru o serie oarecare quantila de ordinul p, este definita astfel :

F_N(q_p)= p        sau N(q_p)=

Dupa cum seria este cu frecvente relative sau absolute.

Fie o serie de repartitie care are la baza o variabila X discreta, de forma urmatoare :     

X:

Pentru calculul valorii quantile de ordinul p ( p=), in prima etapa trebuie determinat rangul acesteia :

Se disting doua cazuri :

a)      Daca pn se divide cu n atunci quantila de ordin p se calculeaza ca o medie aritmetica simpla a valorilor variabilei X, de ordinul rangului si al rangului majorat cu o unitate, dupa cum urmeaza :

b)      Daca pN nu se divide cu n atunci quantila de ordin p este egala cu acea valoare a variabilei X corespunzatoare partii intregi a rangului majorat cu 1 :

In cazul seriilor care au la baza o variabila continua , cf. definitiei, cele n-1 quantile trebuie sa satisfaca relatia 3.2.1.

Fie o serie de variatie continua, ale carei intervale de variatie nu trebuie sa fie neaparat de lungime egala, cum ar fi :

In prima etapa se determina rangul quantilei de ordinul p, conform urmatoarei relatii :

Quantila de ordinul p, se calculeaza conform relatiei :

unde am presupus intervalul X_i-1 -X_i ca intervalul quantilei de ordinul p, iar , reprezinta distanta necunoscuta inca, intre limita inferioara a intervalului quantilei de ordinul p si valoarea din acest interval cu care coincide quantila de ordin p.

Distanta necunoscuta se deduce astfel :

Introducem urmatoarele notatii :

,reprezinta limita inferioara a intervalului quantilei de ordinul p.

, reprezinta lungimea intervalului quantilei de ordinul p.

, reprezinta frecventa absoluta a intervalului quantilei q_p,

care conduc la formula de calcul ;

(3.2.2.)

Valoarea mediana M_e este si un parametru de structura, obtinindu-se ca un caz particular de quantila , cand n=2.Daca pentru o serie se cunoaste quantila de ordinul 2, atunci structura populatiei poate fi redata astfel :

X :

Semnificand faptul ca jumatate din populatia supusa studiului a inregistrat pentru variabila X valori cuprinse intre valoarea minima a lui X si mediana, iar cealalta jumatate din populatie a inregistrat pentru variabila X valori cuprinse intre mediana si valoarea maxima a lui X.

Formula de calcul a medianei se poate gasi ca un caz particular a relatiei 3.2.2.

Valorile quartile reprezinta acel caz particular al valorilor quantile pentru care n=4.Cele 3 quartile care se obtin, notate cu Q₁, Q₂, Q₃ sunt acei parametri de structura care impart populatia in 4 parti egale.

In raport cu mediana quartila intai Q₁ se numeste quantila mica (inferioara), quartila a doua Q₂ coincide cu mediana si se numeste quartila mijlocie , iar quartila a treia Q_3, se numeste quartila mare (superioara).

Valorile efective pentru cele 3 quartile se determina in mod diferit, dupa cum seria este discreta sau continua.

1.In cazul seriilordiscrete, rangul pentru cele 3 quartile se calculeaza conform formulelor :

Expresiile rangurilor pentru cele 3 quartile sunt diferite, dupa cum valorile rangurilor corespunzatoare lor sunt intregi sau nu.

In cazul in care rangurile sunt valori intregi, quartilele se calculeaza ca medie aritmetica simpla a valorilor lui X corespunzatoare rangului si rangului majorat cu o unitate.

Daca p, se divide cu 4, atunci relatiile pentru calculul quartilelor sunt :

iar daca p, se divide cu 4, atunci relatiile pentru calculul quartilelor sunt :

In cazul seriilor de variatie continua , etapele privind determinarea celor 3 quartile sunt aceleasi.

Mai intai se determina rangul quartilei, conform relatiilor :

Pentru prima quartila :

Primul interval care satisface inegalitatea :

reprezinta intervalul quartilei mici.

Acest interval fiind gasit, quartila mica se determina conform relatiei:

Pentru quartila mijlocie, calculele se fac ca si pentru mediana.

In cazul quartilei mari, rangul se calculeaza astfel :

Primul interval care satisface inegalitatea :

reprezinta intervalul quartilei mari.

Acest interval fiind gasit, quartila mare se determina conform relatiei:

Valorile decile reprezinta acel caz particular al valorilor quantile pentru care n=10. Valorile decile reprezinta acei parametri de structura care impart populatia in 10 parti egale.