Parametrii variatiei

Parametrii variatiei

In functie de elementul de referinta folosit in masurarea variatiei, deosebim :

-parametrii variatiei in raport cu valoarea medie

-parametrii variatiei in raport cu valoarea mediana.

Parametrii variatiei in raport cu valoarea medie

Din aceasta grupa fac parte:

-amplitudinea sau variatia maxima

-variatia maxima si variatia minima fata de valoarea medie

-abaterea medie liniara

- abaterea medie patratica.

Amplitudinea sau variatia maxima

Acest parametru se noteaza cu W si se defineste ca fiind diferenta intre valoarea maxima si valoarea minima inregistrate de variabila.

Amplitudinea , sub forma absoluta, conform definitiei se exprima astfel:

W_x=x_max-x_min si caracterizeaza imprastierea maxima a variabilei X.

Amplitudinea , sub forma relativa, conform definitiei se exprima astfel:

sau

si masoara imprastierea intre valorile extreme ale variabilei X, in ipoteza ca valoarea medie ar fi fost 1 sau 100.

Abaterea medie liniara

Abaterea medie liniara notata cu , reprezinta media aritmetica a abaterilor variabilei X de la valoarea medie a acesteia, luate in valoare absoluta:

Pentru o serie discreta formata cu frecvente absolute relatia 3.3.1. se particularizeaza in :

Pentru o serie discreta formata cu frecvente relative relatia 3.3.1. se particularizeaza in :

Acest parametru serveste caracterizarii sintetice a gradului de reprezentativitate a valorii medii, aratind cu cat se abate in medie orice valoare a variabilei X, de la valoarea medie, intr-un sens sau altul.

Sub forma relativa acest indicator poarta denumirea de coeficient simplu de variatie si se calculeaza conform relatiei :

Coeficientul simplu de variatie arata cu cat se abate in medie orice valoare a variabilei X de la valoarea medie echivalenta cu 1 sau 100%.

Abaterea medie patratica

Acest indicator este utilizat atat pentru caracterizarea gradului de reprezentativitate a valorii medii cat si in scopul estimarii unor parametrii necunoscuti.

Abaterea medie patratica , notata cu , se defineste ca fiind media patratica a abaterilor valorilor variabilei X, de la valoarea medie, adica:

Un calcul intermediar in aflarea acestui parametru, il constituie calcularea patratului abaterii medii patratice, care se numeste dispersie sau varianta si are urmatoarea expresie de calcul :

, aceasta fiind o alta notatie pentru varianta.

Relatia de calcul a dispersiei se particularizeaza in raport cu tipul seriei.Astfel, pentru o serie care are la baza o variabila discreta, varianta are expresia :

pentru o serie cu frecvente absolute,

sau

pentru o serie cu frecvente relative.

Pentru o serie data, varianta calculata nu are interpretare, dar daca se extrage radacina patrata din aceasta se obtine un numar care se exprima in aceleasi unitati de masura ca si variabila de la baza seriei. Acest numar reprezinta abaterea medie patratica, simbolizind cu cat se abate in medie in plus sau minus orice valoare x_i a variabilei X, de la valoarea medie.

Parametrul abatere medie patratica se poate exprima si sub forma relativa, caz in care se numeste coeficient de variatie a lui Pearson si se noteaza cu V_x.

Expresia de calcul este :

si reprezinta abaterea medie a oricarei valori a variabilei X de la valoarea medie, considerata egala cu 1 sau 100.

Proprietati ale variantei :

1.Varianta unei constante este egala cu 0.

V(X)=V(C)=0.

2.Varianta unei variabile X este independenta de schimbarea originii.

V(X)=V(Y)

3.Daca intre doua variabile Y si X exista urmatoarea relatie liniara :

Y=aX + b, atunci are loc urmatoarea egalitate :

V(Y)= a² * V(X)

4.Varianta unei variabile, fiind un moment centrat de ordinul doi, se poate exprima cu ajutorul diferentei dintre momentul de ordinul doi si patratul momentului de ordinul intai al variabilei, dupa cum urmeaza :

V(X)= M(X²)-(M(X))²

5.Varianta sumei a doua variabile X si Y este egala cu suma variantelor acestor variabile, daca cele doua variabile sunt independente.

V(X+Y)=V(X)+V(Y)

6.Varianta unei variabile X fata de o constanta x₀ este mai mare decat varianta acestei variabile fata de media sa, cu patratul diferentei dintre valoarea medie si constanta respectiva.

M(X-x₀)²=M(X

7.Varianta produsului dintre o constanta si o variabila este egala cu produsul dintre constanta la patrat si varianta :

V(a X)= a² V(X)

8.Varianta diferentei dintre doua variabile independente este egala cu suma variantelor acelor variabile.

V(X-Y)=V(X)+V(Y)

9.Varianta sumei a doua variabile dependente este egala cu suma variantelor celor doua variabile plus covarianta dintre cele doua variabile.

V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2M((X-

10.Varianta mediei aritmetice a n variabile independente care urmeaza aceeasi lege de distributie este egala cu varianta uneia dintre variabile impartita la numarul variabilelor considerate.

11.Varianta unor variabile normate este unu, iar media este zero.

Pentru o variabila X oarecare, variabila normata atasata este :

Z=

De medie M(Z)=0.

Si varianta

12.Regula de adunare a variantelor.

Varianta in intreaga populatie, care masoara variatia totala in raport cu X, este egala cu suma a doua variante, din care una masoara variatia in cadrul grupelor, iar cealalta variatia dintre grupe.

Parametrii variatiei in raport cu valoarea mediana

Cand intervalele marginale ale unei serii sunt deschise, valoarea medie neputind fi calculata, valoarea mediana joaca rolul valorii medii.

In acest scop, trebuie caracterizat gradul de reprezentativitate a valorii medii, care se realizeaza cu ajutorul urmatorilor parametrii ai variatiei:

abaterea interquartila

abaterea interdecila

abaterea interquantila

Abaterea interquartila

Abaterea interquartila , prin definitie este media aritmetica simpla a segmentelor

M_e-Q₁ si Q₃-M_e, respectiv:

si arata cu cat se abat in medie in plus sau in minus, de la mediana cele 50% din valorile variabilei cuprinse intre Q₁ si Q₃.

Forma relativa a acestui indicator , notat cu Q_r este :

se numeste coeficient de variatie interquartilic si arata cu cat se abat in medie de la mediana ( considerata egala cu 100), valorile variabilei inregistrate pentru cele 50% din unitatile populatiei cuprinse intre Q₁ si Q₃.

Abaterea interdecila

Acest parametru ofera o imagine mult mai concludenta privind gradul de reprezentativitate.

Parametrul abaterea interdecila permite caracterizarea gradului de reprezentativitate a valorii mediane peste 80% din populatia supusa studiului si care inregistreaza valori pentru variabila, in raport cu care este studiata, cuprinse intre decila intai si decila a noua.

Abaterea interdecila se noteaza cu D si avem :

D=

Reprezentand forma absoluta a parametrului.

Raportind abaterea interdecila D la mediana si inmultind cu 100 se obtine forma relativa a acestui parametru notata cu D_r :

care se mai numeste coeficient de variatie interdecilic.Acest coeficient masoara dispersarea in medie a celor 80% din unitatile populatiei fata de valoarea medianasi serveste la compararea gradului de reprezentativitate a valorilor mediane calculate pentru diferite serii.

Gradul de reprezentativitate a medianei este cu atat mai mare cu cat abaterea interdecila este mai mica.

Abaterea interquantila caracterizeaza gradul de reprezentativitate a valorii mediene.

Pentru acest parametru sub forma absoluta, avem :

iar sub forma relativa, denumita si coeficient de variatie interquantilic este :              

Cu cat abaterea interquantilica este mai mica, cu atat valoarea mediana este mai reprezentativa.