Dobanda simpla

DOBANDA SIMPLA

1 Definitie. Formule de calcul

Dobanda calculata asupra aceleiasi sume, pe toata durata imprumutului, se numeste dobanda simpla.

Dobanda perceputa pentru suma de 100 unitati monetare (u.m) -lei, dolari, euro etc. pe timp de un an se numeste procent, notat cu p.

Daca notam prin: S₀-suma depusa sau imprumutata, t-timpul in ani, p procentul, D dobanda simpla, atunci dobanda D in operatia de dobanda simpla, este proportionala cu durata t si cu suma S₀ depusa sau imprumutata pe aceasta perioada, rezulta:

D=k.S₀.t, k-constanta de proportionalitate.

Daca luam S₀=1, t=1 Þ k=D, deci:

constanta de proportionalitate k reprezinta dobanda sumei de o unitate baneasca intr-o unitate de timp. In practica operatiilor financiare, se ia pentru unitatea de timp t=1 an si in acest caz constanta de proportionalitate se noteaza cu i, numindu-se dobanda unitara anuala, de unde, formula uzuala pentru dobanda simpla:

D = i.S₀.t

Deoarece procentul de dobanda p este dobanda sumei sumei de 100 u.m. pe timp de un an, avem:

(3) i = p/100, de unde:

(4) D =

Observatie.

Daca pe durata de plasare a sumei S₀ procentul se modifica de exemplu, p_j=100.i_j este procentul corespunzator perioadei t_j iar durata de plasare t= , atunci dobanda cuvenita plasarii sumei S₀ in regim de dobanda simpla este data de relatia

(2') D = S₀

Formula dobanzii simple (2) sau (4) permite calculul dobanzii pentru cazul cand durata imprumutului se da in ani. Ce se intampla daca imprumutul se face pentru un numar de zile sau de luni?

Daca in formula (4), consideram t = t_k/k, unde k reprezinta numarul de parti egale in care am impartit anul, iar t_k un numar oarecare de asemenea parti din an pentru care se calculeaza dobanda simpla, obtinem:

D =

Pentru k=2,4,12,360 obtinem valoare dobanzii simple pentru t₂ semestre, t₄ trimestre, t₁₂ luni respectiv t₃₆₀ zile:

Se observa ca formula dobanzii simple contine patru elemente. Cunoscandu-se trei dintre ele se poate determina cel de al patrulea.

2 Suma sau valoarea finala si suma sau valoarea actuala

Daca notam prin S₀ suma depusa in momentul initial (suma investita initial ori capital principal) si D=S₀.i.t dobanda adusa de aceasta suma pe durata t, atunci suma finala va fi

S_t = S₀ + D = S₀(1 + i.t) , sau

(6') S_t = S₀(1 + )

cand se considera anul impartit in k parti egale, daca procentul p este constant pe durata plasarii, sau

(6') S_t = S₀,

daca procentul este variabil pe durata plasarii, t = iar p_j = 100.i_j este procentul corespunzator perioadei t_j

Se numeste suma sau valoarea finala (valoarea acumulata la momentul respectiv sau suma revenita), suma disponibila peste t ani daca se plaseaza in momentul initial suma S₀.

Din relatia (6) cand se cunoaste suma sau valoarea finala S_t, se poate determina suma (suma initiala) sau valoarea actuala a sumei S_t (suma depusa in momentul initial care pe durata de timp t devine S_t).

Deducem:

(7) S₀ = = S_t(1 + i.t)^-1 ,

daca procentul p este constant, sau

(7') S₀ =

daca procentul se schimba de m ori pe durata de plasament.

3 Operatiuni echivalente in regim de dobanda simpla

Fie un deponent P care plaseaza sumele S₁,S₂,,S_n avand duratele t₁,t₂,,t_n cu procentele anuale p₁,p₂,,p_n (p_k =

=100.i_k, k=1,2,,n) si sa notam o astfel de operatiune multipla sau matriceala cu A=(S_j,p_j,t_j), (j=1,2,,n) pentru care dobanda corespunzatozre este:

D(A) =

Spunem ca operatiunile matriceale A=(S_j,p_j,t_j), (j=1,2,. ..,n) si B=(S_k',p_k',t_k') ,(k=1,2,,m) sunt echivalente in regim de dobanda simpla (notand A ^DSB) daca ele aduc aceeasi dobanda D(A)=D(B). Doua operatiuni echivalente se numesc substituibile, iar daca B substituie pe A, atunci elementele lui B se numesc elemente inlocuitoare.

Deosebim:

1) cand A se inlocuieste (se substituie) cu B de acelasi tip dar avand o componenta constanta (componenta numita element mediu inlocuitor sau valoare medie inlocuitoare);

2) cand A se inlocuieste cu o operatiune unica in care doua elemente sunt date si al treilea (numit element unic inlocuitor) se determina.

Putem considera:

a) Suma medie

-Fie A=(S_k,p_k,t_k), (k=1,2,,n); B=(S,p_k,t_k), (k=1,2,,n). Daca B ^DSA atunci obtinem suma medie inlocuitoare:

S= unde a_k= cu

Deoarece a_k>0, suma medie (element mediu) inlocuitoare S este o combinatie liniara convexa a sumelor S_k.

-Daca A=(S_k,i_k,t_k), (k=1,2,,n) echivalenta cu operatiunea unica B=(S,i,t), atunci obtinem suma unica (sau comuna) inlocuitoare:

S =

b) Scadenta comuna si scadenta medie

Se numeste scadenta a sumei S₀ perioada (timpul) t pentru care s-a imprumutat (dupa care trebuie rambursata) o

suma de bani S₀.

Fie S₁,S₂,,S_n mai multe sume imprumutate cu acelasi procent p, dar avand scadentele, respectiv t₁,t₂,,t_n. Ne propunem sa inlocuim sumele si duratele precedente printr-o suma unica S si o durata unica t astfel incat suma dobanzilor aduse de sumele S₁,S₂,,S_n sa fie egala cu dobanda adusa de suma S pe durata t. Vom avea:

Þ

(8) S₁t₁+S₂t₂+ +S_nt_n = S.t

Din ecuatia (8) in necunoscutele S si t, daca se cunoaste S putem determina durata t:

(9) t =

Se numeste scadenta comuna timpul t in care suma de bani S produce aceeasi dobanda ca si cele n sume cu scadentele respective.

Daca S=S₁+S₂++S_n adica pe durata de timp t suma S aduce dobanda egala cu suma dobanzilor aduse de sumele S₁,S₂,,S_n respectiv pe duratele de timp t₁,t₂,,t_n , atunci:

(10) t = ,

iar scadenta comuna data de (10) se numeste scadenta medie (scadenta medie este deci media ponderata a scadentelor, ponderile fiind sumele imprumutate).

Posibilitatea calcului scadentei medii conduce la simplificarea efectuarii imprumuturilor si deci la simplificarea urmaririi rambursarii sumelor imprumutate.

Daca B ^DSA cu A=(S_k,p_k,t_k), (k=1,2,,n) si B=(S_k,p_k,t), (k=1,2,,n) atunci scadenta medie inlocuitoare:

(10') t = cu b_k=si , b_k>0, (k=1,2,,n) adica elementele medii inlocuitoare sunt combinatii liniare convexe ale elementelor inlocuite.

In cazul particular, cand avem acelasi procent, din (10') se obtine (10).

Cand (S_k,i_k,t_k) ^DS(S,i,t), obtinem scadenta unica (comuna) inlocuitoare:

(9') t = .

Formula (9) devine un caz particular al lui (9') cand procentul cu care se imprumuta este unic.

c) procentul mediu de plasament (depunere)

Fie sumele S₁,S₂,,S_n plasate pe duratele t₁,t₂,,t_n cu procentele p₁,p₂,,p_n. Sa se determine procentul mediu de plasament p, pentru care aceste sume plasate pe aceleasi durate, dau aceeasi dobanda totala ((S_k,p_k,t_k) ^DS(S_k,p,t_k), (k=1,2,,n)). Avem:

Þ

(11) p=cu c_k=si , si c_k>0, (k=1,2,,n) adica p este o combinatie liniara convexa ale elementelor inlocuite.

Daca (S_k,i_k,t_k) ^DS(S,i,t), atunci procentul unic (comun) inlocuitor este dat de relatia:

p =

4 Suma marita sau micsorata cu dobanda respectiva

Formula dobanzii D=, se poate scrie: de unde:

.

Daca notam: S₀+D=S_M=suma marita si S₀-D=S_m=suma micsorata,atunci proportiile precedente se pot scrie:

(12) (13)

(14) (15)

Aceste formule permit rezolvarea unei probleme prin calculul celei de a patra proportionala.

5 Metode simplificate privind calculele la probleme de dobanda simpla

a)Calculul zilelor de la o data la alta

Calculul zilelor se face diferit de la o tara la alta. Astfel in tara noastra, se considera anul de 360 de zile, dar timpul de la o data la alta se face dupa calendar, exceptand ziua in care se efectueaza operatia financiara si trecand in numarul zilelor si ziua finala (data de scadenta a unui imprumut). In Anglia, anul bancar are 365 de zile si luna bancara este egala cu luna calendaristica; in Germania, anul bancar are 360 de zile iar luna bancara are 30 de zile; in Franta, anul bancar are 360 de zile iar o luna bancara este egala cu o luna calendaristica.

De exemplu, cate zile se vor considera pentru un imprumut efectuat la 15 martie si scadent la 19 august?

a) Direct, prin insumare avem: in martie mai sunt 16 zile, in aprilie 30 de zile, in mai 31 de zile, in iunie 30 de zile,in iulie 31 de zile, iar in august 19 zile si in total 157 de zile.

b) Cu tabele, cum ar fi de exemplu tabelul urmator:

I      II III IV V VI VII VIII IX X XI XII

I 365 31 59 90 120 151 181 212 243 273 304 334

II 334 365 28 59 89 120 150 181 212 242 273 303

III 306 337 365 31 61 92 122 153 184 214 245 275

IV 275 306 334 365 30 61 91 122 153 183 214 244

V 245 276 304 335 365 31 61 92 123 153 184 214

VI 214 245 273 304 334 365 30 61 92 122 153 183

VII 184 215 243 274 304 335 365 31 62 92 123 153

VIII153 184 212 243 273 304 334 365 31 61 92 122

IX 122 153 181 212 242 279 303 334 365 30 61 91

X 92 123 151 182 212 243 273 304 335 365 31 61

XI 61 92 120 151 181 212 242 273 304 334 365 30

XII 31 62 90 121 151 182 212 243 274 304 335 365

Pentru exemplu dat, linia martie si coloana august se

intretaie la 153, care reprezinta numarul de zile dintre aceeasi zi a lunilor respective. Deci, de la 15 martie la 15 august sunt 153 de zile, de la 15 august la 19 august inca 4 zile, de unde in total 157 de zile.

Fie de exemplu, sa se calculeze cate zile sunt intre 26 octombrie si 15 mai.

De la 26 octombrie la 26 mai sunt 212 zile; de la 15 mai la 26 mai sunt 11 zile, deci in total: 212-11=201 zile, sau: de la 15 octombrie la 15 mai sunt 212 zile; de 15 octombrie la 26 octombrie sunt 11 zile, deci in total 212-11=201 zile.

c) Folosind o 'regula speciala'.

Regula tine seama de ordinea lunilor in an, pe care le vom nota cu cifre romane; de exemplu, dintre 15 martie (III) la 19 august (VIII), avem:

adica 5 luni a 30 de zile + 4 zile = 154, rezultat ce trebuie corectat cu numarul lunilor de 31 de zile peste care am trecut in acest interval de timp din care se scad 2 sau 1 daca s-a trecut peste luna februarie cu 28 sau cu 29 de zile.

In cazul de fata: 154 + 3 = 157 zile.

Pentru celalalt exemplu, de la 26 octombrie la 15 mai, avem:

deci, 6.30+19=199 cu corectura 4 luni cu 31 de zile si mai putin zilele lunii februarie, deci: 199+2=201 zile.

Calculul se putea face si altfel:

(pentru numere negative exprimate in cifre romane se ia pentru numitor complementul fata de an), deci: 7.30-11=199+ +corectura 2 zile = 201 zile.

Observatie. Pentru mecanizarea calculelor si marirea vitezei de lucru sunt folosite tabele financiare care dau rezultatele total sau partial, printr-o simpla citire.

Este evident ca acum in epoca calculatoarelor, metoda expusa are caracter pur informativ (poate istoric).

b) Metoda numerelor si a divizorului fix

Fie formula dobanzii pentru cazul cand timpul este exprimat in zile:

D =

Notam N=S₀.t si d = numite, respectiv numere (N) si divizor fix (d). Deci D = N/d . Pentru procentele 'uzuale' se folosesc tabele de divizori , ca de exemplu:

Metoda numerelor si a divizorului fix este in deosebi folosita in cazul cand avem de calculat dobanda unor sume, pe durate diferite, insa cu acelasi procent.

Sa notam cu S_k si t_k , (k=1,2,,n) sumele si timpurile respective si cu p procentul de dobanda. Avem:

D_k= N_k/d , N_k = S_k.t_k , d=36000/p Þ

D =

adica dobanda totala a mai multor sume, pe durate diferite, dar cu acelasi procent este data de catul dintre suma numerelor si divizorul fix.

c) Metoda partilor alicote

Un numar dat A in raport cu un alt numar dat a luat ca

baza, este impartit in parti alicote, daca A s-a exprimat printr-o suma algebrica (adunari si scaderi) de multipli si submultipli ai bazei a.

Pornind de la formula: D = (S₀.t)/d in care S₀=d, obtinem D=t, adica daca suma este exprimata prin acelasi numar ca si divizorul fix, atunci dobanda este exprimata prin acelasi numar ca si timpul.

Cand suma S₀ difera de divizorul fix, atunci descompunand pe S₀ in parti alicote in raport cu baza d, avem:

S₀ = S₁+S₂+ +S_n Þ

D = Þ

D = , D_k = , k=1,2,,n

adica, intr-o suma de dobanzi cu acelasi t si acelasi d dar sumele S_k, (k=1,2,,n) fiind parti alicote ale sumei S₀ in raport cu baza d, atunci dobanzile respective vor fi parti alicote corespunzatoare in raport cu dobanda D=t.