Modelul cobweb (modelul panzei de paianjen)

Modelul Cobweb (modelul panzei de paianjen)

1.   Formularea problemei si stabilirea ecuatiei dinamicii preturilor

Acest model este cunoscut sub denumirea "modelul panzei de paianjen" datorita imaginilor grafice generate de functiile cerere si oferta. Exista situatii practice in care cererea este influentata de pretul propus in momentul in care a fost formulata, iar oferta este influentata de pretul practicat pe piata la un moment precedent.

De exemplu, pentru produsele agricole, intentia de a oferi si oferta propriu-zisa se interpune un interval de timp (aproximativ o jumatate de an).

Prin urmare, vom nota p_t, respectiv p_t-1, preturile la momentul t (momentul in care cererea este formulata) si momentul t-1 (momentul ofertei precedente).

Conditia de echilibru este in aceasta situatie urmatoarea:

(4.7)

si va conduce la o relatie de recurenta intre p_t si p_t-1 (numita "ecuatia recurenta a preturilor").

Ecuatia de recurenta a preturilor s 252i81c e determina cel mai comod liniarizand cei doi membrii ai ecuatiei (4.7) (dezvoltand in serie Mc-Laurin, respectiv Taylor si retinand doar primii doi termeni ai dezvoltarii).

Astfel, daca se dezvolta in serie Mc-Laurin cei doi membrii ai ecuatiei (4.7) obtinem:

,

de unde

                                  (4.8)

Daca se noteaza:

(adica x_t masoara abaterea de la pretul p_t practicat la momentul t si pretul echilibru p^* dat de (4.3)), atunci relatia recurenta (4.8) devine:

                        (4.9)

de unde, dupa un calcul imediat rezulta:

             (4.10)

Practic egalitatea (4.10) reflecta dinamica preturilor (motiv pentru care este denumita "ecuatia de dinamica a preturilor").

2.   Interpretarea economica

In situatia echilibru , din (4.9) rezulta:

,

de unde, dupa un calcul imediat obtinem:

                                            (4.11)

Prin urmare , deci marimea reprezinta indicele de dinamica a abaterii pretului curent fata de pretul de echilibru.

Observatia 4.4. In situatia in care functiile cerere si oferta sunt liniare, deci se cunosc expresiile analitice

,

atunci indicele de dinamica a abaterii pretului curent fata de pretul echilibru A se poate calcula direct ca raport intre sensibilitatea ofertei fata de pret S₀ si sensibilitatea cererii fata de pret S_c:

.

Pe de alta parte aceste sensibilitati se determina ca derivatele functiilor oferta, respectiv cerere in raport cu pretul curent p_t:

.

Prin urmare, in afara egalitatilor

se poate preciza si un alt mod pentru determinarea indicelui de dinamica:

.

Evident, avem in cazul in care cererea si oferta sunt liniare, dar poate fi folosita si in alte conditii in care exprimarile analitice ale acestor functii sunt mai generale.

In baza acestei interpretari economice a marimii A, din egalitatea (4.10) se pot desprinde urmatoarele concluzii:

1)       indicele de dinamica are modulul subunitar (adica <1). In acest caz , deci avem o situatie de echilibru (fig.4.3).

Figura 4.3.

2)       indicele de dinamica are modulul supraunitar (adica >1). In aceasta situatie sirul (p_t)_t este divergent, practic avem o situatie de hiperinflatie si dezechilibru

Figura 4.4.

3)       indicele de dinamica are valoarea A = 1 sau valoarea A = -1. In acest caz , practic suntem in cazul evolutiei pe acelasi echilibru pe doua stari de valori (alternative), practic p₀ si p₁ (fig.4.5).

Figura 4.5.

Practic influenta indicelui de dinamica este ilustrata in fig.4.3, fig.4.4, fig.4.5.

3.   Determinarea ecuatiei de dinamica in cazul in care nu se cunosc expresiile analitice ale functiilor cerere si oferta

In situatia in care nu se cunosc exprimarile analitice ale functiilor cerere si oferta dar se cunoaste dependenta dintre pretul de baza p_t si preturile anterioare p_t-1, p_t-2, ., p_t-k, determinarea ecuatiei de dinamica a preturilor se realizeaza parcurgand cateva etape care presupun calcule relativ simple. Dependenta dintre pretul de baza si preturile anterioare se poate stabili din date statistice si utilizand metodele de aproximare cunoscute (metode de interpolare, adica aproximarea prin polinoame, metoda celor ,mai mici patrate etc.).

Se disting doua situatii:

I. Dependenta dintre pretul de baza si preturile anterioare este de forma , f fiind o functie cunoscuta si omogena. Aceasta situatie este cunoscuta uzual sub denumirea de cazul omogen.

Preturile se cauta de forma .

Dependenta functionala data se transforma intr-una echivalenta de forma urmatoare , numita ecuatie caracteristica.

Se noteaza cu r₁, r₂, ., r_k+1 solutiile reale si nenule ale acestei ultime ecuatii. Pretul la momentul t cautat este de forma urmatoare:

unde c₁, c₂, ., c_k sunt constante reale ce se determina din conditii initiale, adica ca in momentul initial si in k-1 momente anterioare preturile sa fie cunoscute.

II.           Dependenta dintre pretul de baza si preturile anterioare este de forma urmatoare:

,

unde f si g sunt functii cunoscute si g este diferita de functia ceruta (cazul omogen). Pretul la momentul t se noteaza si este de forma urmatoare:

,

unde este pretul dat de ecuatia omogena (si care se determina dupa metodologia anterioara), iar este o solutie particulara a ecuatiei

, forma lui fiind data de forma membrului drept. Mai precis daca g(t) este de tip polinomial, va fi de tip polinomial, daca g(t) este de tip exponential atunci va fi de tip exponential etc.

Exemplul 1 Pentru o piata oarecare dependenta dintre p_t, p_t-1, si p_t-2 este data de egalitatea urmatoare:

Din datele statice se cunoaste ca la momentul si preturile sunt de 1.000 u.m., respectiv de 900 u.m. Sa se determine ecuatia de dinamica a preturilor si sa se precizeze daca preturile converg catre un pret echilibru.

Rezolvare: Ne situam in cazul omogen, deci avem

Ecuatia data devine , de unde obtinem solutiile . Evident, convin doar solutiile si prin urmare obtinem:

La momentul de baza pretul practicat este 1.000 u.m., deci , adica ; de asemenea la momentul pretul practicat este 900 u.m., de unde .

Prin urmare, suntem condusi la rezolvarea sistemului liniar:

a carui solutie este .

Ecuatia dinamicii preturilor este urmatoarea:

Deoarece , rezulta , deci preturile converg la punctul echilibru

Exemplul 2. Din date statistice, pentru o piata se cunoaste relatia de recurenta intre preturile corespunzatoare a patru perioade consecutive

Preturile practicate la momentul de baza si ale celorlalte momente anterioare sunt urmatoarele: , , Sa se determine ecuatia dinamicii preturilor.

Rezolvare: Ne situam in cazul neomogen si prin urmare vom determina mai intai ecuatia dinamicii in cazul omogen, adica . Pentru ecuatia vom cauta p_t de forma .

Suntem condusi la ecuatia ale carui solutii nenule (se cauta printre divizorii raportului dintre ultimul termen al ecuatiei si se utilizeaza schema lui Horner) sunt . Prin urmare are loc relatia:

Deoarece la momentele ,, preturile practicate sunt 6u.m., 13 u.m. si respectiv 25 u.m., vom fi condusi la rezolvarea urmatorului sistem liniar:

a carui solutie este .

Prin urmare este solutia ecuatiei omogene. Solutia cautata este , unde este o solutie particulara a ecuatiei neomogene. Deoarece membrul drept al ecuatiei neomogene este polinomul de gradul I, , inseamna ca vom cauta de forma .

Fiind solutie particulara, inseamna ca vor verifica ecuatia initiala. Inlocuind in aceasta ecuatie expresiile

,

obtinem

,

de unde, prin identificare rezulta , .

In consecinta, si prin urmare ecuatia dinamicii preturilor este , adica .

Graficul functiei este dat in figura 4.6.

Figura 4.6.

4.   Calculul variatiei cererii sau ofertei de echilibru, a efectului generat de factorii de dependenta si ai elasticitatii coordonatelor punctului de echilibru

Practic vor fi analizate doua situatii:

I.        Se cunosc expresiile analitice ale functiei cerere C₀, si ale functiei oferta O, .

Ca rezultat al unor factori, altii decat pretul, cererea se modifica si devine (evident se cunoaste expresia analitica pentru C₁). In consecinta, se noteaza p₀ pretul de echilibru in conditii initiale si p₁ pretul de echilibru in conditii modificate. Preturile p₀ si p₁ sunt solutiile ecuatiilor urmatoare:

, respectiv

Variatia cererii de echilibru se noteaza cu si se calculeaza in baza egalitatii urmatoare:

Efectul generat de factorii de influenta, altii decat pretul, se noteaza D₁ si se determina astfel:

Efectul generat de pretul echilibru se noteaza D₂ si se determina in baza egalitatii urmatoare:

Pentru a determina elasticitatea punctului de echilibru (p₀,C₀(p₀)), se calculeaza mai intai modificarea indusa de alti factori, altii decat pretul, notata M:

Daca se noteaza , atunci elasticitatile E₁ si E₂ ale coordonatelor p₀ si C₀(p₀) ale punctului de echilibru (p₀,C₀(p₀))_, se calculeaza astfel:

,

II.       Se cunosc expresiile analitice ale functiei cerere C, si ale functiei oferta O₀, .

In baza influentei unor factori, altii decat pretul, oferta se modifica si devine .

Ca si in cazul precedent, se noteaza p₀ pretul de echilibru in conditii initiale si p₁ pretul de echilibru in conditiile modificate. Evident p₀ si p₁ sunt solutiile ecuatiilor:

, respectiv

, respectiv .

Variatia ofertei de echilibru se noteaza cu si se calculeaza in baza egalitatii urmatoare:

Efectul generat de factorii de influenta, altii decat pretul, se noteaza D₁ si se determina astfel:

Efectul generat de pretul echilibru se noteaza D₂ si se determina in baza egalitatii urmatoare:

Modificarea indusa de alti factori, altii decat pretul, se noteaza cu M si se calculeaza astfel:

Daca se noteaza , atunci elasticitatile E₁ si E₂ ale coordonatelor p₀ si O₀(p₀) ale punctului de echilibru (p₀,O₀(p₀))_, se determina in baza egalitatilor urmatoare: , .