Modelul obtinerii unui volum dat de productie la un cost minim

Modelul obtinerii unui volum dat de productie la un cost minim

Practic suntem condusi la rezolvarea problemei:

(P)    

Semnificatia parametrilor si a variabilelor de control este aceeasi ca si in cazul 616f51g precedent.

Rezolvarea problemei (P) presupune parcurgerea urmatoarelor etape:

1)       Se construieste functia lui Lagrange , data de egalitatea urmatoare:

;

2)       Se pun conditiile de optim de ordinul I (conditiile prin care se determina punctele stationare):

Practic se obtine un sistem cu ecuatii si necunoscute, acestea fiind .

3)       Pentru determinarea solutiilor optime (deoarece in mod uzual ultimul sistem are mai multe solutii) se observa mai intai ca din primele n ecuatii rezulta imediat (prin adunarea membru cu membru) egalitatea urmatoare:

.

Prin urmare, daca este o solutie optima, atunci:

,

unde , iar nivelurile optime ale factorilor de productie sunt solutii ale urmatorului sistem de ecuatii diferentiale:

.

Observatia 3.3. In cazul liniarizarii functiei de productie Q in punctul optim x^* se poate ajunge la o interpretare economica importanta. Pentru acesta se dezvolta mai intai Q in x^* dupa formula de dezvoltare a lui Taylor si se retin doar termenii de grad 0 si 1:

Tinand seama ca , din ultima egalitate rezulta imediat , de unde si prin urmare are loc egalitatea urmatoare:

.

Deoarece A, p₁, p₂, ., p_n sunt marimi constante, din ultima egalitate rezulta ca problema minimizarii costului de productie la un nivel fixat al acesteia este echivalenta cu maximizarea sumei productivitatilor marginale ai functiei de productie in raport cu fiecare factor de productie. Aceasta concluzie este o consecinta imediata a observatiei ca daca , este o marime constanta, atunci problema este echivalenta cu problema .

Caz particular

In cazul in care functia de productie este de tip Cobb-Douglas, forma generalizata, , , conditiile de optim de ordinul I conduc la sistemul urmator:

, de unde .

Impartind ecuatiile 2,3,.,n la prima ecuatie obtinem

,        de unde .

Solutia optima cautata este imediata:

sau, intr-o forma echivalenta

.

Se constata imediat ca solutia optima este direct proportionala cu nivelul fixat al productiei a si invers proportionala cu nivelurile preturilor ridicate ale factorilor de productie.