Modelul static de optim al consumatorului

Modelul static de optim al consumatorului

Se porneste de la urmatoarele elemente:

a)       x₁, x₂, ., x_n reprezinta cantitatea de bunuri necesare, fixate de consumator; 848j97i

b)     U reprezinta functia de utilitate, deci vom avea ;

c)      p₁, p₂, ., p_n reprezinta preturile unitare ale bunurilor de consum;

d)     A reprezinta un buget fixat.

Practic se pune problema maximizarii utilitatii consumatorului in conditiile raportarii la un buget dat, altfel spus, suntem condusi la rezolvarea urmatoarei probleme de optimizare:

(P)    

Deoarece functia de utilitate este in general neliniara, rezolvarea problemei (P) se realizeaza uzual utilizand metoda multiplicatorilor lui Lagrange.

Din acest motiv vom construi mai intai functia lui Lagrange, definita prin egalitatea urmatoare:

      (2.11)

Vom determina punctele stationare ale functiei lui Lagrange rezolvand sistemul urmator:

devine (2.12)

Practic rezolvarea completa a sistemului (2.12) nu se poate realiza fara cunoasterea exprimarii analitice a functiei de utilitate U, dar se poate formula o interpretare economica importanta, si de asemenea se poate da o rezolvare de principiu a problemei (P).

Se observa mai intai ca din primele n ecuatii ale acestui sistem avem:

De aici rezulta ca toate rapoartele dintre utilitatile marginale in raport cu cantitatea de bunuri si preturile acestor bunuri sunt constante.

In afara acestei interpretari economice pentru anumite sisteme particulare se poate studia precis influenta bugetului A precum si influentele preturilor unitare p₁, p₂, ., p_n asupra punctului de optim: al problemei (P).

Inaintea rezolvarii sistemului (2.12) se poate remarca ca acesta admite o singura solutie si din acest motiv este chiar solutia problemei (P).

Sistemul (2.12) poate fi scris in forma echivalenta:

,

de unde rezulta imediat:

.

Daca este solutia optima cautata a problemei (P), atunci sunt solutiile sistemului urmator (in general neliniar):

In plus pretul "umbra" optim este dat de egalitatea urmatoare:

.

Caz particular

In continuare vom rezolva problema (P) pentru o functie de utilitate de tip Coob-Douglas in forma generala:

unde a reprezinta factorul de scara si .

Vom construi functia lui Lagrange a problemei (P) in acest caz particular:

Sistemul                           devine ,

de unde       .

Impartind prima ecuatie la urmatoarele n-1 ecuatii obtinem:

                              (2.13)

Introducand x₁, x₂, ., x_n dati de egalitatile anterioare in ultima egalitate a sistemului (2.13) obtinem:

,

de unde rezulta egalitatea:

                                  (2.14)

Tinand seama de conditiile obtinem imediat .

In consecinta solutia optima cautata (consumul optim) este urmatoarea:

                          (2.15)

Pentru acest consum optim obtinem imediat valoarea optima a utilitatii (utilitatea maxima):

,

adica

             (2.16)

Se observa ca pentru functia de utilitate Cobb-Douglas utilitatea maxima este direct proportionala cu bugetul A si este cu atat mai mare cu cat preturile unitare sunt mai mici.