Repartizarea optima a fondurilor banesti lichide

Este o problema importanta in calculele financiare si in general dificil de rezolvat.

Pentru determinarea multitudinilor solutiilor in care se pot realiza repartizarile de fonduri banesti se cunosc numeroase metode de rezolvare a acestor probleme, toate aceste metode intrand in componenta a doua tipuri de metode de repartitie:

1)      metodele deterministe (caracterizate prin lipsa factorilor aleatori) exista practic urmatoarele situatii:

a)     o singura unitate plasatoare si mai multi beneficiari in acelasi timp;

b)     o singura unitate plasatoare si un singur beneficiar la momente diferite de timp;

c)      mai multe unitati plasatoare si mai multi beneficiari.

2)      modele probabiliste (aleatoare).

Se caracterizeaza prin prezenta factorilor aleatori si au la baza rezolvarea unor probleme de optimizare a unor factori de eficienta (utilizarea diferitilor indicatori statistici sau notiunea de entropie).

1.   Modele deterministe

1.1.   Cazul in care exista o singura unitate plasatoare si un singur beneficiar la momente diferite de timp

Presupunem ca exista un creditor ce dispune de suma S si un singur debitor ce solicita la momentele 1,2,,n diverse sume banesti.

Se pune problema de a determina acea repartitie a fondului S la momentele 1,2,,n astfel incat fie costul total de transfer sa fie minim , fie beneficiarul maxim obtinut in urma transferului sa fie maxim.

Se fac urmatoarele notatii:

C₁,C₂,, C_n este costul unitar de repartitie;

B₁,b₂,, b_n sunt beneficiile unitare obtinute in urma repartitiilor;

S₁,S₂,, S_n sunt sumele ce se repartizeaza (aceste marimi sunt necunoscute).

Rezolvarea unei probleme optimale de transfer in acest caz se poate face in doua ipostaze:

a)     nu se tine seama de valoarea actualizata a sumelor banesti;

b)     se tine seama de valoarea actualizata a sumelor banesti.

a)     Cazul in care nu se tine seama de valoarea actualizata

Determinarea solutiei optime se face practic rezolvand urmatoarele probleme de optimizare liniara:

                               

Problema (P₁) corespunde situatiei in care intereseaza minimizarea costului de transfer, iar problema (P₂) corespunzatoare situatiei in care intereseaza rezolvarea maximizarii beneficiului.

Observatia 5.11. Solutiile optime ale (P₁) sau (P₂) nu coincid. Din acest motiv, trebuie aleasa una din probleme, alegerea facandu-se in functie de interesul unitatii financiare plasatoare, precum si de calitatile de decizii ale echipei manageriale.

Observatia 5.12. Indiferent de problema ce trebuie rezolvata ((P₁) si (P₂)), faptul ca nu se tine seama de valoarea actuala a sumelor banesti este o caracteristica operatiunilor financiare pe termen scurt a sistemelor economice ce nu contin dezechilibre.

b)     Cazul in care se tine seama de valoarea actualizata a sumelor:

Daca i este dobanda unitara, se noteaza: si se tine seama ca valoarea actuala a anuitatii T la momentul k este . Solutia de repartitie optimala se gaseste rezolvand una dintre problemele urmatoare de optimizare liniara:

Observatia 5.13. Problemele (P₁), (P₂), (P₃), (P₄), sunt probleme tipice de optimizare liniara. rezolvarea efectiva se face utilizand algoritmul SIMPLEX. Trebuie mentionat insa ca volumul de calcule este ridicat, pentru ca in mod obisnuit nu gasim o baza initiala (determinarea acestora facandu-se prin metoda celor doua faze).

In cazul in care n = 2, rezolvarea cea mai comoda se face prin metoda grafica.

1.2.  Cazul in care exista o singura unitate plasatoare si mai multi beneficiari

Problema consta in faptul ca exista un singur creditor, care dispune de suma S si care trebuie repartizata la n debitori in acelasi moment de timp. Se cunosc:

costurile unitare de transfer C_i, ;

beneficiile unitare b_i, .

Se pune problema de a determina repartitia optima , care fie minimizeaza costul total de transfer, fie maximizeaza beneficiul total obtinut in urma transferarii fondului banesc.

Practic, suntem condusi la rezolvarea problemelor de optimizare liniara:

                                 

Observatia 5.14. Problemele (P₁) si (P₂) nu admit aceeasi solutie. Din acest motiv, creditorul poate sa aleaga acel tip de problema care-l avantajeaza cel mai mult.

Problemele (P₁) si (P₂) sunt probleme tipice de optimizare liniara. Ele se pot rezolva in general utilizand algoritmul SIMPLEX. Dezavantajul metodei SIMPLEX este acela ca nu dispunem de o baza initiala si, prin urmare, determinarea ei se aplica metodic celor doua faze.

In cazul n = 2, se utilizeaza metoda grafica.

In cazul in care n este mai mare, metoda SIMPLEX (inclusiv metoda celor doua faze) este greoaie si, din acest motiv, pentru a rezolva problemele (P₁) si (P₂) se poate aplica metoda secventiala mai metoda "pas cu pas".

Metoda secventiala este o metoda tipica de optimizare dinamica si se datoreaza lui Bellman. Principiul de optimizare formulat de Bellman in optimizarea dinamica are la baza ideea ca o politica optima este alcatuita din subpolitici optime.

In esenta, prin aplicarea metodei secventiale, rezolvam mai multe probleme de optimizare (mai precis, n-1 probleme), dar mai simple.

Rezolvam problema (P₁). Pentru aceasta, introducem urmatoarele notatii:

         (5.21)

Observatia 5.15. Practic, sunt niste sume partiale. In baza egalitatii (5.21) se poate stabili imediat legatura intre sumele ce trebuie transferate si sumele partiale .

              (5.22)

Rezolvam in continuare urmatoarele n-1 probleme  de optimizare:

(5.23)

Rezolvand problema (5.23), vom gasi solutiile optime .

Repartitia optima cautata se determina imediat, in baza egalitatii (5.22). In plus, se poate arata ca optimul functiei de eficienta este f₁,₂,,_n(). Intr-adevar functia de eficienta este .

Din (5.23) avem:

Observatia 5.16. Pentru rezolvarea problemei (P₂) se pastreaza egalitatile (5.21) si (5.22), dar in rezolvarea problemei (5.23) min. se inlocuieste cu max.

Observatia 5.17. Se observa ca metoda secventiala conduce la un numar mare de probleme de optimizare, dar mai simple, atat din cauza functiei de eficienta (sunt liniare) cat si a restrictiilor.

1.3.   Cazul in care exista mai multe unitati plasatoare si mai multi beneficiari

Presupunem ca exista m creditori care dispun de sumele . Exista de asemenea n debitori () care solicita sumele .

Se fac urmatoarele notatii:

, costul unitar de transfer a unei unitati monetare de la creditorul C_i la debitorul D_j;

, beneficiile unitare obtinute prin transferul unei unitati monetare de la C_i la D_j;

, suma transferata de la C_i la D_j (S_ij) necunoscuta.

Se pune problema de a determina acea repartitie optima care este solutie a uneia din urmatoarele probleme:

                   

Problemele (P₃) si (P₄) nu admit aceeasi solutie optima si, prin urmare, se impune rezolvarea doar a uneia dintre ele, cea care e considerata mai avantajoasa de catre unitatile creditoare.

Sunt probleme tipice de optimizare liniara si, deci, se rezolva utilizand algoritmul SIMPLEX.

In cazurile in care m = 3, n = 2, respectiv m = 2, n = 3, problemele pot fi rezolvate si cu metoda grafica, in baza unui artificiu.

Observatia 5.18. Problemele (P₃) si (P₄) sunt de fapt, probleme tipice de transport si, prin urmare, pot fi rezolvate si utilizand algoritmii specifici.

2.   Modele aleatoare

In principal acest tip de modele utilizeaza rezultate specifice teoriei jocurilor cooperative sau ale calculului entropic.

A.      Scurte consideratii asupra conceptului de entropie

Se considera un experiment E ale carui realizari sunt e₁, e₂, .,e_n iar probabilitatile de realizare efectiva sunt p₁, p₂, .,p_n. Evident , .

Entropia (in sensul lui Shannon) asociata experimentului E, este o marime notata H (p₁, p₂, .,p_n), data de relatia:

si a carei semnificatie este urmatoarea:

inaintea producerii experimentului E masoara cantitatea de nedeterminare continuta de E;

dupa producerea experimentului masoara castigul informational obtinut.

Ulterior, conceptul de entropie introdus de Shannon a fost generalizat, principalele directii de rezolvare fiind urmatoarele:

a)       entropii neponderate, cele mai cunoscute fiind entropiile:

in sens Renyi (de ordin α):

in sens Daroczy (de tip α):

b)       entropii ponderate

Ideea centrala in baza carora au fost dezvoltate acest tip de entropii este legata de introducerea notiunii de eficienta a starilor e₁, e₂, .,e_n.

Exista mai multe acceptiuni ale notiunii de entropie ponderata, pornind de la puncte de vedere diferite, rezultatele obtinute difera si permit interpretari diferite.

B.       Modele entropice de repartitie

Vom nota cu u₁, u₂, .,u_n eficientele (utilitatile) starilor experimentului E si presupunem ca se cunoaste marimea (de fapt valoarea medie) .

Se pune problema de a determina repartitia de probabilitati p₁, p₂,.,p_n care maximizeaza entropia lui Shannon.

Teorema Repartitia de probabilitati care este solutie optima a problemei (P) este urmatoarea:

unde α este solutia ecuatiei urmatoare: 

Observatia 5.19. Rezolvarea ecuatiei anterioare se face cel mai comod linializand exponentiala:

Observatia 5.20. In cazul  in care experimentului E i se asociaza o variabila aleatoare continua pentru care se cunoaste valoarea medie m si dispersia , atunci functia de densitate ce maximizeaza entropia lui Shannon este urmatoarea:

3.   Probleme rezolvate

Aplicatia 1.   Necesarul de fond banesc in decurs de un an pentru o intreprindere oarecare este estimat la 20.000 u.m. Costul unitar de stocare este 0,10 u.m., iar costul comenzii este valoarea medie a unei variabile aleatoare continue a carei densitate de probabilitate este .

Sa se determine nivelul comenzii optime si timpul optim intre doua comenzi consecutive in situatiile:

a)     nu exista penurie de fond banesc

b)     exista posibilitatea aparitiei penuriei de fond banesc, si costul unitar de penalizare in acest caz este 10 u.m.

Rezolvare Plecand de la datele problemei:

T = 1 an

X = 20.000 u.m

h = 0,10 u.m.

p = 10 u.m.

C = M

se porneste de la formula valorii medii pentru cazul continuu:

.

Pentru rezolvarea acestei integrele se folosesc urmatoarele formule de calcul:

.

Deci .

Costul comenzii este dat de relatia urmatoare:

a)     Calculam nivelul comenzi optime si timpul optim in cazul in care nu exista penurie de fond banesc.

.

b)     Cazul in care exista posibilitatea aparitiei penurie de fond banesc:

.

Aplicatia 2.  Necesarul de fond banesc in decurs de un an este estimat pentru o intreprindere a fi de 10.000 u.m. Costul comenzii este 200 u.m., iar costul unitar de stocare este mediana variabilei aleatoare continue de densitate .

Sa se determine nivelul comenzii optime si timpul optim intre doua comenzi consecutive in situatiile:

a)     nu exista posibilitatea aparitiei penuriei de fond banesc

b)     exista posibilitatea aparitiei penuriei de fond banesc si costul unitar de penalizare in acest caz este 20 u.m.

Rezolvare. Se porneste de la datele problemei

T = 360

X = 10.000 u.m.

C = 200 u.m.

H = Me

.

Stim ca mediana variabilei aleatoare continue este data de relatia:

Prin urmare costul unitar de stocare este .

a)       Calculam nivelul comenzii optime si timpul optim in cazul in care nu exista penurie:

b)       Calculam nivelul comenzii optime si timpul optim in cazul in care exista posibilitatea aparitiei penuriei de fonduri banesti:

Aplicatia 3.  Necesarul de fond banesc lichid este descris de variabila aleatoare discreta:

.

Sa se determine nivelul fondului optim si costul realizarii acestui fond stiind ca se percep penalizarile unitare C₁ = 30 u.m. si C₂ = 70 u.m. in cazul imobilizarii fondului, respectiv imposibilitatea efectuarii platilor.

Rezolvare Stim ca nivelul optim al fondului banesc verifica urmatoarea dubla inegalitate:

.

Prin urmare putem calcula raportul urmator:

.

Deci nivelul fondului optim are valoarea S₀ = 7 u.m.

Costul de formare al fondului banesc optim se calculeaza cu ajutorul urmatoarei relatii:

Prin urmare costul de realizare al fondului banesc lichid este C(S₀)=25,19u.m.

Aplicatia 4. Necesarul de fond banesc lichid este descris de variabila aleatoare discreta:

Cunoscand nivelul S₀ = 7 u.m. al fondului banesc optim si C₁ = 0,20 u.m., costul unitar de penalizare in cazul imobilizarii fondului sa se determine costul realizarii fondului banesc optim.

Rezolvare. Plecam de la faptul ca:

Din relatia de mai sus putem calcula:

Prin urmare coeficientul de penalizare .

Costul de formare al fondului banesc optim este:

adica are valoarea C(S₀) = 46,99 u.m.

Aplicatia 5.   Necesarul de fond banesc lichid este descris de o variabila aleatoare continua a carei densitate este Sa se determine nivelul fondului optim si costul realizarii acestui fond stiind ca se percep penalizarile unitare C₁ = 30 u.m., C₂ = 70 u.m. in cazul imobilizarii fondurilor, respectiv imposibilitatii efectuarii platilor.

Rezolvare Nivelul optim S₀ al fondului banesc este:

Raportul coeficientilor de penalizare are valoarea de mai jos:

In urma rezolvarii integralei se obtine ecuatia:

adica ,

ecuatie care are solutiile

Prin urmare nivelul optim are valoarea: S₀ = 2 u.m.

Calculam costul realizarii fondului banesc cu ajutorul formulei:

Aplicatia 6. Pentru a face fata diferitelor angajamente financiare, o unitate economica are nevoie de un anumit fond banesc lichid. S-a constatat ca cererea de fond banesc lichid este descrisa de o variabila aleatoare continua a carei densitate este , iar nivelul optim este S₀ = 1 u.m.

Sa se determine costul realizarii acestui fond banesc cunoscand costul unitar C₂ = 0,80 u.m. in cazul imposibilitatii efectuarii platilor.

Rezolvare. Trebuie sa calculam pe C₁ cu ajutorul formulei:

unde .

Deci

.

Prin urmare costul .

Costul realizarii de fond banesc este:

BIBLIOGRAFIE

1. Ascher, H.E., Kobbacy, A.H., Modelling preventive maintenance for deteriorating repairable systems, IMA Journal of Management Mathematics 1995 6(1):85-99;
2. Ansell, J.I., Phillips, M.J., Practical reliability data analysis, Reliability Engineering and System Safety, 1990, 28, 237-56;
3. Auslender, A., Problemes de Minmax, Lect.Not.in Ec.and.Math.Syst., 77, 1972
4. Barbu, V., Precupanu, Th., Convexitate si optimizare in spatii Banach, Ed. Academiei R.S.R., Bucuresti, 1966
5. Barlow, R.E., Proschan, F., Mathematical Theory of Reliability, S.I.A.M., 1996
6. Blischke, W.R., Hawkins, B.D., Reliability: Modeling, Prediction, and Optimization, Wiley-IEEE, 2000;
7. Blischke, W.R., Hawkins, B.D., Case Studies in Reliability and Maintenance, John Wiley and Sons, 2003;
8. Damiano Brigo, Fabio Mercurio, Interest Rate Models: Theory and Practice, Springer 2006;
9. Andrew, J.G., Cairns, Interest Rate Models: An Introduction, Princeton University Press, 2004;
10. Catuneanu, M.V., Mihalache, A., Bazele teoretice ale fiabilitatii (Theoretical Fundamentals of Reliability), Ed. Academiei, Bucuresti, 1983;
11. Chetty, R., Szeidl, A. Consumption Commitments and Risk Preferences, The Quaterly Journal of Economics, May 2007, Vol. 122, No. 2, Pages 831-877;
12. Ciucu, G., Craiu, V., Stefanescu, A., Statistica matematica in cercetari operationale, Vol.II, Vol.III, Ed.Didactica si Pedagogica Bucuresti, 1978, 1982;
13. Clark, T.E., Kozicki, S. Estimating Equilibrium Real Interest Rates in Real Time, The North American Journal of Economics and Finance, Volume 16, Issue 3, December 2005, pp. 395-413;
14. Cox, D.R., Renewal Theory, John Willey, Now York, 1962;
15. Ghermeier, L.B., Introduction in the Operational Research Theory, Nauka,Moscow,1971;
16. Gillette, D., Stochastic games with zero stop probabilities, in Drecher/1, Tucker A.W., Wolfe, P., (1957), 179-187;
17. Hiriart-Urruty, J.B. ,Lemaréchal, C., Convex Analysis And Minimization Algorithms II, Grundlehren Math. Wiss 306, Springer Verlag, Berlin, 1996;
18. Ilias, N., Kovacs, I., Gruneantu, I., Masini si instalatii miniere, Litografia Institutului de Mine, Petrosani, 1989;
19. Jørgensen, S., Quincampoix, M., Vincent, T.L., Advances in Dynamic Game Theory: Numerical Methods, Algorithms, and Applications to Ecology and Economics, Springer, 2007;
20. Lasdon, L.S., Teoria optimizarii sistemelor mari, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1975;
21. Leadbetter, M.R., Lindgren, G., Rootzen, H., Extremes and Related Properties of Random Sequences and Processes, Springer-Verlag, N.Y., 1983;
22. Malita, M., Guianu, S., Triade, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1974;
23. Martin, J. Osborne, An Introduction to Game Theory, Oxford University Press, 2003;
24. Mas-Colell, A., Whinston, M.D., Green, J.R., Microeconomic Theory, Oxford Univ.Press 1995;
25. Mitran, I., Co-operative and Partial Co-operative Decisional Models, Monographs, Ed. AMSE, France, 1990;
26. Mitran, I., A Generalization of the Equalization Principle, AMSE Review, Vol. 18, no. 2, 1991, pp 37 - 49;
27. Mitran, I., Optimalité Minmax, monographs, AMSE, France, 1992;
28. Mitran, I., On Some numeric Method to Determinate the Guaranteed Optimal Values, Studia Univ."Babes-Bolyai", Mathematica, Vol LII, 1, March 2007, 79-97;
29. Mitran, I. Determination of the Failure Moments of a System as Equilibrium Points Proceedings of the 15^th AMERICAN CONFERENCE ON APPLIED MATHEMATICS AMERICAN-MATH '09, Houston, USA, April 30-May 2, 2009;
30. Mitran, I.,Popescu, F.D., Mangu, S.I., About an Optimal Method type MaxMin for the Analysis of Mining Works Stability in Open Pits, Procedings F -and-B'09, Georgia , p 81-86;
31. Mitran, I., Dura, C.C., Mangu, S.I., About ConsumerOptimum Dynamic Model and Market Equilibrium Interest, Procedings F -and-B'09, Georgia, p 87-93;

32.   Mobley, R.K., Maintenance fundamentals, Butterworth-Heinemann, 2004;

33.   Owen, G., Teoria jocurilor, Editura Tehnica, Bucuresti, 1974;

34. Popescu, Florin, Calculatorul numeric in industria extractiva, Editura Universitas Petrosani, 2004;
35. Preda, V., Criterii iterate pentru problema de decizie secventiala, St.Cercet.Mat.2, 1979, p.227-245;
36. Pripoae, C.L., Matematici pentru economisti, Editura A.S.E., Bucuresti, 2008;
37. Purcaru, I., Berbec, F., Dan,S.,Matematici financiare, Editura Economica, Bucuresti, 1996;
38. Purcaru, I., Matematici generale si elemente de optimizare, Editura Economica, Bucuresti, 1997;
39. Rao, S.S., Enginnering Optimization, Wiley, 2009;
40. Renyi, A., Un memres of entropy and informations, Proc.Fourth Berkley Symp.on Math.Stat.Prob. 1960, vol. I, Univ. California Press, 1961;
41. Roman, M., Marin, D., Stancu, S., Teoria jocurilor pentru economisti, Editura A.S.E. Bucuresti, 2005;
42. Smith, D.K., Dynamic Programming, A Practical Introduction, Ellis Horwood, U.K., 1991;

43.   Smith, R., Hawkins, B., Lean Maintenance: Reduce Costs, Improve Quality, and Increase Market Share, Butterworth-Heinemann, 2004;

44.   Stanciulescu, I., Large-scale Systems dynamics, Ed. Acad., Bucharest, 1984;

45.   Stefanescu, A., Zidaroiu, C., Operations Research, Ed .Acad., Bucharest, 1984;

46.   Stefanescu, A., Minmax Theorem and the Problem of Equlibrium, Ed. Acad., Bucharest, 1984;

47.   Stroe, R., Modelarea decziei financiare, Editura A.S.E. Bucuresti, 2000;

48.   Stroe, R., Focseneanu, Gr., Modelarea deciziei financiare, Aplicatii, Editura A.S.E. Bucuresti;

49. Knut, Sydsæter, Peter, Hammond, Essential Mathematics for Economic Analysis, Pearson Education, 2008;
50. Tamas, N., Arbitrage Theorem and its Applications, Club of Economics in Miskolc, Theory, Methodology, Practice, vol.I, 2002;
51. Theiler, G., Tövissil, L., Masuri entropice neprobabiliste, masuri ale impreciziei, Revista Statistica, 5, 1978, p.50-61;
52. Toma, M., Finante, credit si circulatie baneasca, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1974;
53. Vickrey, M., Self-policing properties of certain imputation sets in Tucker A.W., Luce R.D., (ed), Contributions to the theory of games, Princeton University Press, Princeton, 1959, 213-246;
54. Vidyiasager, M., A new approach to n-person non-zero sum, linear differential games, J.O.T.A. 18 (1976), 171-176;
55. Ville, E., Uber ane An wedung der Mengenlehre und der Theorie des Schochspiele, Procedingsuf the Fift Int.Congr.Math. Cambridge, 2(1912),501-504;
56. Wald, O., Statistical decision functions, Willey, New York, 1950;
57. Watanabe, S., Knowing and Guessing, Willey, New York, 1969;
58. Weizsacker, C.C., Existence of Optimal Programs of Accumulation for an Infinite Time Horizon, Review of Ec.Stud. XXXIII, (1965), 85-104;
59. Wilde, M., Foubles limites ordonees et theoremes de minmax, Ann.Inst. Fourier, 24 (1974), 181-188;
60. Williams, R.J., Sufficient conditions for Nash equilibrium in n-person game over reflexive Banach Spaces, J.O.T.A., 30, (1980), 383-394;
61. Wireman, T., Developing Performance Indicators for Managing Maintenance, Industrial Press Inc.2005;
62. Young, N.J., Admixtures of two-person games, Proc. London Math.Soc.Ser. III, (1972), 736-750;
63. Yanovskaya, E.B., The solution of infinite zero-sum two-person games with finitely additive strategies. Theory of probability and its applications, 15 (1970), 153-158.