Testarea ipotezelor statistice

OBIECTIVE: introducerea studentilor in sfera si notiunile specifice testarii ipotezelor statistice

PREZENTARE SINTETICA:

Concepte si erori in testarea ipotezelor statistice

In statistica, ipotezele apar intotdeauna in perechi: ipoteza nula si ipoteza alternativa. Ipoteza statistica ce urmeaza a fi testata se numeste ipoteza nula si este notata, uzual, H₀. Ea consta intotdeauna in admiterea caracterului intamplator al deosebirilor, adica in presupunerea ca nu exista deosebiri esentiale. Respingerea ipotezei nule care este testata implica acceptarea unei alte ipoteze. Aceasta alta ipoteza este numita ipoteza alternativa, notata H₁. Cele doua ipoteze reprezinta teorii, mutual exclusive si exhaustive, asupra valorii parametrului populatiei sau legii de repartitie. Spunem ca ele sunt mutual exclusive deoarece este imposibil ca ambele ipoteze sa fie adeva­rate. Spunem ca ele sunt exhaustive, deoarece acopera toate posibilitatile, adica ori ipoteza nula, ori ipoteza alternativa trebuie sa fie adevarata.

Procedeul de verificare a unei ipoteze statistice se numeste test sau cri­teriu de semnificatie. O secventa generala de pasi se aplica la toate situa­tiile de testare a ipotezelor statistice. Ipotezele se vor schimba, tehnicile sta­tis­tice aplicate se vor schimba, dar procesul ramane acelasi si anume:

1). Se identifica ipoteza statistica speciala despre parametrul popu­latiei sau legea de repartitie (H₀). Ipoteza statistica numita si ipoteza nula reprezinta status quo-ul, ceea ce este acceptat pana se dovedeste a fi fals.

2). Intotdeauna ipoteza nula este insotita de ipoteza alternativa (de cer­ce­tat), H₁, ce reprezinta o teorie care contrazice ipoteza nula. Ea va fi accep­tata doar cand exista suficiente dovezi, evidente, pentru a se stabili ca este adevarata.

Dupa natura posibilitatilor de construire a ipotezelor nule si alternative, deosebim ipoteze alternative simple sau compuse. Astfel, daca ipoteza nula consta in afirmatia ca parametrul θ al unei distributii este egal cu o anumita valoare θ , iar ipoteza alternativa consta in afirmatia ca parametrul este egal cu θ , avem o ipoteza alternativa simpla, iar daca ipoteza alternativa consta in afirmatia ca parametrul θ ia una din mai multe valori, atunci avem o ipoteza alternativa compusa.

3). Se calculeaza indicatorii statistici in esantion, utilizati pentru a accep­ta sau a respinge ipoteza nula si se stabileste testul statistic ce va fi utilizat drept criteriu de acceptare sau de respingere a ipotezei nule.

4). Se stabileste regiunea critica, R_c. Regiunea critica reprezinta valorile numerice ale testului statistic pentru care ipoteza nula va fi respinsa. Re­giunea critica este astfel aleasa incat probabilitatea ca ea sa contina testul sta­tistic, cand ipoteza nula este adevarata sa fie α, cu α mic (α=0.01 etc). Verificarea ipotezei nule se face pe baza unui esantion de volum n, extras din populatia X, care este o variabila aleatoare. Daca punctul definit de vec­torul de sondaj x₁,x_2,.,x_n cade in regiunea critica R_c, ipoteza H₀ se respinge, iar daca punctul cade in afara regiunii critice R_c, ipoteza H₀ se accepta. Regiunea critica este delimitata de valoarea critica, C punctul de taietura in stabilirea acesteia.

In baza legii numerelor mari, numai intr-un numar foarte mic de cazuri punctul rezultat din sondaj va cadea in R_c, majoritatea vor cadea in afara regiunii critice. Nu este insa exclus ca punctul din sondaj sa cada in regiunea critica, cu toate ca ipoteza nula despre parametrul populatiei este adevarata. Cu alte cuvinte, atunci cand respingem ipoteza nula, trebuie sa ne gandim de doua ori, deoarece exista doua posibilitati: ea este falsa intr-adevar si ea este totusi adevarata, desi pe baza datelor din sondaj o respingem.

La fel si pentru situatia in care acceptam ipoteza nula H₀. Cand ipoteza nula nu poate fi respinsa (nu exista suficiente dovezi pentru a fi respinsa), sunt doua posibilitati: ipoteza nula este adevarata si ipoteza nula este totusi falsa, gresita desi nu am respins-o. De aceea, este mai corect sa spunem ca pe baza datelor din esantionul studiat, nu putem respinge ipoteza nula, decat sa spunem ca ipoteza nula este adevarata.

Eroarea pe care o facem eliminand o ipoteza nula, desi este adevarata, se numeste eroare de genul intai. Probabilitatea comiterii unei astfel de erori reprezinta riscul de genul intai (α) si se numeste nivel sau prag de sem­ni­ficatie.

Nivelul de incredere al unui test statistic este (1-α) iar in expresie procentuala, (1-α reprezinta probabilitatea de garantare a rezultatelor.

Eroarea pe cere o facem acceptand o ipoteza nula, desi este falsa, se nu­meste eroare de genul al doilea, iar probabilitatea (riscul) comiterii unei astfel de erori se noteaza cu β. Puterea testului statistic este (1-β

Tabelul de mai jos ilustreaza legatura dintre decizia pe care o luam referitor la ipoteza nula si adevarul sau falsitatea acestei ipoteze.

Erorile in testarea ipotezelor statistice

Cu cat probabilitatile comiterii erorilor de genul intai si de genul al doilea sunt mai mici, cu atat testul este mai bun. Acest lucru se poate realiza prin marirea volumului esantionului, n. Nivelurile riscurilor se stabilesc in func­tie de considerente economice si de natura testului.

Am vazut ca:

α= P(respingere H₀ ׀ H₀ este corecta)=P(eroare de gen I)

β= P(acceptare H₀ ׀ H₀ este falsa)=P(eroare de gen II)

Alegerea nivelului (pragului) de semnificatie depinde si de costurile asociate cu producerea unei erori de genul I.

Spre exemplu, pragul de semnificatie ales de o firma ce fabrica inghetata, interesata in greutatea medie a cutiilor de inghetata va putea fi diferit de pra­gul de semnificatie ales de o companie farmaceutica, interesata de can­ti­tatea medie a unui ingredient activ dintr-un tip de medicament. Evident, costul in prima situatie prezentata este mult mai mic, comparativ cu costul asociat in cazul producerii unei erori de genul I pentru compania farma­ceutica: o can­titate prea mica de ingredient activ poate face medicamentul ineficient; o can­titate prea mare de ingredient activ poate cauza efecte se­cun­dare, dauna­toare sau poate avea, chiar, efecte letale.

Similar, exista costuri asociate cu producerea unei erori de genul al II-lea. Intre eroarea de genul I si eroarea de genul al II-lea exista o legatura, o con­ditionare. O modalitate de a vizualiza aceasta legatura este sa presu­punem ca exista doar doua distributii care ne intereseaza. O distributie corespunde ipotezei nule H₀, iar cealalta corespunde ipotezei alternativei H₁. In acest caz, presupunem ca si ipoteza nula si cea alternativa sunt ipoteze simple. Intr-o maniera usor de inteles, sa consideram ca ipoteza nula este de forma H₀: , iar ipoteza alternativa este de forma H₁: (vezi fig):

Legatura dintre probabilitatile α si β

Pe grafic se observa ca cele doua distributii se suprapun si, din procesul de testare a ipotezei nule, pot rezulta doua tipuri de erori.

Eroarea de genul I apare atunci cand respingem ipoteza nula H₀, in situa­tia in care, de fapt, aceasta este adevarata. Adica, desi distributia lui este cea corespunzatoare ipotezei H₀, respingem H₀, deoarece media de son­daj este mai mare decat valoarea critica, C si se situeaza in regiunea critica. Pro­babilitatea comiterii unei astfel de erori (a) este aria de sub curba de dis­tributie H₀ care se situeaza la dreapta valorii critice C.

Eroarea de genul al doilea apare atunci cand nu respingem (adica accep­tam) H₀, desi H₁ in loc de H₀ este corecta. In acest caz, desi distributia lui este cea corespunzatoare ipotezei H₁, acceptam H₀ deoarece media de son­daj este mai mica decat valoarea critica, C (nu se afla in regiunea critica). Probabilitatea comiterii unei astfel de erori (β) este aria de sub curba de distributie H₁ care se situeaza la stanga valorii critice, C.

Daca alegem un prag de semnificatie, α, mai mic (adica reducem riscul comiterii unei erori de genul intai), va creste β ( riscul comiterii unei erori de genul al doilea). Cu toate acestea, prin cresterea volumului n al esan­tio­nului, este posibil sa reducem riscul β, fara a creste riscul α

Cum , o data cu cresterea volumului n al esantionului, aba­terile medii patratice ale distributiilor pentru H₀ si H₁ devin mai mici si, evident, atat α, cat si β descresc (vezi fig.).

α si β cand volumul esantionului n' > n

5) Dupa ce am stabilit pragul de semnificatie si regiunea critica, trecem la pasul urmator, in care vom face principalele presupuneri despre populatia sau populatiile ce sunt esantionate (normalitate etc.).

6) Se calculeaza apoi testul statistic si se determina valoarea sa nume­rica, pe baza datelor din esantion.

7) La ultimul pas, se desprind concluziile: ipoteza nula este fie acceptata, fie respinsa, astfel:

a) daca valoarea numerica a testului statistic cade in regiunea critica (Rc), respingem ipoteza nula si concluzionam ca ipoteza alternativa este adevarata. Vom sti ca aceasta decizie este incorecta doar in 100 α % din cazuri;

b) daca valoarea numerica a testului nu cade in regiunea critica (Rc), se accepta ipoteza nula H₀.

Ipoteza alternativa poate avea una din trei forme (pe care le vom exem­plifica pentru testarea egalitatii parametrului "media colectivitatii generale", μ cu valoarea μ

i) sa testam daca parametrul din colectivitatea generala (media μ) este egal cu o anumita valoare (inclusiv zero, μ₀), cu alternativa media diferita de valoarea μ₀. Atunci:

H₀: μ = μ₀

H₁: μ ≠ μ₀ (μ < μ₀ sau μ > μ₀);

si acest test este un test bilateral;

ii) sa testam ipoteza nula μ = μ₀, cu alternativa media μ este mai mare decat μ_0.

H₀: μ = μ₀

H₁: μ > μ₀

care este un test unilateral dreapta;

iii) sa testam ipoteza nula μ = μ₀, cu alternativa media μ este mai mica decat μ_0.

H₀: μ μ

H₁: μ < μ

care este un test unilateral stanga.

Regiunea critica pentru testul bilateral difera de cea pentru testul uni­la­teral. Cand incercam sa detectam o diferenta fata de ipoteza nula, in am­bele directii, trebuie sa stabilim o regiune critica Rc in ambele cozi ale dis­tri­butiei de esantionare pentru testul statistic. Cand efectuam un test uni­la­teral, vom stabili o regiune critica intr-o singura parte a distributiei de esan­tionare, astfel (vezi fig.):

μ μ

a)                            b) c)

Regiunea critica pentru a) test bilateral b) test unilateral stanga; c) test unilateral dreapta

Testarea ipotezei privind media populatiei generale (μ) pentru esantioane de volum mare

Utilizarea esantioanelor de volum mare (n > 30) face posibila aplicarea teoremei limita centrala. Putem intalni teste unilaterale sau bilaterale, astfel:

i) in cazul testului bilateral, ipotezele sunt:

H₀: μ = μ₀ (μ μ₀=0)

H₁: μ ≠ μ₀ (μ μ₀≠0) (adica μ < μ₀ sau μ > μ₀);

Testarea se face pe baza mediei esantionului si, pentru a o efectua, este nevoie sa construim un test cu un nivel de semnificatie α prestabilit. Uti­li­zand teorema limita centrala am vazut ca daca volumul esantionului este mare, media esantionului este aproximativ normal distribuita. De aceea, variabila aleatoare z urmeaza o distributie normala standard.

Daca pragul de semnificatie (α) este stabilit, putem determina valoarea z_α/2, pentru care P(z> z _α/2)= α/2. Aceasta inseamna ca regiunea critica Rc este data de:

Rc: z< z _α sau z> z _α

Regula de decizie este, deci:

Respingem H₀ daca

sau

ii) pentru testul unilateral dreapta, ipotezele sunt:

H₀: μ μ μ μ

H₁: μ > μ μ μ >0);

Testul statistic calculat este:

Regiunea critica este data de:

Rc: z > z_α

Regula de decizie este:

Respingem ipoteza H₀ daca

iii) Pentru testul unilateral stanga, ipotezele sunt:

H

H : μ < μ₀ (μ μ₀<0);

Testul statistic calculat este:

Regiunea critica este data de:

Rc: z < -z_α

Regula de decizie este:

Respingem ipoteza H₀ daca :

Sa remarcam ca in nici una dintre aceste situatii nu trebuie facuta o presupunere speciala, deoarece teorema limita centrala ne asigura ca testul statistic va fi aproximativ normal distribuit, indiferent de forma distributiei din colectivitate.

Testarea ipotezei privind diferenta dintre doua medii pentru esantioane de volum mare

Multe cazuri de analiza statistica implica o comparatie intre mediile a doua colectivitati generale. Spre exemplu, un patron al unui restaurant doreste sa vada daca exista diferente intre vanzarile realizate inainte si dupa o campanie de publicitate, un grup de consumatori doreste sa vada daca exista o diferenta semnificativa intre consumul electric pentru doua tipuri de cuptoare cu microunde etc.

In aceste situatii, un estimator al diferentei (μ μ ) este diferenta dintre mediile esantioanelor (

Proprietatile distributiei de esantionare a diferentei () sunt:

a) distributia de esantionare pentru () este aproximativ normala pentru esantioane de volum mare (n₁ > 30 si n₂ > 30);

b) media distributiei de esantionare a lui () este (μ μ

c) daca cele doua esantioane sunt independente, abaterea medie patratica a distributiei de esantionare este:

unde si sunt dispersiile celor doua populatii esantionate, iar n₁ si n₂ sunt volumele esantioanelor respective.

Marimea lui indica variabilitatea in valorile , asteptata in distributia de esantionare, datorita intamplarii.

In cazul in care dispersiile celor doua populatii esantionate sunt egale, = =, abaterea medie patratica a distributiei de esantionare va avea forma:

In aceste conditii, ipotezele statistice ce urmeaza a fi testate vor fi:

i) test bilateral

H₀: (μ₁ μ₂) = D

H₁: (μ₁ μ₂) ≠ D

[(μ₁ μ₂)>D sau (μ₁ μ₂)<D]

ii) test unilateral dreapta

H₀: (μ₁ μ₂) = D

H₁: (μ₁ μ₂) > D

iii) test unilateral stanga

H₀: (μ₁ μ₂) = D

H₁: (μ₁ μ₂) < D

unde D reprezinta diferenta ipotetica dintre mediile populatiilor, deseori egala cu 0.

Testul statistic utilizat are forma:

Regiunea critica este data de:

i) z< z _α/2 sau z> z _α/2

ii) z> z _α

iii) z< z _α

Testarea ipotezei privind media populatiei generale (μ)

pentru esantioane de volum redus

In afaceri, multe decizii trebuie luate pe baza unor in-formatii foarte limi­tate, adica pe baza datelor provenite din esantioane mici (de volum redus, n≤30). In aceste situatii, efectul imediat este acela ca forma distributiei de esantionare a mediei depinde, acum, de forma populatiei generale din care a fost extras esantionul. In cazul esantionului de volum redus se utilizeaza testul statistic t. Distributia de esantionare a lui va fi normala (sau aproximativ normala), in cazul esantioanelor de volum redus, doar daca colectivitatea generala este distribuita normal (sau aproximativ normal).

Pe de alta parte, daca nu se cunoaste dispersia din colectivitatea generala (), atunci dispersia esantionului (), poate sa nu ofere o aproximare foarte buna a lui (in cazul esantioanelor mici). Ca atare, in locul statis­ticii z care necesita cunoasterea (sau o buna aproximare) a lui , vom fo­losi statistica:

,

unde: .

Elementele procesului de testare a ipotezelor statistice privind media co­lectivitatii generale (μ) pe baza datelor din esantioane de volum redus, devin atunci:

- pentru test bilateral;

H₀: μ = μ₀,

H₁: μ ≠ μ₀ (μ < μ₀ sau μ > μ₀);

- pentru test unilateral dreapta;

H₀: μ = μ₀,

H₁: μ > μ₀,

- pentru test unilateral stanga;

H₀: μ = μ₀,

H₁: μ < μ₀.

Testul statistic utilizat:

.

Presupunerea speciala ce trebuie facuta este aceea ca po-pulatia gene­rala este normal sau aproximativ normal distribuita.

Regiunea critica este data de:

i) t > t _α/2,n-1 sau t < - t _α/2,n-1,

ii) t > t _α,n-1,

iii) t < - t _α,n-1.

Exemplu

Testarea ipotezei privind proportia populatiei

pentru esantioane mari

Ne amintim ca, pentru variabile alternative, media in esantion era notata cu f (proportia succeselor), dispersia f(1-f), iar abaterea medie patratica . De asemenea, despre distributia de esantionare a proportiei stim ca proportia esan-tionului (f) este aproximativ normal distribuita, de medie p si eroare standard , pentru n mare ( si ):

si

Pentru testarea ipotezelor statistice privind proportia este necesar sa lucram cu esantioane mari(n>100).

Cum proportia f este aproximativ normal distribuita, rezulta ca variabila standardizata este aproximativ normal standardizat distribuita. (Atentie! Daca volumul esantionului este mic, distributia de esantionare a proportiei nu este o distributie t si orice inferenta asupra lui p trebuie sa se bazeze pe distributia lui f, care este o distributie binomiala!)

Ipotezele nule si alternative pentru testarea proportiei se construiesc in aceeasi maniera cu ipotezele pentru testarea mediei . Adica, ipoteza nula indica faptul ca p este egala cu o valoare specificata:

,

in timp ce ipoteza alternativa raspunde la una dintre cele trei intrebari:

- daca proportia este diferita de valoarea specificata (test bilateral):;

- daca proportia este mai mare decat valoarea specificata (test unilateral dreapta): ;

- daca proportia este mai mica decat valoarea specificata (test unilateral stanga): .

Testul statistic pentru proportia p este:

.

Regiunea critica (R_c) este data de:

sau pentru testul bilateral;

pentru testul unilateral dreapta;

pentru testul unilateral stanga.

Asadar, regula de decizie este: se respinge ipoteza nula si se accepta ipoteza alternativa, daca z se situeaza in regiunea critica (R_c) stabilita in functie de probabilitatea dorita de garantare a rezultatelor .

Testarea ipotezei privind diferenta dintre doua medii

pentru esantioane de volum redus

In cazul in care dorim sa testam semnificatia diferentei dintre mediile a doua esantioane de volum redus, va trebui sa construim, ca si in cazul an­te­rior, o statistica t, Student. Pentru aceasta vom presupune ca:

- ambele colectivitati generale din care s-au extras esan-tioanele sunt normal sau aproximativ normal distribuite;

- dispersiile in cele doua colectivitati generale sunt egale;

- esantioanele aleatoare sunt selectate independent unul de celalalt.

In conditiile in care presupunem ca cele doua colectivitati generale au dispersii egale (= =), un estimator al dispersiei (variabilitatii) totale din cele doua populatii combinate este:

sau

.

Asadar, dispersia combinata este media aritmetica pon-derata a disper­siilor celor doua esantioane, si .

Daca dispersiile nu sunt egale (σ²_x1≠σ²_x2), atunci testul statistic are forma:

cu gradele de libertate:

Ipotezele statistice vor fi, in aceste conditii:

- pentru test bilateral;

H₀: μ₁ = μ₂ (μ₁- μ₂ = D),

H₁: μ₁ ≠ μ₂ (μ₁- μ₂ ≠ D),

- pentru test unilateral dreapta;

H₀: μ₁ = μ₂ (μ₁- μ₂ = D),

H₁: μ₁ > μ₂ (μ₁- μ₂ > D),

- pentru test unilateral stanga;

H₀: μ₁ = μ₂ (μ₁- μ₂ = D),

H₁: μ₁ < μ₂ (μ₁- μ₂ < D).

Testul statistic t va avea forma:

.

Regiunea critica este data de:

- pentru test bilateral: t< -t sau t> t;

- pentru test bilateral dreapta: t> t;

- pentru test bilateral stanga: t< - t.

Trebuie sa facem o remarca asupra presupunerilor privind normalitatea distributiei in colectivitatea generala: teoria statistica a dezvoltat teste pentru verificarea normalitatii distributiilor, teste prin care se verifica ipoteza nula conform careia legea de repartitie este cea normala N(μ, ²), cu μ si parametrii necunoscuti ce urmeaza a fi estimati pe baza datelor esantionului considerat. Cele mai cunoscute teste pentru verificarea norma­litatii sunt testul χ² de concordanta cu legea normala, testul Kolmogorov - Smirnov, testul de normalitate al lui Lilliefors (vezi Trebici, V. (coord.) - Mica enciclopedie de statistica, Editura Stiintifica si Enciclopedica, Bucu­resti, 1985).

Daca ipoteza nula nu este acceptata, vom putea apela la teste sta­tistice neparametrice, in cadrul carora nu se fac presu-puneri speciale asupra formei distributiei.

Testarea ipotezei privind dispersia unei populatii

Asa cum am vazut in capitolul anterior, suma patratelor diferentelor (care este, de fapt, egala cu sau pentru esantioane mici), impartita la dispersia colectivitatii generale, are o distributie hi-patrat () (daca populatia esantionata este normal distribuita).

Asadar, testul statistic utilizat in testarea ipotezei privind este: ,

care are o distributie cu (n-1) grade de libertate, cand populatia esantionata este normal distribuita, cu dispersia .

Valoarea lui pentru care aria de sub curba (situata la dreapta ei) este egala cu α, se noteaza . Nu putem folosi notatia pentru a reprezenta punctul la care aria din stanga este α, deoarece statistica este intotdeauna mai mare decat zero. Dar reprezinta punctul pentru care aria de sub curba situata la stanga lui este α.

Spre exemplu:

Ipoteza nula este:

cu ipoteze alternative:

- pentru test bilateral ,

- pentru test unilateral drept ,

- pentru test unilateral stang .

Regiunea critica este data de:

sau pentru test bilateral,

pentru test unilateral dreapta,

pentru test unilateral stanga.

Factorii ce identifica testul privind dispersia unei populatii:

Obiectiv: caracterizarea unei colectivitati;

Aspectul vital: variabilitatea;

Tipul datelor: cantitative.

Testarea ipotezei privind raportul dintre doua dispersii

Am vazut ca testarea ipotezei privind dispersia poate fi utilizata pentru a trage concluzii privitoare la consistenta unor procese economice ori privitoare la riscurile asociate. In acest subcapitol vom compara doua dispersii, ceea ce ne va permite sa comparam consistenta a doua procese sau riscurile a doua portofolii de investitii etc.

Statisticienii testeaza, adesea, egalitatea dintre doua dispersii inainte de a decide ce procedeu sa foloseasca in verificarea ipotezei privind diferenta dintre doua medii.

Vom compara dispersiile a doua populatii, determinand raportul dintre ele. In consecinta, parametrul ce ne intereseaza este . Daca dispersia esantionului este (asa cum am vazut) un estimator nedeplasat si consistent al dispersiei colectivitatii generale, sa notam ca raportul este estimator punctual al raportului de dispersii .

Distributia de esantionare a raportului este o distributie F, daca esantioanele au fost extrase independent din populatii normal distribuite.

Valoarea lui F pentru care aria de sub curba (situata la dreapta ei) este α, se noteaza cu F_α (cu gradele de libertate gl1 si gl2).

Din matematica stim ca raportul dintre doua variabile hi-patrat independente impartite la gradele lor de libertate are o distributie F. Gradele de libertate ale distributiei F sunt identice cu gradele de libertate ale celor doua distributii hi-patrat. Atunci:

,

cu si grade de libertate.

In cele ce urmeaza, ipoteza nula este intotdeauna specificata ca egalitatea intre doua dispersii, adica sub forma egalitatii raportului cu unitatea.

.

Ipoteza alternativa poate fi construita astfel: fie ca raportul este diferit de 1, fie mai mare, fie mai mic decat 1.

Tehnic, testul statistic este , dar in conditiile ipotezei nule, adica , testul statistic devine: , care urmeaza o distributie F cu si grade de libertate.

Regiunea critica este data de:

sau pentru test bilateral,

pentru test unilateral dreapta,

pentru test unilateral stanga.

	gl1 = n1 -1 gl2 = n2 -1

Intrebari

Cum apar in statistica ipotezele?

Cum se stabileste regiunea critica, R_c pentru testul bilateral

Cum se stabileste regiunea critica, R_c pentru testul uni­la­teral ?

In testarea ipotezei privind media populatiei generale (μ) pentru esantioane de volum mare , in cazul testului bilateral, care sunt ipotezele ?

In testarea ipotezei privind diferenta dintre doua medii pentru esantioane de volum mare, care sunt proprietatile distributiei de esantionare a diferentei (

Probleme rezolvate

Exemplu 1 - Testarea ipotezei privind media populatiei generale (μ) pentru esantioane de volum mare

Presupunem ca un fabricant de materiale de constructii comercializeaza ciment in pungi, care trebuie sa contina 12 kg/punga. Pentru a detecta eventuale abateri in ambele sensuri de la aceasta cantitate, selecteaza 100 de pungi, pentru care calculeaza kg, s_x= 0,5 kg. Pentru α = 0,01 (grad de incredere (1 α =99%) sa se determine daca se accepta ipoteza nula, aceea ca greutatea pungilor este in medie de 12 kg.

H₀: μ

H₁: μ < 12 sau μ > 12);

z _α =z_0,005=2,575

Regiunea critica: z< z _α sau z> z _α

Cum z = 3,0 < 2,575 rezulta ca sunt suficiente evidente pentru a respinge ipoteza nula H₀ si a accepta ipoteza alternativa, aceea ca greutatea pungilor difera, in medie, de 12 kg.

Exemplu 2 : Testarea ipotezei privind diferenta dintre doua medii pentru esantioane de volum mare

Managerul unui restaurant doreste sa determine daca o campanie de publicitate a dus la cresterea veniturilor medii zilnice. Au fost inregistrate veniturile pentru 50 de zile inainte de desfasurarea cam­pa­niei. Dupa desfasurarea campaniei si trecerea unei perioade de 20 de zile pentru ca aceasta campanie sa isi faca efectul, se inregistreaza veniturile pentru 30 de zile. Aceste doua esantioane vor permite testarea ipotezei privind efectul campaniei asupra veniturilor. Din prelucrarea datelor pentru cele doua esantioane, rezulta:

Inainte de campanie       Dupa campanie

n₁=50                               n₂=30

mil. lei                         mil. lei

s₁=2 mil. lei s₂=2,38 mil. lei

Dorim sa vedem daca veniturile au crescut (μ₂> μ₁), asadar, vom efectua un test unilateral stanga:

H : μ₁ = μ₂ (μ₁

H : μ₁ < μ₂ (μ₁ μ₂ < 0)

Pentru un prag de semnificatie α = 0,05 (probabilitate de garantare a rezultatelor (1 α =95%, z_α=z_0,05=1,645. Sa notam ca regiunile critice, pentru cele mai comune valori ale lui α sunt date de (vezi tab.):

Regiumile critice pentru diferite valori a

Presupunand ca cele doua esantioane (inainte si dupa campanie) sunt independente, vom calcula testul z:

Cum valoarea calculata nu este mai mica decat -z₀ = -1,645, rezulta ca nu ne aflam in regiunea critica. Esantioanele nu ofera asadar, suficiente do­vezi (la α = 0,05) pentru ca managerul restaurantului sa concluzioneze ca veniturile au crescut in urma campaniei de publicitate.

Exemplu 3 - testarea ipotezei privind media populatiei generale (μ) pentru esantioane de volum redus

Conducerea unei companii apeleaza la 5 experti pentru a previziona profitul companiei in anul curent. Valorile previzionate sunt: 2,60; 3,32; 1,80; 3,43; 2,00 (miliarde lei, preturile anului anterior).

Stiind ca profitul companiei in anul anterior a fost de 2 mld. lei, sunt suficiente dovezi pentru a concluziona ca media previziunilor expertilor este semnificativ mai mare decat cifra anului anterior (pentru α = 0,05)?

Media previziunilor expertilor este mld. lei, cu dispersia:

si abaterea medie patratica:

mld. lei.

Elementele procesului de testare a ipotezei statistice sunt:

H₀: μ = 2 ,

H₁: μ > 2 (test unilateral dreapta).

.

In scopul folosirii statisticii t, vom face presupunerea ca populatia gene­rala din care s-a extras esantionul este normal distribuita.

Cum t_α,n-1 = t_0,05;4 = 2,132, regiunea critica este data de t>t_α,n-1. Cum t=1,874< t_{0 ;4}=2,132, nu putem trage concluzia ca media profitului previ­zionata de cei 5 experti pentru anul curent este semnificativ mai mare decat profitul anului trecut, de 2,01 mld. lei.

Exemplu 4 : testarea ipotezei privind proportia populatiei pentru esantioane mari

Managerul unui lat de magazine considera in urma unei analize financiare ca - pentru un nou produs - comercializarea este profitabila, daca procentul cumparatorilor care ar dori sa achizitioneze produsul este mai mare de 12%. El selecteaza 400 de cumparatori potentiali si afla ca 52 dintre acestia vor achizitiona produsul. Pentru o probabilitate de 99% sunt suficiente dovezi care sa convinga managerul sa comercializeze produsul?

Ipotezele sunt:

,

(test unilateral dreapta).

Testul statistic este:

.

Cum si , rezulta ca nu ne aflam in regiunea critica (R_c), nu avem suficiente dovezi sa respingem ipoteza nula, deci procentul nu este mai mare de 12%.

Exemplu 5 : testarea ipotezei privind diferenta dintre doua medii pentru esantioane de volum redus

Presupunem ca dorim sa testam ipoteza conform careia intre doua marci de autoturisme nu exista diferente semni-ficative privind cheltuielile de functionare. Pentru aceasta 20 de posesori de autoturisme (8 posesori ai primei marci si 12 po-sesori ai celei de-a doua) sunt rugati sa tina, cu acuratete, evidenta cheltuielilor de functionare pe o perioada de un an de zile. Pentru α=0 (probabilitate de garantare a rezultatelor (1-α)100 = 90%) sa se testeze aceasta ipoteza, daca rezultatele prelucrarii datelor in esanti­oane sunt:

Marca 1 Marca 2

n₁=8 n₂=12

mil. lei mil. lei

s_x1=0,485 mil. lei                                  s_x2=0,635 mil. lei

Ipotezele statistice sunt:

H₀: μ₁ = μ₂ (μ₁- μ₂ = 0),

H₁: μ₁ ≠ μ₂ (μ₁- μ₂ ≠ 0) [μ₁> μ₂ sau μ₁< μ₂].

Testul statistic este:

Cum t_α/2,n1+n2-2= t_0,05;18 = 1,734, se observa ca t < t_α/2,n1+n2-2, asadar nu ne aflam in regiunea critica.

Rezulta, deci, ca nu exista suficiente dovezi pentru a concluziona ca sunt diferente semnificative intre cheltuielile de functionare ale celor doua marci de autoturisme.

Exemplu testarea ipotezei privind dispersia unei populatii

Pentru urmatoarele date privind cererea unui produs (selectate dintr-o colectivitate normal distribuita), sa se testeze (pentru o probabilitate de 95%), ipotezele:

,

.

Datele sunt: 85, 59, 66, 81, 35, 57, 55, 63, 63, 66.

In esantion: , .

.

Testul statistic este:

.

Cum , si vom respinge ipoteza nula si vom accepta ipoteza alternativa, .

Exemplu testarea ipotezei privind raportul dintre doua dispersii

Un analist doreste sa compare imprastierea veniturilor pe familie, pentru colectivitatea turistilor ce prefera turismul litoral, cu imprastierea veniturilor, pentru colectivitatea turistilor ce prefera turismul balnear. Presupunand ca distributiile veniturilor (mil. lei), in cele doua colectivitati sunt aproximativ normale au fost selectate doua esantioane, de volum 60 si 50 de persoane, iar abaterile medii patratice (mil. lei) sunt: si . Se utilizeaza o probabilitate de garantare a rezultatelor de 95%.

Ipotezele statistice sunt:

,

.

Testul statistic are valoarea:

.

Regiunea critica (pentru ) este data de:

.

Cum ipoteza nula se respinge (aceea ca raportul dintre dispersii este 1) si se accepta ipoteza alternativa. Acest lucru inseamna ca se accepta ipoteza conform careia imprastierea veniturilor pentru turistii din zona litorala este semnificativ mai mare decat cea a turistilor din zona balneara.

In general - daca la numarator se trece dispersia cea mai mare - testul F este un test unilateral dreapta.

BIBLIOGRAFIE

Andrei, T. - Statistica si econometrie Editura Economica, Bucuresti, 2004.

Bourbonnais R , Econometrie , Ed. Dunod , Paris , 1998

Dormont B , Introduction a l'econometrie , Ed. Montchrestien , Paris , 1999

Florea I coordonator), Culegere de modele econometrice, Ed. Muntele Sion,2000.

Iacob, A.I., Tanasoiu, O. Econometrie, Studii de caz, Ed. ASE, Bucuresti, 2005.

Pecican, E. Econometrie pentru economisti, Ed. Economica, Bucuresti, 2004.