VALOAREA IN TIMP A BANILOR

Conceptele de valoare prezenta, actualizare sau compunere sunt frecvent utilizate in majoritatea tipurilor de analiza financiara, intelegerea lor este vitala pentru reusita analizei si fundamentarea deciziilor financiare.

1. Concepte de baza ale valorii prezente

Problema centrala care se pune este daca cineva trebuie sa prefere un leu primit astazi in locul unui leu ce-1 va primit exact peste un an, de exemplu. Raspunsul este, bineinteles, pozitiv pentru ca daca acel leu este depus la ban­ca, peste un an el va valora 1,30 lei (daca rata anuala a dobanzii este de 30%) si, deci, acel cineva 424b17e ar avea un castig de 0,30 lei (in exemplificare nu trebu­ie sa ne deranjeze valoarea derizorie a leului nostru azi). Deci, concluzia este clara, un leu astazi este mai valoros decat un leu la aceeasi data, dar peste un an.

Exista doua motive pentru sustinerea acestei concluzii: (1) natura umana da o mai mare apreciere unei recompense imediate decat uneia ce ar fi pri­mita in viitor, si (2) inflatia erodeaza puterea de cumparare a unui leu (sau oricare unitate monetara) in decursul timpului daca este pastrat sub forma lichida (daca nu este investit). Deci, rezulta ca banii au o valoare in timp. Va­loarea in timp este reflectata in rata dobanzii care este incasata sau platita pentru dreptul de a utiliza banii pentru diferite perioade de timp.

Putem da acum raspunsul de ce trebuie sa preferam 1000 lei primiti asta­zi in locul a 1000 lei primiti exact peste un an. Daca rata dobanzii anuale este 10%, atunci 1000 lei astazi vor valora 1100 lei peste un an de zile. Aceasta suma s-a calculat astfel:

(l+0,10) x 1000= 1100 lei

Putem de asemenea, sa calculam valoarea de astazi a celor 1000 lei ce ar trebui primiti peste un an. Pentru a realiza aceasta, este necesar sa determi­nam cat trebuie investit astazi, la o rata a dobanzii de 10% anual, pentru a obtine 1000 lei peste un an. Aceasta suma se obtine astfel:

1000/l,10 = 909,10 lei

Deci valoarea prezenta a celor 1000 lei obtinuti peste un an este 909,10 lei.

Conceptul de valoare prezenta este crucial in finantele firmei. Investitorii incredinteaza resursele (fondurile) lor acum (in prezent) in asteptarea primi­rii unor profituri viitoare. La evaluarea corecta a veniturilor furnizate de o in­vestitie, este necesar a lua in considerare ca veniturile se obtin in viitor. Aceste sume monetare viitoare trebuiesc exprimate in termenii valorii pre­zente pentru a aprecia, rentabilitatea investitiei, comparandu-le cu costul acesteia sau valoarea de piata curenta, in plus, incasarile de numerare efec­tuate in diferite date pe scara timpului nu sunt comparabile direct, decat uti­lizand metoda valorii prezente (VP).

Iata de ce, dintre toate tehnicile folosite in finante, nici una nu este mai importanta decat conceptul valorii in timp a banilor, sau analiza actualizarii fluxurilor de numerar.

2. Procesele compunerii si actualizarii

Procesul compunerii este un proces aritmetic de determinare a valorii fi­nale a unei plati sau serii de plati cand dobanda este mentinuta ca investitie pana la final (este compusa), intelegerea conceptului de dobanda compusa este esentiala pentru o gestiune financiara eficace. De fapt, cine are de-a face cu banii trebuie sa stie cate ceva despre dobanda compusa. Pentru ilustrarea compunerii, presupunem ca l leu este investit astazi pentru o perioada de t ani la o rata a dobanzii r_t cu compunerea anuala a dobanzii. Cati lei vor fi ob­tinuti la finele perioadei t pentru l leu investit? Raspunsul il vom gasi proce­dand pe etape anuale la calcularea valorii finale (viitoare) la finele fiecarui an. La finele primului an, este adaugata o suma a dobanzii r, obtinandu-se in total l + r₁ lei. Deoarece dobanda este compusa (nu este retrasa de investi­tor), la finele anului doi dobanda ce se plateste se calculeaza la intreaga suma 1+r, astfel incat dobanda platita la finele anului doi este r₂ (l + r₁). Deci, suma totala la finele celor doi ani este:

valoarea viitoare a unui leu dupa doi ani = (l + r₁) + r₂(l + r₁) = l + r₁+ r₂ r₁r₂

Cu alte cuvinte, valoarea viitoare dupa doi ani cuprinde patru cantitati: valoarea de inceput (investitia) de l leu, dobanda obtinuta pentru suma in­vestita dupa un an, r₁; dobanda obtinuta pentru suma investita pentru anul doi, r₂; si dobanda obtinuta pentru dobanda din anul intai pe parcursul anu­lui doi, r₁r₂. Daca rata dobanzii este constanta - adica r₁ = r₂ = r_t - atunci termenul compus r₁r₂ poate fi scris r_t². Continuand rationamentul, dobanda platita la finele anului trei este r₃(l+ r_t)², astfel:

valoarea viitoare a unui leu dupa trei ani = (l+r_t)² + r₃(l+r_t)² = = l + r₁ + r₂ + r₃ + r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃ + r₁r₂r₃ = (l+r_t)³

Rationand la fel, dupa t ani, in care t este numar intreg si pozitiv, obtinem:

valoarea viitoare a unui leu dupa t ani = (l+r_t)^t               (1)

Expresia (1+r)^t poarta denumirea de factor de compunere, iar r este rata de compunere. Factorul de compunere este, deci, expresia, numarul, in rea­litate, care se gaseste in tabele, si care se foloseste la gasirea valorii viitoare a unei sume prezente in conditiile unei anumite rate a dobanzii (rata de com­punere).

Procesul prin care se determina valoarea viitoare a unei sume prin com­punerea dobanzii (calculul dobanzii la dobanda) la o rata anumita a doban­zii, poarta denumirea de compunere.

Folosind expresia 1 putem calcula cat se va primi pentru 1000 lei investiti, la o rata a dobanzii de 8%, peste 5 ani:

1000 (1+0,08)⁵ = 1000 x (1,08)⁵ = 1469,33 lei

Suma totala a dobanzii de 469,33 lei este compusa din 400 lei dobanda aferenta sumei investite (80 lei/an x 5 ani) si 69,33 lei din compunerea do­banzii (calcularea dobanzii la dobanda).

Pentru usurarea calculelor exista tabele speciale cu factorii de compune­re in functie de numarul de ani de compunere si rata dobanzii (rata de com­punere) din care acesti factori se pot lua.

Un caz aparte si foarte important al compunerii il constituie compunerea continua.

Formula 1 poate fi utilizata si daca dobanda este compusa la un inter­val mai mic decat un an de zile. De exemplu, presupunem ca dobanda se compune semestrial, cu o rata anuala a dobanzii de 8%. Aceasta inseamna ca 4% va fi adaugat in cont la finele fiecarui semestru. Presupunand ca cei 1000 lei sunt investiti pe 5 ani, deoarece exista zece perioade de compunere (2 se­mestre/an x 5 ani), suma totala obtinuta dupa 5 ani va fi:

1000 (l + 0,04)¹⁰ = 1000 (1,04)¹⁰ = 1480,24 lei

Suma in plus de 10,91 lei (480,24 lei - 469,33 lei) este determinata de efectul marit al compunerii care are loc de zece ori, in loc de cinci ori.

Deoarece multe investitii genereaza venituri pe parcursul mai multor ani in viitor, este important sa se aprecieze valoarea prezenta a platilor (incasa­rilor) viitoare. Presupunem ca o suma de bani va fi primita dupa t ani la o rata anuala a dobanzii constanta pe aceasta perioada de r. In ecuatia 1, am aratat ca valoarea viitoare la finele a t ani este (1+r)^t pentru un leu. Invers, valoarea prezenta a unui leu ce va fi primit la finele a t ani este:

valoarea prezenta a unui leu =              (3)

Expresia de mai sus poarta denumirea de factor de actualizare, iar r_t de rata de actualizare. Deci, factorul de actualizare ajuta la aflarea valorii prezente a unui leu primit dupa t ani la o rata de actualizare (rata dobanzii) t.

Procesul de aflare a valorii prezente a unei plati sau a unei serii de plati (fluxuri de numerar) viitoare poarta numele de actualizare si este reversul compunerii.

3. Valorile viitoare (VV) si valoare prezenta (VP)

Valoarea viitoare a unei sume prezente este valoarea pe care o va avea aceasta suma in viitor datorita cresterii ei pe seama luarii in calcul a ratei do­banzii.

In cazul particular cand nu are loc compunerea dobanzii (dobanda este calculata, spre exemplu, anual si este retrasa) pentru calculul valorii viitoare se foloseste formula dobanzii simple (aritmetica). Valoarea viitoare (W) in functie de valoarea prezenta (VP) si rata dobanzii r este data de ecuatia:

VV = VP (l + n x r)                             (4)

unde, n = numarul de perioade (zile, trim., an)

r = rata dobanzii aferenta fiecarei perioade

Pentru cazul particular cand n = l an, expresia valorii viitoare este:

VV = VP + VP x r

unde VP este cunoscuta sub denumkea de capital, iar VP x r este valoa­rea dobanzii adaugata, dupa un an de fructificare, la capital.

Daca perioada de compunere este lunga, sa zicem 20 de ani, procesul de aflare a valorii viitoare este mai greoi, deoarece presupune calcularea expre­siei (1+r)²⁰, in cazul nostru. Usurarea calculelor are loc daca se folosesc fac­torii de compunere (FC) din tabelele speciale.

Utilizarea tabelelor cu factori de compunere are loc astfel.

Sa presupunem ca dorim sa stim factorul de compunere pentru o rata a dobanzii de 6% pentru 20 de ani, adica FC_6%,₂₀. Din tabel gasim numarul 3,20714 la intersectia coloanei 6% (a dobanzii) cu randul 20 (al perioadei).

Utilizand factorul de compunere, avem formula:

VV = VP x FC_r,_n                                                          (5)

unde r = rata nominala a dobanzii pe an iar n = numarul de perioade (ani).

Valoarea prezenta este valoarea de astazi a unei plati (incasari) sau a unor serii de plati (incasari) viitoare actualizate cu o rata de actualizare corespun­zatoare.

Folosind formula 3 a factorului de actualizare putem scrie formula valorii prezente (VP), astfel:

VP = VV * (6)

De mentionat ca si pentru factorul de actualizare (FA) exista tabele care dau valorile acestuia pentru diferite rate de actualizare (rate ale dobanzii) si diferite perioade de timp, ceea ce usureaza mult calculele, in acest caz ecua­tia 6 se rescrie astfel:

VP = VV x FA_r;n                                                                 (7)

De exemplu, tabelele cu factori de actualizare pot fi utilizate la determi­narea valorii prezente a 1000 lei primiti peste 20 de ani la o rata de actuali­zare de 10%.

VP = VV x FA_10%,20 = 1000 lei x 0,14864 = 148,64 lei      

3.1. Valoarea prezenta a unei anuitati ordinare

O anuitate este o forma speciala a fluxului de venit in care platile au loc in mod regulat si egal in decursul unei perioade de timp. Ea poate avea loc fie la inceputul, fie la sfarsitul perioadei. Anuitatea care are loc la finele peri­oadei se numeste anuitate ordinala sau obisnuita, care este cea mai frecvent intalnita. Anuitatea care are loc la inceput de perioada poarta numele de anuitate cuvenita. Noi, in continuare, vom face referire la anuitatea obisnuita.

Presupunem ca o suma C este primita la finele fiecareia din urmatoarele n perioade de timp (care pot fi, spre exemplu, luni, trimestre sau ani). Admitem, in plus, ca rata dobanzii pentru fiecare perioada este constanta si egala cu r. Atunci valoarea prezenta a unei sume ce va fi primita la finele pri­mei perioade va fi C/(l+ r), valoarea prezenta a urmatoarei sume este C/(l+ r)², si asa mai departe.

Deci, valoarea prezenta pentru N perioade de anuitati este:

VP =

Se poate demonstra ca expresia de mai sus este similara cu:

VP = C              (8)

Daca avem in vedere ca paranteza reprezinta factorul de actualizare pen­tru anuitate, ecuatia 7 se poate scrie:

VP = C x FAA _r,n                                                                       (9)

unde C = anuitatea;

FAA _r,n = factorul de actualizare al anuitatii pentru o rata a dobanzii r si pentru n perioade. Diferitele valori ale factorului de actualizare al anuitatii se iau, de asemenea, din tabele.

Valoarea prezenta a unei anuitati perpetue

In cazul extrem al unei anuitati perpetue, adica plata (incasarea) are loc permanent si pentru totodeauna (la infinit), membrul doi al parantezei din ecuatia 8 este egal cu zero (N →∞), si, deci valoarea prezenta a unei anui­tati perpetue este data de expresia:

VP = C / r                                                    (10)

De exemplu, pentru o rata a dobanzii de 8% valoarea prezenta a unei a-nuitati perpetue de 1000 lei este:

1000 / 0,08 = 12.500 lei

De remarcat ca suma de 12.500 lei este suma limita (cand N = ∞), or, in mod normal, valoarea prezenta a unei anuitati de 1000 lei cu o rata a doban­zii de 8% trebuie sa fie mai mica decat 12.500 lei.

Cand anuitatea perpetua este crescatoare (cu o rata g) formula valorii pre­zente este:

VP = C / r-g                                                     (11)

unde C este fluxul de numerar primit la fiecare perioada, g este rata de crestere pentru fiecare perioada, exprimata ca procent, iar r este rata cores­punzatoare de actualizare.

3.3 Valoarea viitoare a unei anuitati

In cazul unei anuitati de C lei pe an, valoarea viitoare se calculeaza utili­zand ecuatia:

VV = C(1+r)^N-1 + C(1+r)^N-2 + ... + C(1+r)⁰ = C

sau

VV = CxFCA_r,n   , (12)

unde FCA _r,_n este factorul de compunere al anuitatii.