Mecanisme de reglare fundamentate pe teoria costurilor firmei

In teoria economica au fost fundamentate numeroase concepte privind costurile firmei, cum ar fi: cost contabil, cost de oportunitate, social sau alternativ, cost economic.

Fata de costul contabil, definit ca suma de cheltuieli de productie, calculate pe baza preturilor de achizitie, ale factorilor de productie, tarifelor pentru manopera si a amortizarilor, costul de oportunitate (social sau alternativ), reprezinta plata necesara pentru a mentine o resursa in utilizarea ei prezenta, tinand seama de posibilitatea utilizarii alternative a factorilor de productie. Spre deosebire de costul contabil, exprimat in unitati monetare, costul de oportunitate se exprima ca rata de scont a sumei avansata pentru achizitionarea factorilor de productie.

Costul economic este un concept care are la baza costul de oportunitate si care ia in plus in considerare efectele externe sau externalitatile (beneficiile sau pierderile generate de activitatea altor agenti economici sau procesele care au loc in mediul inconjurator).

Formalizarile urmatoare au in vedere in special costul contabil care permite estimari econometrice pentru identificare.

Definirea functiei de cost. Tipuri de functii de cost

Prin definitie, functia de cost total este solutia problemei de optimizare:

(1)

este vectorul linie al preturilor factorilor de productie.

este vectorul coloana al factorilor de productie.

este produsul finit (considerand procesul de productie cu un singur produs finit)

este multimea intrarilor (factorilor de productie) necesare pentru a produce un nivel de productie finita , respectiv multimea tuturor vectorilor de intrare (factori de productie) care concura la fabricarea nivelului de productie finita .

Din definitia (1) rezulta ca functia de cost este cheltuiala minima (date fiind preturile factorilor de productie / pentru producerea unui nivel al productiei finite.

In relatia (1), preturile factorilor sunt date exogen (se face ipoteza competitiei perfecte). Vom presupune, de asemenea, ca nu exista factori de productie cu preturi zero , ceea ce presupune ca factorii de productie nu au disponibil liber (nu exista in cantitati infinite).

Observam ca functia de cost definita prin (1) depinde de tehnologie prin restrictia tehnologica . Fara aceasta restrictie, functia de cost nu este bine definita, intrucat prin minimizarea libera a unei functii liniare, optimul este zero (tinand seama de proprietatile functiei de cost).

Definim:

(2) costurile fixe ale firmei. Acesta este un concept pe termen scurt si reprezinta cheltuiala cu factorii de productie invarianta in raport cu volumul productiei (amortizari, salariile personalului tehnic - administrativ, chirii, iluminat, incalzit).

(3) sunt costurile variabile ale firmei (de asemenea un concept pe termen scurt), care cuprind cheltuielile cu capitalul circulant (pentru fabricatie) si salariile directe ale personalului firmei.

Costurile medii sau unitare ale firmei sunt:

(4) costul fix mediu

(5) costul variabil mediu

(6) costul total mediu

(7) costul marginal al firmei (sporul de cheltuieli indus de cresterea cu o unitate a productiei finite).

Proprietatile functiei de cost

Functia de cost definita prin (1), trebuie sa satisfaca urmatoarele proprietati:

a. , daca si (nenegativitatea).

Conform acestei proprietati, nu este posibil a se produce un output pozitiv cu un cost nul. Ca o consecinta a proprietatii de esentialitate stabila a functiei de productie (orice nivel de productie finita - output - este obtinut prin utilizarea unei cantitati strict pozitive din cel putin un input - factor de productie). Intrucat preturile pietei sunt strict pozitive (factorii de productie nu au disponibil liber), costul total va fi strict pozitiv.

b. Daca (functia de cost este nedescres­catoare in preturi). Aceasta inseamna ca o crestere a preturilor factorilor atrage o majorare a costurilor de productie.

Demonstratie: Consideram si vectorii preturilor factorilor, astfel incat . Consideram si vectori de inputuri care minimizeaza cost total la preturile , respectiv . Rezulta ca:

si

Adunand cele doua relatii obtinem:

   (8)

Relatia (8) este inegalitatea fundamentla a minimizarii costurilor folosita in statica comparata. Scrisa pe componente, relatia (8) devine:

   (9)

ceea ce releva faptul ca modificarea pretului unui input va atrage modificarea in directie opusa a 656f56g utilizarii inputului, respectiv functiile de cerere derivata (cererea de factori de productie) sunt descrescatoare in preturi.

c. este continua si concava in .

Consideram si doi vectori de preturi, iar si vectori de inmputuri care maximizeaza costul pentru si . Consideram o combinatie conexa a celor doi vectori de preturi:

Pentru de demonstra concavitatea, trebuie sa aratam ca:

Consideram vectorul de inputuri care minimizeaza costul pentru prin definitie. Din minimizarea costurilor:

si

Putem scrie:

(10)

d. relatie care reflecta omogenitatea de grad unu in preturi.

Aceasta este binecunoscuta proprietate numita "absenta iluziei monetare" ceea ce permite utilizarea preturilor relative in functiile de cost. Conform acestei proprietati rezulta ca variatia proportionala a preturilor de intrare, va duce la modificarea functiei de cost in aceeasi proportie.

(11)

e. Daca , adica functia de cost este nedescrescatoare in (nivelul outputului).

Rezulta, conform acestei proprietati ca o crestere a nivelului outputului (a productiei finite), nu poate duce la descresterea costurilor.

Consideram , din monotonia functiilor de productie rezulta ceea ce inseamna ca orice vector de inputuri care poate produce , poate produce si , respectiv cu costul , deci daca nivelul outputului creste, costul nu poate sa scada.

f. Functia de cost satisface lema lui Shephard: daca este diferentiabila in , atunci exista un vector unic de functii de cerere derivata care minimizeaza costul si care este egal cu gradientul lui in raport cu , adica:

,    (12)

respectiv, scris pe componente:

                            (13)

unde este cererea derivata de factori de productie.

Mentionam ca lema lui Shephard se aplica in cazul in care multimea inputurilor necesare este strict convexa.

Figura 1 reflecta situatia in care exista o infinitate de combinatii intre si pe portiunea de tangenta a dreptei izocost cu isocuanta. In acest caz, lema lui Shephard isi pierde valabilitatea. In fig. . 2, este strict convexa, isocuanta este strict convexa, punctul de tangenta al celor doua curbe de indiferenta este unic, deci combinatia de inputuri care minimizeaza costul este unica.

Functia de cost polinomiala

Exista multe cazuri, in teoria microeconomica in care se foloseste functia de cost polinomiala , de obicei un polinom de grad 3 in , obtinuta, destul de complicat printr-o procedura de identificare si estimare pe care o vom prezenta ulterior. Pe baza acestei functii de cost au fost dezvoltate mare parte a mecanismelor economice care se desfasoara la nivel de firma.

Fara sa contrazica rezultatele anterioare, pentru functia polinomiala au fost dezvoltate proprietati specifice, pe care le vom formula, unele fara demonstratie.

Corelatii fundamentale intre functiile de cost mediu
si marginal

Daca valoarea costului total mediu sau a costului variabil mediu este minima pentru un anumit nivel de output, valoarea costului marginal este egala cu valoarea costului mediu (total sau variabil) pentru acel nivel de output. Fie:

fiind nivelul outputului care minimizeaza

este nivelul outputului care minimizeaza

Atunci:

    (13)

      (14)

Din proprietatea aceasta rezulta ca intersectia intre curbele costurilor medii si costul marginal se realizeaza in punctele care minimizeaza costurile medii (vezi fig. 3).

2.a) Pentru acele nivele de output pentru care costurile medii sunt functii crescatoare, costul marginal este mai mare decat costurile medii;

b) Pentru acele nivele de output pentru care costurile medii sunt functii descrescatoare, costul marginal este mai mic decat costurile medii (vezi fig. 3).

Legea veniturilor marginale descrescatoare

3. Legea veniturilor marginale descrescatoare implica costuri marginale constante sau crescatoare.

Demonstratia se bazeaza pe conditia de ordinul intai: a problemei de minimizare a costurilor sub restrictia de atingere a unui nivel de output
fixat :

                               (15)

C.N.O.

(16)

Diferentiem (16), obtinand:

   (17)

Multiplicam relatia (17.2) cu :

                         (18)

Insumam (18) dupa :

                                 (19)

             (20)

conform legii veniturilor marginale descrescatoare (deoarece matricea hessiana este negativ definita).

Se stie din teoria microeconomica de faptul ca , multiplicatorul Lagrange in problema (15), este costul marginal al outputului, adica:

                                         (21)

Rezulta din (20):

,        (22)

de unde:

, adica , sau ,          (23)

ceea ce inseamna ca atat timp cat veniturile marginale sunt descrescatoare costul marginal este o functie crescatoare si reciproc.

4. Costul marginal este riguros constant atunci cand functia de productie satisface legea veniturilor constante la scala de fabricatie.

Daca functia de productie satisface legea veniturilor constante la scala de fabricatie, ea este omogena de gradul intai.

Din ecuatia lui Euler pentru functii omogene avem:

                                        (24)

unde este gradul de omogenitate (in cazul nostru ), aplicata functiei (15.2), deducem:

                                         (25)

Din conditiile de ordinul intai (16) deducem cerintele marginale:

                                 (26)

Inlocuind (26) in (25), obtinem:

,                                             (27)

adica

,                                                 (28)

deci, derivand in raport cu y:

- constant              (29)

Putem ilustra acum relatia intre functiile de cost si monotonia veniturilor marginale, exprimate in functie de productie. Presupunem[*] , in acest caz , adica costurile variabile sunt egale cu costurile totale.

Putem observa ca pe termen scurt, costul total pentru producerea unui anumit nivel al productiei finite nu este intotdeauna minimal, inrucat depinde de nivelul costurilor fixe. Consideram o tehnologie cu doua inputuri (capital tehnic), (forta de munca), vezi figura 5. Rezulta:

fixat pe termen scurt

Teoria costurilor pe termen lung si corelatiile cu costurile pe termen scurt

In teoria economica conceptele de termen lung si scurt nu sunt definite ca numar aproximativ de ani in evolutia firmei ci mai degraba in raport cu rata de modificare a activelor firmei; astfel termen lung este o durata in care firma isi poate dezvolta stocul de echipamente, tehnologii, piete de desfacere, astfel incat toate costurile pot deveni dependente de volumul productiei. In consecinta termen scurt este o durata de timp in care firma nu-si poate dezvolta tehnologia sau echipamentele, singura posibilitate de a-si creste productia ca urmare a cresterii cererii pe piata, este aceea de a livra din stoc, intrucat nu are timp sa-si procure noi factori de productie, sa-si angajeze noi muncitori, sa-si procure noi tehnologii.

Functiile cost pe termen lung

Revenind la definitia functiei de cost (1), o parte h, din factorii de productie, au durata indelungata de folosinta, de exemplu elementele de capital fix, in timp ce factori de productie ii vom presupune "variabili" in sensul ca sunt inlocuiti (capitalul circulant) sau retribuiti in urma fiecarui ciclu de productie.

Presupunem preturile medii ale factorilor de productie, factori de productie cu durata indelungata de folosinta si factori de productie "variabili", rata de scont.

Costul de oportunitate pentru factorul , in perioada tinand seama de valoarea actuala a acestora va fi:

( este numarul de perioade pana la atingerea nivelului minim al costurilor pe termen lung).

Putem acum rescrie definitia (1), tinand seama de structura vectorului inputurilor:

si al preturilor:

                        (30)

unde u este vectorul de componente u_i.

Principiul Samuelson-Chatelier.
Relatia intre costurile totale pe termen lung
si scurt

Consideram initial doua inputuri, si , in care este restrictionat, respectiv contine elemente de capital fix.

Costul total pe termen scurt este suma dintre costul total variabil si costul total fix:

                    (31)

unde costul total variabil este definit de relatia (1).

Costul total pe termen lung este, conform (31):

                   (32)

Rezulta ca problema de minimizare a costurilor pe termen lung este descompusa in doua etape:

a) minimizarea costurilor variabile pe termen scurt, dandu-se ;

b) alegerea nivelului inputului care minimizeaza costul total pe termen lung

Rezulta:

(33)

si

,                         (34)

unde este solutia problemei (32).

Din (33) si (34) rezulta ca CL este infasuratoarea pe dedesubt a functiilor de cost pe termen scurt , atat in spatiul preturilor, cat si in spatiul outputului.

Din (33) rezulta ca este limita inferioara a costurilor fixe pe termen scurt. Din (33) si (34) rezulta, de asemenea, ca curbele costurilor pe termen scurt si lung nu se pot intersecta niciodata, nici in spatiul preturilor, nici in spatiul outputurilor, ci sunt tangente.

Semnificatia economica a faptului ca graficul functiei de cost total infasoara pe dedesubt graficele curbelor pe termen scurt este foarte importanta. Din proprietatile functiilor de cost, atat , cat si sunt concave in preturile factorilor. Prin faptul ca este deasupra inseamna ca ele sunt tangente intr-un punct, sa zicem , iar este mai concava decat .

Conditia de tangenta este:

  (35)

Prin aplicarea temei lui Shephard, (35) devine:

                            (36)

Din (36) rezulta ca cererile derivate pe termen lung si scurt pentru factorul de productie i sunt egale. Mentionam ca (35) si (36) sunt satisfacute pentru si respectiv pentru nivelul costurilor fixe pe termen scurt, care minimizeaza costul total pe termen lung.

Faptul ca este mai concava decat , implica:

                     (37)

Rezulta ca cererea derivata pe termen lung, este mai elastica in raport cu pretul decat cererea derivata pe termen scurt.

Relatia (37) releva principiul Chatelier-Samuelson, care joaca un rol important in teoria microeconomica.

Generalizarea principiului Samuelson- Chatelier

Definim vectorul de inputuri:

                               (38)

unde :

subvectorul inputurilor variabile

subvectori de inputuri fixe

Presupunem ca inputurile fixe sunt modificate succesiv, generand costuri pe termen foarte scurt:

In general:

(39)

Functia de cost pe termen lung este:

(40)

Definind costul pe termen scurt ca suma intre costul variabil si costul fix, obtinem:

       (41)

Aceasta succesiune de probleme de minimizare implica:

(42)

si

               (43)

(multimea indicilor asociati inputurilor variabile)

Din (43) rezulta ca, cu cat sunt mai putine inputuri fixe in procesul de productie, modificarea inputurilor variabile indusa de modificarea propriului pret este mai mare.

Relatia intre costurile medii pe termen lung si scurt. Curba de planificare

Curba costului mediu pe termen lung infasoara pe dedesubt curbele costurilor medii pe termen scurt.

Lema: Costul mediu pe termen lung este egal cu costul mediu pe termen scurt pentru nivelul de output pentru care costul total mediu pe termen lung este minim.

Numim scala de fabricatie nivelul outputurilor care pot fi produse cu un anumit nivel al capitalului (factor de productie cu durata indelungata de folosinta).

Scala optima de fabricatie este nivelul outputurilor care pot fi produse cu un volum al factorilor ficsi (de folosinta indelungata, in special capitalul fix) care minimizeaza costul total pe termen lung.

Notam:

costul mediu pe termen lung

costul marginal pe termen lung

(44)

este valabila numai pentru scala optima de fabricatie, y ^*.

Curba poarta numele de curba de planificare, intrucat ea reliefeaza posibilitatile cost-nivel al productiei firmei la un moment dat.

Costuri medii si marginale pe TL si TS. Economii
la scala de fabricatie

Lema: Pentru , nivelul outputului pentru care costul mediu pe termen scurt si costul mediu pe termen lung sunt minime, costurile marginale pe termen lung si scurt sunt egale.

                         (45)

Conditia de tangenta a costurilor medii pe termen lung si scurt este:

             (46)

(47)

Corespunzator:

                 (48)

Multiplicam relatia (46) cu :

        (49)

Adunam (44) cu (49) si obtinem:

(50)

Membrul stang al relatiei (50) este , iar membrul drept este . Rezulta ca (45) este verificata.

Din fig. rezulta ca scala optima de fabricatie corespunde

Din prezentarea de mai sus putem trage concluzia ca:

                (51)

Spunem ca firma realizeaza economii la scala de fabricatie atunci cand curba costului mediu pe termen lung este descrescatoare, pe masura ce outputul creste, iar curba costului marginal pe termen lung se situeaza sub curba costului mediu pe termen lung.

Rezulta:

Spunem ca firma poseda pierderi la scala de fabricatie atunci cand curba costului mediu pe termen lung este crescatoare, pe masura ce outputul creste, iar curba costului marginal pe termen lung se situeaza deasupra curbei costului mediu pe termen lung.

Rezulta:

Economiile si pierderile la scala pot fi interne, in cazul in care preturile factorilor raman constante, cand firma se deplaseaza de-a lungul traiectoriei de dezvoltare a firmei (in cazul industriilor cu cost constant); sau externe atunci cand pe termen lung preturile factorilor se modifica (cazul industriilor cu cost crescator sau descrescator).

Structura functiilor de cost

Masurarea elasticitatii substitutiei cu functii de cost

a) Elasticitatea in sens Hicks

Ne punem problema sa aratam ca elasticitatea substitutiei factorilor se poate determina direct din functiile de cost.

Conditiile marginale din problema minimizarii costurilor sunt:

                        (52)

unde este functia de productie cu factori substituibili,

Elasticitatea directa a substitutiei Hickes este:

(53)

Aplicam (52), obtinem:

         (54)

Am notat cu , respectiv

Din (54) rezulta ca poate fi interpretat ca elasticitatea raportului intre inputuri (inputuri relative), in functie de raportul intre preturile factorilor.

Aplicand in continuare lema lui Shepard, putem exprima si in functie de .

Rezulta ca da un raspuns al modificarii procentuale a inputurilor relative in raport cu modificarea cu 1% a preturilor relative.

Putem deci folosi. pentru a masura modificarea inputurilor indusa de modificarea preturilor.

Identificam trei tipuri de elasticitati ale substitutiei factorilor:

- elasticitatea substitutiei un pret / un factor (ESUU) care masoara modificarea procentuala a unui singur factor, indusa de modificarea unui singur pret

- elasticitatea substitutiei un pret, doi factori (ESUD), care masoara modificarea procentuala a doi factori, indusa de modificarea unui singur pret:

- elasticitatea substitutiei, doua preturi, doi factori (ESDD), care masoara procentual modificarea a doi factori, indusa de modificarea a doua preturi .

b) Elasticitatea substitutiei Allen si Morishima cu functii de cost

b₁) Statica comparata si elasticitatea Allen

Diferentiem conditiile de ordinul intai ale problemei de minimizare a costurilor:

                      (55)

multimea inputurilor admisibile. Trecand la scrierea matriceala obtinem:

              (56)

unde:

este gradientul functiei de productie;

- matricea Hessian atasata functiei de productie.

In (56) matricea:

                   (57)

este matricea Hessian bordata

Putem determina modificarile cererilor derivate de factori in raport cu preturile factorilor din (56), aplicand regula lui Cramer:

                     (58)

unde este cofactorul (minorul cu semn) al elementului al matricei Hessiene bordate atasata functiei de productie si este determinantul Hessienei bordate.

Elasticitatea substitutiei Allen:

                   (59)

Inlocuind (58) in (59) obtinem:

(60)

In (60) inmultim si impartim membrul drept cu , obtinem:

           (60')

In (60') este elasticitatea cererii derivate de factor in raport cu pretul factorului .

Obtinem:

              (61)

Notam , ponderea cheltuielilor cu factorul j in totalul cheltuielilor de productie.

Rescriem (61) ca:

                           (61')

Din (61') rezulta ca elasticitatea substitutiei Allen este raportul intre elasticitatea cererii derivate de factor in raport cu pretul produsuluisi ponderea cheltuielilor cu factorulin costul total al productiei. Elasticitatea substitutiei Allen este ESUU.

b₂) Elasticitatea substitutiei Morishima

(62)

In (62) au folosit faptul ca

3.5.2 Clasificarea factorilor de productie
prin elasticitatea substitutiei

, factorii de productie si sunt Allen substituibili

, factorii de productie si sunt Allen complementari

, factorii de productie si sunt Morishima substituibili

, factorii de productie si sunt Morishima complementari

a) Elasticitatea ESUD (elasticitatea substitutiei un input, doua preturi)

Daca inputurile sunt substituibili in sens Allen, cresterea pretului inputului , duce la cresterea nivelului de utilizare a factorului. Daca inputurile sunt complementare in sens Allen, cresterea pretului inputurilor , duce la scaderea nivelului de utilizare a factorului .

Din omogenitatea de grad zero a functiilor de cerere derivata:

                    (64)

Impartim ecuatia (64) la , obtinem:

                    (64')

Din (64') rezulta:

(65)

Dar , ceea ce inseamna ca nici un input nu poate fi complementar cu toate celelalte inputuri.

Desi , incat obtinem ca in elasticitatea substitutiei Allen factorii substituibili sau complementari se pastreaza, fie ca se utilizeaza sau .

Inputurile si sunt substituibile Morishima daca si numai daca cresterea lui face ca raportul sa creasca. Rezulta ca, daca bunurile sunt substituibile Allen, ele vor fi substituibile si Morishima.

Ca si in masura Allen, un input nu poate fi complementar Morishima cu toate celelalte inputuri.

Insumam dupa din (62):

, (66)

intrucat

Elasticitatea Morishima nu este simetrica in semn, , astfel incat clasificarea in substituibile si complementare Morishima depinde esential de pretul care se modifica.

b) ESDD (elasticitatea substitutiei doua inputuri, doua preturi)

Consideram ca se modifica simultan preturile a doi factori si, .

Scriem diferentiala totala a functiei :

               (67)

Impartim (67) la :

                              (67')

In ansamblul drept din (67') inmultim si impartim primul termen la , iar al II-lea termen la :

             (68)

Notam " ^ " variatia procentuala a variabilei, de exemplu .

Putem rescrie (68) ca:

(68')

Scazand cele doua relatii, obtinem:

(69)

Raportam primul si ultimul termen al sirului de egalitati din (69) la si obtinem:

       (70)

cand .

Din (70) rezulta ca ESDD este o combinatie liniara a elasticitatilor Morishima, fiecare din cei doi termeni ai membrului drept reprezinta raspunsul raportului de modificare a doua inputuri la modificarea preturilor lor.

c) Elasticitatea umbra a substitutiei (EUS)

Masoara raspunsul inputurilor relative la modificarea procentuala a preturilor a doi factori, evaluata de-a lungul frontierei preturilor factorilor (locul geometric al combinatiilor de preturi, care mentin costul constant).

                      (71)

unde , este ponderea cheltuielilor cu factorul in costul total.

EUS este media ponderata a doua elasticitati MORISHIMA, unde ponderile sunt date de cotele parti ale costurilor pentru un factor de productie in costul total.

Separabilitatea functiilor de cost

Conceptul de separabilitate

Presupunem , de doua ori diferentiabila. Definim, de asemenea o multime de indici ai preturilor factorilor si partitia , unde . Definim, de asemenea, multimea extinsa a indicilor , respectiv , unde elementul "0" reprezinta indicele outputului. Corespunzator, partitionam si vectorul preturilor .

Definim separabilitatea functiei de cost, in termenii pantei frontierei factorilor. Preturile si sunt separabile de , in , daca:

                      (72)

Aplicam lema lui Shepard:

                             (73)

Derivand (72) in raport cu , obtinem:

Se obtine imediat ca:

(74)

relatie care inmultita cu evidentiaza in membrul din stanga, respectiv din dreapta, elasticitatea incrucisata a cererii derivate din produsul respectiv , in raport cu pretul factorului , adica:

                              (75)

Separabilitatea functiei de cost are mai multe implicatii decat separabilitatea functiei de productiei. Rezulta ca daca si sunt separabile de , inputurile si sunt substituibile Allen, pentru ca elasticitatile incrucisate sunt egale si .

Separabilitatea slaba a functiei de cost

Spunem ca functia de cost este slab separabila in partitia daca:

    (76)

Deci functia de cost este slab separabila, daca panta preturilor factorilor in spatiul , unde si sunt elemente ale aceleiasi submultimi de preturi in partitia facuta, este independenta de toate celelalte preturi ale factorilor care nu sunt elemente din aceasta submultime.

Rezulta ca, prin separabilitatea slabita, elasticitatile cererilor derivate ale tuturor preturilor dintr-o submultime de factori in raport cu pretul unui input dintr-o alta submultime, sunt egale (oricare ar fi ). Aceasta proprietate are implicatii econometrice importante, privind estimarea elasticitatilor cererilor derivate de factori, numarul acestora fiind considerabil mai redus decat dimensiunea a factorilor, atunci cand functia de cost este slab separabila.

In consecinta, o functie de cost slab separabila poate fi specificata prin:

                   (77)

unde este diferentiabila si monoton crescatoare in raport cu , iar functiile respecta proprietatile functiilor de cost.

3.6.3 Separabilitatea tare a functiei de cost

Spunem ca functia de cost este separabila tare in partitia daca:

(78)

si sau, conform lemei Shephard:

,

adica raportul dintre cererile derivate optimale de factori din oricare doua submultimi disjuncte de inputuri, depinde numai de preturile acestor factori.

Similar cu analiza functiilor de productie, separabilitatea tare implica separabilitatea slaba, dar nu si reciproc.

In cazul separabilitatii tari, functia de cost poate fi reprezentata prin expresia:

    (79)

sau:

si (79')

adica o specificare printr-o functie CES respective Cobb-Douglas, unde termenii , respecta proprietatile functiilor de cost si .

Separabilitatea tare reflecta faptul ca in submultimile de factori, conform partitiei facute, toate inputurile sunt substituibile Allen in aceeasi masura iar masura Allen este simetrica.

Cand fiecare submultime de factori contine un singur input (deci ) si functia de cost este separabila tare, functia de cost este separabila in preturi, adica:

       (80)

si functia de cost poate fi reprezentata prin:

(81)

sau

               (81')

Datorita dualitatii intre si se poate demonstra ca separabilitatea functiei de productie implica separabilitatea functiei de cost si reciproc.

Statica comparata si functii de cost

Statica comparata a modificarii preturilor factorilor

Aplicand metoda staticii comparate, teoremele Euler pentru functii omogene si lema Shepard, deducem cateva proprietati foarte importante, ce pot fi retinute ca legitati de comportament ale functiei de cost in raport cu variatia factorilor determinanti.

Propozitia 1. Functiile cererii derivate de factori sunt omogene de gradul zero in raport cu preturile factorilor; in cosecinta, modificarea simultana cu acelasi indice a preturilor tuturor factorilor (inputurilor) nu modifica cererile derivate din factorii respectivi.

Demonstratie: Consideram o crestere simultana, cu acelasi indice a tuturor preturilor. Functia de cost fiind omogena de grad 1 in preturi, verifica proprietatea:

                         (82)

adica, o crestere a preturilor de ori induce o crestere a costului de ori. Din lema Shepard, deducem functiile cererii de inputuri:

               (83)

Din (82) obtinem:

               (83')

adica functiile cererii de factori, , sunt omogene de grad zero (Q.E.D.).

In concluzie, functiile cererii derivate de inputuri sunt neutre la cresterea simultana si cu acelasi indice a preturilor pe pietele acestor factori.

Propozitia 2. Intr-o vecinatate a echilibrului la producator, modificarea costului total indusa de modificarea preturilor pe pietele factorilor (inputurilor) este nula.

Demonstratie: Notam

- matricea hessiana
a functiei de cost in raport cu preturile factorilor .

Am vazut mai sus ca functia de cost este omogena de grad 1; aplicam teorema Euler II pentru functii omogene (teorema Euler a hessienei) si obtinem:

                (84)

Din lema Shepard deducem ca elementele matricei hessiene a functiei de cost comensureaza variatiile functiilor cererii de factori induse de modificarile preturilor acestor factori:

                 (83'')

Conform (84), avem:

,                     (84')

adica

,                          (84'')

pentru fiecare factor .

De exemplu, consideram numai doi factori ( si , capital si munca) avand preturile si , modificarile de pret aparute pe cele doua piete vor antrena modificari ale cererii din acesti factori la producator si in consecinta a costurilor.

Astfel, pentru cererea de forta de munca (factorul ), aceste modificari in costuri vor fi nule:

,                                  (84''.a)

si similar pentru factorul .

Mai mult, insumand aceste modificari pe multimea tuturor factorilor, deducem:

                      (84''')

ceea ce reflecta continutul proprietatii .

Important este insa ca pentru determinarea modificarilor in functia de cost generate de variatia preturilor factorilor, nu este necesara identificarea functiilor cererii induse de factorii , intrucat calculul se poate face direct prin (84) folosind matricea hessiana a functiei de cost. Astfel, modificarile induse in costuri de variatia preturilor factorilor prin efectele asupra cererii din factorul , vor fi cuantificate cu relatia:

                                 (84.a)

adica

   (84.b)

unde sunt elementele matricei hessiene a functiei de cost.

Revenind la relatia (84'') sau, mai sugestiv, la cazul particular (84''.a), cum trebuie ca variatia cererii din factorul in raport cu unele preturi sa fie negativa si in raport cu altele sa fie pozitiva.

Propozitia 3. a) Modificarea cererii derivate din factorul in raport cu propriul sau pret este negativa:

                         (85)

b) Modificarea cererii derivate din factorul in raport cu pretul factorului este egala cu modificarea cererii derivate din factorul in raport cu pretul factorului :

             (86)

Demonstratia este imediata si rezulta din faptul ca matricea hessiana este negativ definita, adica:

, unde este minorul principal de ordin , din matricea .

Cum rezulta diagonala principala a matricei este negativa si conform (83'') deducem .

Proprietatea b) rezulta din aceea ca este simetrica .

Trebuie sa observam ca cele doua componente ale proprietatii au fost deja evidentiate cu ajutorul teoremei lui Slutsky aplicata la producator:

- variatia reziduala a factorului indusa de modificarea cu o unitate a pretului sau este negativa:

- variatia reziduala a factorului indusa de modificarea cu
o unitate a pretului factorului este egala cu variatia reziduala
a factorului indusa de modificarea cu o unitate a pretului
factorului .

Propozitia 4. Suma elasticitatilor cererii derivate de factor in raport cu preturile tuturor inputurilor este nula.

, unde (87)

Demonstratia se fundamenteaza pe proprietatea , impartind relatia (84'') la (unde ).

In consecinta, elasticitatea la scala de fabricatie a utilizarii factorului este nula, deci tehnologia evidentiaza caracteristica de venituri strict descrescatoare la scala de fabricatie.

Din relatia (87) deducem in plus ca:

-                             (87')

Cum elasticitatea cererii din factorul in raport cu propriul pret este negativa , conform (85) rezulta ca suma elasticitatilor incrucisate cerere-pret este pozitiva si (87') reflecta proprietatea ca suma cresterilor procentuale a cererii din factorul pe seama cresterii cu 1% a preturilor celorlalti factori, egaleaza valoarea absoluta a descresterii (%) cererii din acest input indusa de cresterea cu 1% a propriului pret.

Trebuie observat ca, chiar daca variatiile marginale ale cererilor din doi factori si pe seama pretului celuilalt factor sunt egale, conform Propozitiei 3 formula (85), elasticitatile corespunzatoare sunt diferite, adica

(86')

Aceasta arata ca o crestere cu 1% a pretului respectiv , induce o crestere (%) a cererii din cei doi factori diferita, proprietate ce decurge din nivelul diferit de utilizare a celor doua inputuri.

Statica comparata a modificarii outputului

Analizam efectele induse de modificarea outputului asupra functiilor de cost: costul marginal, costul total, etc.

Fie functia de cost (total). Atunci costul marginal este .

Din proprietatea ca functia de cost este nedescrescatoare in raport cu volumul outputului, rezulta ca functia costului marginal este nenegativa.

Deoarece functia de cost este omogena de grad 1, din (82) se deduce ca functia costului marginal are aceeasi proprietate:

                (82')

Propozitia 5. Variatia cererii derivate din inputul la o crestere de o unitate a outputului este egala cu variatia costului marginal in raport cu cresterea cu o unitate a pretului inputului :

                               (88)

Demonstratia se bazeaza pe lema Shepard si se deduce imediat din relatia (83) derivand in raport cu .

Dupa sensul variatiei cererii derivate din factorul la cresterea productiei se evidentiaza doua situatii:

- daca , factorul este un input normal

- in caz contrar, factorul este un input inferior

Este evident ca un producator nu poate opera achizitionand numai factori inferiori.

Propozitia 6. Variatia procentuala a costului total in raport cu modificarea procentuala a nivelului outputului este inversa elasticitatii scalei de fabricatie.

Masuram variatia procentuala a costului total in raport cu variatia (%) a outputului, prin indicatorul flexibilitatea costului:

(89)

adica pentru functia de cost care este diferentiabila avem:

                           (89')

relatie care arata pe de o parte ca acest indicator este o elasticitate (elasticitatea costului total in raport cu outputul) si pe de alta, ca este raportul intre costul marginal si cel mediu.

Asadar Popozitia 6 se poate enunta si astfel:

Propozitia 6'. Elasticitatea costului in raport cu outputul este egala cu inversa elasticitatii scalei de fabricatie:

                              (90)

Demonstratie: Pornim de la problema de fundamentare a deciziei optime prin minimizarea costurilor, la nivelul productiei .

si este functia de productie

(91)

Scriind lagrangeanul, deducem conditiile necesare de optim:

                                  (91')

Inmultim prima ecuatie din (91') cu si insumam:

            (92)

unde, dupa cum se stie, multiplicatorul Lagrange are interpretarea:

(93)

unde este nivelul optim (minim) al costului in problema (91).

Membrul drept din (92) se poate scrie:

(94)

unde este elasticitatea scalei de fabricatie calculata ca suma a elasticitatilor productiei in raport cu factorii utilizati si este dependenta de volumul factorilor utilizati si de volumul outputului .

Din (92) si (94) deducem:

(92')

In (92') membrul din stanga defineste functia de cost . Tinand cont si de (93) rezulta:

Consecinta:

adica: in conditiile deciziei optime de minimizare a costurilor firma isi desfasoara activitatea in conditii de venituri crescatoare la scala de fabricatie , daca si numai daca inregistreaza venituri descrescatoare la elasticitatea cost/productie si invers.

Chiar daca cele doua concepte sunt relativ apropiate, trebuie subliniat ca elasticitatea scalei de fabricatie masoara raspunsul (reactia) outpututlui de-a lungul razei (dreptei) scalei de fabricatie in spatiul inputurilor, in timp ce elasticitatea cost/output (cost/productie) comensureaza raspunsul outputului de-a lungul traiectoriei de dezvoltare a firmei in spatiul inputurilor (adica locul geometric al punctelor din acest spatiu in care costul de fabricatie este minim).

Cele doua masuri corespund aceleiasi combinatii de inputuri daca si numai daca dreapta scalei de fabricatie este suprapusa peste traiectoria de dezvoltare a firmei. Astfel, in spatiul inputurilor putem ilustra aceste concepte ca in figura 10.

Observatii: Flexibilitatea costului, ca si elasticitatea scalei de fabricatie, sunt indicatori folositi in decizia de dezvoltare a firmei. Presupunem ca, la un pret al pietei outputului, fixat, firma are posibilitatea de a produce o cantitate intr-un singur proces sau sa produca volumul in fiecare din procese de productie.

Daca , este mai avantajos sa produca in procese intrucat agregarea productiei in cele procese va conduce la pierderi prin cresterea productiei (conform consecintei de mai sus). In caz contrar, este mai avantajos sa produca intregul output intr-un singur proces, intrucat firma va inregistra economii (venituri crescatoare la scala de fabricatie).

In cazul , este indiferent ce decizie va lua: de a produce in procese sau intr-un singur proces, intrucat nu se inregistreaza nici pierderi nici venituri intr-o situatie decizionala sau alta.

Dualitatea intre functia de cost si functia de productie

Problema a fost studiata de Uzawa (1963), Shephard (1970), Friedman (1972), McFadden (1978) si dezvoltata ulterior intr-o diversitate de studii de numerosi cercetatori, din diferite tari.

Conform teoremei Minkowski, orice multime inchisa si convexa in este intersectia semispatiilor de sustinere, unde prin definitie, orice subspatiu in este reprezentat prin:

(95)

Observam deci ca functia de cost defineste in spatiul inputurilor un semispatiu, pentru orice vector de preturi si orice nivel fixat al outputului:

                     (95')

unde este costul minim al productiei .

Ca o consecinta, constatam ca nu exista un vector de inputuri care sa permita realizarea productiei cu un cost mai mic, adica .

Rezulta ca acea combinatie de inputuri , care minimizeaza costul pentru preturile fixate de piata si dat, este situata pe frontiera semispatiului si este data de hiperplanul .

Notam:

si                     

unde este functia de productie a firmei cu tehnologia existenta. Deci defineste multimea inputurilor necesare pentru realizarea productiei , cu tehnologia data.

Teorema dualitatii cost-productie ilustreaza proprietatea ca, in conditiile tehnologice date, .

Consideram, pentru simplificare, multimea preturilor inputurilor care conduc la un cost unitar, pentru un anumit nivel al outputului - numita curba izocost unitara.

Fie - regiunea din in care nivelul productiei se obtine cu un cost supraunitar.

Deoarece este convexa in spatiul , multimea este concava. Multimea se numeste multimea preturilor factorilor necesari realizarii outputului si se pune in corespondenta cu multimea , cu deosebirea ca este multimea de inputuri pe cand este multimea preturilor acestora.

este frontiera preturilor factorilor, numita, asa cum am mentionat, curba izocost unitara. Ce relatie exista intre modificarile a doua preturi cu si dw_j de-a lungul acestei curbe?

Diferentiind pentru dat, obtinem:

in care, consideram ca . Deducem ca imediat, folosind lema lui Shepard:

(96)

expresie care comensureaza panta frontierei preturilor factorilor in planul , panta care este negativa.

Astfel, daca pretul inputului creste cu o unitate, pentru a se mentine pe curba izocost unitara, firma trebuie sa utilizeze acel factor , al carui pret scade cu o marime egala cu raportul intre cantitatile optime ce trebuie utilizate din cei doi factori .

Dar din CNO ale problemei de minimizare a costurilor in conditiile functiei de productiei , stim ca:

                            (97)

Insa de-a lungul izocuantei , stim de asemenea ca RMS (rata marginala de substitutie) este

,             (98)

relatia care exprima panta izocuantei in functie de preturile factorilor, pe cand (96) exprima panta curbei de izocost in functie de inputuri.

In concluzie, relatiile (96) si (98) reflecta dualitatea cost-productie.

Pentru ilustrare, consideram doi factori si facem reprezentarea in spatiul preturilor. Panta curbei izocost este , frontiera preturilor factorilor este , care are aceeasi panta (vezi fig. ..,a), punctul de tangenta fiind A. Raza (dreapta) OA are panta egala cu si conform (98) aceasta este egala cu RMS. Asadar, din frontiera preturilor factorilor se poate obtine atat panta izocuantei cat si nivelul relativ de utilizare a factorilor .

Similar, reprezentarea in spatiul factorilor (fig. 11.b) evidentiaza ca raza OB are panta unde B este punctul de tangenta al izocuantei la linia costurilor, panta izocuantei fiind . Deci cunoasterea izocuantei permite determinarea atat a pantei frontierei preturilor factorilor cat si nivelul relativ al preturilor.

Geometric, dualitatea intre functia de cost si functia de productie reflecta congruenta triunghiurilor OAC si OBD in reprezentarea in spatiul preturilor respectiv al factorilor, unghiul fiind egal cu unghiul si .

Studiu de caz

Ilustram rezultatele teoretice anterioare, in cazul concret in care functia de productie este de tip Cobb-Douglas cu doi factori: :

Presupunem ca firma analizata activeaza pe o piata care are capacitate de absorbtie suficient de mare din outputul al firmei. In aceste conditii, modelul de optimizare are ca obiectiv maximizarea productiei in conditiile in care costul este fixat, , unde

preturile celor doi factori fiind (salariul nominal mediu pe persoana, pe an, platit de firma) si - costul capitalului (lei/1 miliard lei capital tehnic), - costul fix - exclusiv amortizarile.

Vom deduce functia de cost . Scriind lagrangeanul si aplicand conditiile necesare de optim obtinem:

                              (99)

unde este multiplicatorul Lagrange, , fiind productia optima.

Impartind cele doua CNO deducem nivelul relativ al cererii de factori reprezentand nivelul optim al dotarii tehnice la acesta firma in functie de nivelul relativ al preturilor :

,                    (99')

deci necesarul de munca in raport cu volumul capitalului este

Inlocuind in functia de productie, deducem necesarul de capital in functie de nivelul dorit al productiei:

deci:

         (100)

In consecinta necesarul de forta de munca va fi:

(101)

Inlocuind in ecuatia costului, deducem functia de cost:

si dupa efectuarea calculelor, gasim:

(102)

Asadar, dupa cum am demonstrat teoretic cunoscand functia de productie, putem deduce functia de cost.

Se verifica prin calcul direct valabilitatea lemei Shepard

si

(propunem ca exercitii efectuarea calculelor)

Asadar

(102.A)

si prin calcul direct, regasim

(102'.A)

care defineste panta frontierei preturilor, negativa si proportionala cu raportul preturilor, de-a lungul curbei izocostului unitar.

Din (101) deducem ca de-a lungul izocuantei - fixat, avem RMS:

(101.A)

care defineste panta izocuantei. Din (99'.A) si (101.A) deducem ca intre pantele celor doua curbe (curba izocost si curba izocuanta) exista relatia:

(102'.A)

care evidentiaza rolul elasticitatilor productiei in raport cu factorii in determinarea raportului intre cele doua pante.

Ilustram acum si a doua componenta a teoremei dualitatii: cunoscand functia de cost, putem identifica functia de productie.

Intr-adevar, cunoscand functia de cost (102), prin aplicarea lemei Shepard determinam cererea de factori , avand expresiile (100), (101) si de-a lungul curbei izocost deducem (102.A). Folosind relatia (102'.A) in care inlocuim panta cu (102.A), gasim:

(102''.A)

care se poate scrie:

Prin integrare deducem:

constanta

deci izocuanta:

, adica expresia functiei de productie de la care am pornit.

Studii de caz propuse: reluati analiza de mai sus daca functia de productie este de tip CES:

a)     

b)      , a > 0, b > 0.

Variatia cererii derivate de factori de productie indusa de variatia preturilor si a cheltuielilor de productie

Deducerea ecuatiei Slutsky

Vom corecta efectele induse de diferite socuri asupra cererii de factori, deci asupra outputului.

Pornim de la modelul deciziei optime:

(1)

unde:

- este vectorul preturilor;

- este vectorul de productie,

cu

- este functia de productie, respectiv restrictia tehnologica, definita pe frontiera eficienta.

Consideram functia de productie monooutput , considerand factori de productie.

Putem formula pentru fixata problema (1), ca o problema de minimizare a costurilor pentru atingerea unui nivel determinat al productiei finite, .

           (2)

Rezolvam problema (2) prin metoda multiplicatorilor Lagrange, obtinand valoarea optima a functiei obiectiv pentru fixat.

Problema duala a problemei (1) este o problema de maximizare a productiei in conditiile incadrarii in nivelul de cheltuieli de productie.

                           (3)

Functia Lagrange, atasata problemei (1) este:

       (4)

Presupunem ca firma functioneaza in competitie perfecta, astfel incat preturile pe pietele factorilor si de productie finite sunt fixate.

Conditia necesara de optim atasata problemei (3) este:

(5)

unde:

Diferentiem conditia de ordinul intai in raport cu si , obtinem sistemul de ecuatii Slutsky:

                   (6)

Urmarim sa determinam variatia cererilor derivate (de factori de productie), indusa de variatia cheltuielilor de productie si a preturilor pe pietele factorilor.

Efectul variatiei cheltuielilor

Ipoteza 1  .

Rezolvam (6) prin metoda lui Cramer.

Construim matricea Hessian bordata:

(7)

(8)

   (9)

unde este cofactorul (minorul cu semn corespunzator elementului din ) si H este matricea hessiana a functiei de productie, H I M_{n - 1,n - 1}.

Raportul:

               (10)

este variatia compensata a cheltuielilor, efect de cheltuieli sau efect de output.

In general, pentru orice , obtinem:

               (11)

adica variatia compensata de cheltuieli indusa de modificarea cu o unitate monetara a cheltuielilor totale ale firmei , asupra cererii derivate din factorul de productie .

Efectul variatiei preturilor factorilor

Ipoteza 2    .

    (12)

Rezolvam (12) dezvoltand dupa prima coloana:

(13)

Rescriem (13) tinand cont de 10:

               (14)

Generalizand (14), obtinem:

              (15)

In (15), primul termen reflecta efectul de substitutie indus de modificarea pretului , asupra cererii derivate de factor , iar al doilea termen reprezinta variatia compensata de cheltuieli. Suma acestor doi termeni, coeficientul Slutsky, reflecta variatia reziduala prin efectul de substitutie si de variatie compensata de cheltuieli, indusa de modificarea cu o unitate monetara a pretului produsului asupra cererii derivate de factor .

Notam simbolic efectul de substituire (primul termen din (15)) si efectul de cheltuieli al doilea termen din (15), iar coeficientul Slutsky .

In conformitate cu teorema lui Slutsky deducem:

(1) variatia reziduala a modificarii cu o unitate a pretului , asupra cererii derivatei de factori , prin efectul de substituire si variatia compensata de cheltuieli, este egala cu variatia reziduala a modificarii pretului asupra cererii derivate de factori prin efectul de substituire si variatia compensata de cheltuieli.

(2) : efectele de substituire sunt egale (in realitate, substitutia perfecta nu se poate realiza).

(3) : in conditiile normale ale cererii si ofertei, efectele de substituire sunt negative, respectiv o scadere a pretului va indica o crestere a cererii.

(4) In conditiile normale ale cererii si ofertei, matricea Slutsky K este negativ definita (minorii principali au semnul , unde este ordinul minorului) si simetrica.

(5)

Deoarece K este negativ definita, rezulta:

Respectiv:

Aplicatie:

Analiza sensitivitatii cererilor derivate de factori la modificarile cheltuielilor totale ale firmei si la modificarea preturilor factorilor.

Consideram o tehnologie formalizata cu ajutorul unei functii de productie neoclasice monoproduct cu factori substituibili, pe frontiera eficienta (analiza fiind valabila pentru functiile de productie multiproduct).

unde Y este outputul firmei, iar sunt inputurile firmei.

Pentru un nivel de output fixat , problema de maximizare a profitului devine problema de minimizare a costurilor:

                             (1)

Solutionarea problemei (1) prin metoda multiplicatorilor Lagrange va conduce la functiile de cerere derivata ale firmei si , valoarea functiei obiectiv, respectiv costul total minim.

Duala problemei (1) este:

                              (2)

care, solutionata prin metoda multiplicatorilor Lagrange, va conduce la functiile de cerere derivata.

Pe baza conditiilor de optim de ordinul al II-lea ale problemei (2), dorim sa determinam modificarea cererii derivate de factori in raport cu modificarile preturilor, pe de o parte, cat si cu modificarile obiectivelor totale pe care firma este dispusa sa le afecteze productiei. Pentru aceasta vom folosi un rezultat fundamental (in teoria microeconomica si anume acela oferit de economistul american Eugen Slutsky, concretizat in teoria lui Slutsky prezentata in cursul de Cibernetica economica partea a II-a.

Aplicatie numerica:

Consideram functia de productie cu factori substituibili pe termen scurt:

unde:

- este factorul capital circulant in unitati fizice;

- este factorul munca in unitati fizice (an - ore).

ambii factori fiind variabili pe termen scurt, iar

- este volumul outputului.

Consideram unitati fizice, volumul fixat al outputului. Notam pretul pietei pentru factorul capital circulant si pretul pietei pentru factorul munca.

Consideram ca in perioada precedenta preturile pietei au fost si .

Cu datele considerate problema de minimizare a costurilor pentru atingerea unui nivel fixat al productiei, devine:

                            (3)

CNO

  (4)

Raportand prima ecuatie la a doua:

Inlocuim rezultatul de mai sus in a treia ecuatie din sistemul (4):

(5)

Din prima ecuatie avem si , .

Duala problemei de minimizare a costurilor pentru atingerea unui nivel fixat al productiei fizice este:

CNO

                                  (6)

Diferentiem conditia necesara de optim:

    (7)

Stiind ca optimul initial , iar rescriem relatiile de mai sus tinand cont de aceste rezultate:

             (8)

Sistemul rezultat este un sistem algebric liniar, pe care il rezolvam in si .

Matricea sistemului este Hessiana bordata, pe care am folosit-o pentru formularea conditiei de ordinul doi a problemei de decizie optimala la producator:

I. Dorim sa identificam efectul modificarii cheltuielilor totale ale firmei asupra cererii derivate de factori. Pentru aceasta facem ipotezele:

Rezolvarea prin regula lui Crammer ne conduce la rezultatele:

Dezvoltand dupa prima coloana:

Relatiile (8) si (9) reprezinta efectul de cheltuieli, (variatia compensata de cheltuieli), adica modificarea cererii derivate de factor K, respectiv L, indusa de modificarea cu o unitate monetara a cheltuielilor.

II. Dorim sa identificam efectul modificarii preturilor pietei pentru cei doi factori, asupra cererii derivate de factori.

(IIa)

                        (10)

Din (10) deducem:

     (11)

este efectul total de substitutie si de cheltuieli al cererii de factor K, indus de modificarea propriului pret.

      (12)

Þ   (13)

este efectul total de substitutie si de cheltuieli al cererii de factor L, indus de modificarea pretului p₁, al capitalului.

(IIb)

(14)

Þ                         (15)

este efectul total de substitutie si de cheltuieli al cererii de factor K, indus de modificarea pretului p₂, al muncii.

   (16)

Þ (17)

este efectul total de substitutie si de cheltuieli al cererii de munca indus de modificarea propriului pret

Ecuatiile (11), (13), (15), (17) sunt ecuatiile Slutsky, in care primii termeni reprezinta efectul de substituire, iar al II-lea termen reprezinta efectul de cheltuieli.

Matricea Slutsky este:

, elementele matricii Slutsky, reprezinta variatia reziduala a consumului de factor, prin efectul de substituire si variatia compensata
de cheltuieli indusa de modificarea cu o unitate monetara a pretului produsului j.

(a)              Coeficientii Slutsky simetrici fata de diagonala principala sunt egali:

(b)            

(variatiile reziduale sunt egale)

(c)              Efectele de substituire  ale modificarii pretului unui produs asupra propriului produs sunt intotdeauna negative:

(d)            

Modificarea pretului unui factor va determina modificarea, in sens contrar a cantitatii de factor folosita. De exemplu, daca pretul factorului scade cu o unitate monetara, consumul de factor va creste cu 3,69723 unitati fizice.

(c) Daca sunt satisfacute legile normale ale cererii si ofertei, matricea Slutsky este negativ definita.

III. Sa se reprezinte grafic punctul de optim initial.

a Curba de indiferenta

care este ecuatia unei hiperbole echilatere in cadranele 1 si 3.

b)      Dreapta isocost

Pretul de optim se situeaza in punctul de tangenta al isocuantei cu dreapta isocost.

c)      Conditia de tangenta:

Determinam din dreapta isocost:

IV. Presupunem ca pretul factorului scade cu doua unitati monetare.

i) Sa se determine efectul de substituire si sa se reprezinte grafic noua curba isocost.

La scaderea cu o unitate a pretului , consumul de factor scade cu 2,77479 unitati

La scaderea cu o unitate monetara a pretului , consumul de factor creste cu 2,08109 unitati

Atunci cand scade cu doua unitati, noul este:

unitati

Atunci cand scade cu doua unitati, noul este:

unitati

Cheltuielile totale:

lei

Noua curba izocost:

Prin efectul de substituire, s-a inlocuit prin dar productia a ramas constanta (deci isocuanta din aplicatia de indiferenta se pastreaza).

Conditia de tangenta

ii) Sa se determine variatia reziduala prin efectul de stustituire si variatia compensata de cheltuieli.

Daca scade cu o unitate monetara, scade cu 0,003875.

Daca creste cu o unitate, creste cu 4,852 unitati.

Prin efectul de substituire si variatia de compensare a cheltuielilor indusa de scaderea cu doua unitati a pretului , noile valori optimale ale cererilor derivate sunt:

Cheltuielile totale:

Valoarea productiei pentru noile valori de echilibru:

Valoarea productiei a crescut fata de la in conditiile mentinerii cheltuielilor de productie constante.

Ecuatia isocuantei:

Curba isocost:

Constatam urmatoarele:

fata de echilibrul initial, prin efectul de substituire

s-a schimbat panta curbei isocost, costul total scazand;

s-a schimbat echilibrul de la la , ;

volumul productiei a ramas constant.

fata de echilibrul initial, prin variatia reziduala, prin efectul de substituire si variatia de compensare a cheltuielilor:

costul total a ramas constant

a scazut de la 26,82 la 26,81

a crescut de la 26,82 la 36,42

volumul productiei a crescut de la 100 u.f. la 127,99 u.f.