Serii cronologice

SERII CRONOLOGICE

Introducere

Cunoasterea regularitatilor care se manifesta in evolutia fenomenelor si proceselor sociale presupune culegerea si sistematizarea datelor in functie de derularea lor in timp.

Sistematizarea datelor in functie de timp conduce la serii cronologice, dinamice sau de timp. Prin studiul seriilor de timp se urmareste, in principal, obtinerea unor informatii privitoare la variatia aparuta in timp, la influenta factorilor care au provocat abaterea de la evolutia normala, la legitatile care s-au manifestat in evolutia fenomenelor si proceselor.

In acest capitol se trateaza instrumentele si metodele strict necesare oricarui economist care incearca sa explice evolutia unor fenomene sau procese economice si sociale din realitate: metodele si indicatorii prin care se descrie numeric o serie cronologica; metode prin care se determina trendul manifestat in evolutia in timp; procedee simple de previzionare a evolutiei viitoare.

Definire, tipuri, reprezentare grafica

O serie cronologica este formata din doua siruri paralele de date, din care primul sir reprezinta valorilr variabilei de timp (t_i), iar cel de-al doilea valorile variabilei inregistrate pentru o anumita perioada de timp (y_t).

Construirea unei serii cronologice presupune inregistrarea datelor la anumite momente sau intervale de timp pentru colectivitatea statistica care se studiaza.

O serie cronologica construita corect prezinta o serie de proprietati, si anume:

variabilitatea termenilor este, in principal, expresia multimii factorilor care influenteaza asupra evolutiei in timp, actiunea carora face ca termenii seriei sa prezinte o anumita variatie;

omogenitatea termenilor unei serii cronologice este rezultatul faptului ca prin fiecare termen care intra in componenta seriei se masoara acelasi fenomen sau proces. Omogenitatea termenilor presupune folosirea acelorasi definitii, acelorasi metodologii de masurare, aceleasi metode de calcul a indicatorilor etc;

interdependenta termenilor consta in faptul ca oricare termen depinde intr-o anumita masura de valoarea termenilor precedenti. Aceasta proprietate genereaza o anumita tendinta in evolutia fenomenelor in timp;

succesiunea in timp a termenil 939i86j or inseamna ca termenii unei serii cronologice sunt rezultatul inregistrarii in ordinea aparitiei lor.

Seriile cronologice se diferentiaza in functie de timpul la care se refera fiecare termen si dupa modul de exprimare al indicatorilor pentru care se construiesc serii cronologice.

Figura 7.1 Tipuri de serii cronologice

Ø     Dupa timpul la care se refera fiecare termen, se deosebesc serii cronologice de perioade (intervale) si de momente.

Seriile cronologice de perioade (intervale) de timp se contruiesc pentru variabile de flux, respectiv pentru variabile pentru care are sens sa se cumuleze datele observate intr-un interval de timp (luna, trimestru, semestru, an). De exemplu: evolutia cifrei de afaceri a unui agent economic in ultimele 12 luni sau evolutia exporturilor Romaniei in ultimii 10 ani.

Termenii unei serii cronologice de perioade sunt insumabil direct. Rezultatul insumarii reprezinta un indicator totalizator care are acelasi continut ca si termenii seriei cronologice.

Seriile cronologice de momente se contruiesc pentru variabile de stoc, respectiv variabile pentru care are sens sa se inregistreze date privind existentul la un moment dat. De exemplu: efectivul salariatilor la sfarsitul lunii; populatia Romaniei la 1 iulie in ultimii 10 ani.

In cazul seriilor cronologice de momente sumarea termenilor nu are sens deoarece se ajunge la inregistrari repetate.

In functie de distanta dintre momente, termenii seriilor cronologice de momente pot fi despartiti de intervale (distante) egale sau distante inegale de timp.

Ø     Dupa modul de exprimare a indicatorilor pentru care se alcatuiesc serii cronologice se disting: serii formate din indicatori relativi; serii construite pentru indicatori medii.

In cazul seriilor cronologice formate din indicatori absoluti, fiecare termen este o marime absoluta exprimata in unitati concrete de masura. O astfel de serie cronologica apare in tabelul nr. 7.1 pe prima linie.

Evolutia unor indicatori macroeconomici in perioada 1996-2001

Tabelul nr. 7.1

Sursa: Anuarul statistic al Romaniei 2002, p.

Seriile cronologice formate din indicatori relativi, prezinta evolutia unor indicatori relativi exprimati, de regula, procentual. In tabelul nr. 7.1, dinamica PIB reprezinta un exemplu de o astfel de serie.

Ø     Printr-o serie cronologica formata din indicatori medii se prezinta evolutia unor caracteristici calitative: PIB pe locuitor; castigul salarial mediu etc.

O prima imagine privind evolutia unei variabile sau indicator se obtine prin reprezentarea grafica. Seriile cronologice de perioade se reprezinta grafic prin cronograma, iar seriile cronologice de momente se vizualizeaza prin diagrama cu coloane.

In ambele cazuri, graficul se construieste in cadranul I al sistemului de coordonate rectangulare. Pe abscisa se masoara timpul iar pe ordonata variabila evolutia careia se analizeaza in timp.

In cazul seriilor de intervale corespunzator fiecarei perechi de valori: t_i, y_t se deseneaza un punct. Unind punctele succesive prin segmente de dreapta se obtine cronograma.

Daca fiecare termen se refera la un moment dat corespunzator fiecarui moment se ridica o coloana inaltimea careia este direct proportionala cu marimea termenului respectiv. Baza coloanelor este aceiasi ca si distanta dintre coloane.

Indicatorii statistici ai seriilor cronologice de perioade

Caracterizarea evolutiei in timp a unei variabile se bazeaza pe un sistem de indicatori format din:

a) indicatori absoluti:

indicatorii de nivel (y_t);

modificarea absoluta (Δ);

b) indicatori relativi:

indicele de crestere / descrestere (I);

ritmul de crestere / descrestere (R);

valoarea absoluta a unui procent din ritmul de crestere / descrestere (A);

c) indicatori medii:

nivelul mediu al seriei ;

modificarea absoluta medie ;

indicele mediu de crestere / descrestere ;

ritmul mediu de crestere / descrestere .

Prin calcularea acestor indicatori se urmareste aflarea raspunsului la intrebari ca: cum se interpreteaza datele disponibile? Care ar putea sa fie evolutia in viitorul apropiat? A raspunde la astfel de intrebari presupune sa se identifice regularitatile manifestate in evolutia fenomenului descris printr-o serie cronologica.

a) Indicatorii absoluti ai seriilor cronologice exprima nivelul la care ajunge variabila la diferite momente sau perioade de timp si modificarile absolute in timp.

Indicatorii de nivel reprezinta valoarea variabilei la momentul sau in perioada de referinta (y_t). Daca se insumeaza toti termenii seriei de perioade rezulta nivelul totalizat .

In cazul datelor din tabelul nr. 7.2, fiecare termen privind cifra de afaceri este un indicator de nivel.

Modificarea absouta (Δ) exprima cu cat a crescut sau scazut in marime absoluta un termen comparativ cu un alt termen, considerat baza de comparatie.

In functie de baza de comparatie se poate calcula:

modificarea absoluta cu baza fixa, care este diferenta dintre nivelul fiecarei perioade (y_t) si nivelul din perioada baza de comparatie (y₁);

(7.1)

Baza de comparatie poate fi primul sau oricare termen al seriei, cu conditia sa fie un termen semnificativ.

modificarea cu baza in lant (mobila, glisanta) se calculeaza ca diferenta dintre oricare termen (y_t) si termenul precedent (y_t-1).

(7.2)

Exemplificarea modului de calcul al indicatorilor seriilor cronologice se face pe baza datelor privind evolutia cifrei de afaceri al unui agent economic prezentata in tabelul nr. 7.2.

Tabelul nr 7.2

Intre cele doua modalitati de calcul a modificarii absolute exista urmatoarele relatii de trecere:

suma modificarilor absolute cu baza in lant este egala cu modificarea absoluta in baza fixa.

(7.3)

Daca se insumeaza, de exemplu, primele doua modificari absolute cu baza in lant (4+6) se obtine modificarea absoluta a anului 1997 fata de anul 1995.

diferenta dintre doua modificari absolute cu baza fixa succesive este egala cu modificarea absoluta cu baza in lant corespunzatoare.

(7.4)

De exemplu, diferenta dintre 24 si 22 reprezinta modificarea absoluta cu baza in lant in anul 2001 fata de anul 2000.

Aceste relatii de trecere sunt utile in analiza seriilor cronologice in cazurile in care nu se cunosc termenii seriei.

b) Indicatorii relativi arata de cate ori s-a modificat nivelul sau cu cat la suta s-a modificat nivelul unei ponderi fata de baza de comparatie.

Indicatorii relativi ofera informatii utile privind evolutia in timp, cu conditia ca baza de comparatie sa fie un termen in raport cu care sa se faca comparatia. Aceasta inseamna sa fie un termen care se inscrie in tendinta de evolutie, sa fie un termen « normal ».

Ø     Indicele de crestere/descrestere (I) arata de cate ori s-a modificat nivelul unei perioade fata de o alta perioada sau cat la suta reprezinta nivelul actual fata de cel considerat baza de comparatie.

Indicele este un raport intre doi termeni ai seriei cronologice. In functie de modul de alegere a bazei de comparatie (numitorul raportului) se calculeaza:

indicele cu baza fixa :

(7.5)

indicele cu baza in lant (mobila, glisanta):

(7.6)

Intre cele doua modalitati de calcul exista relatii de trecere, si anume:

produsul indicilor cu baza in lant este egal cu indicele cu baza fixa corespunzator.

(7.7)

Observatie: Daca se aplica aceasta relatie, iar indicii cu baza in lant sunt exprimati in procente este necesar sa se imparta produsul indicilor la 100^n-1, n reprezentand numarul indicilor cu baza in lant luati in calculul produsului.

De exemplu: , care este indicele cu baza fixa in anul 1998 fata de anul 1995.

raportul dintre doi indici cu baza fixa succesivi, este egal cu indicele cu baza in lant corespunzator.

(7.8)

Ø     Ritmul de crestere / descrestere (R) arata cu cate procente s-a modificat nivelul in perioada curenta fata de perioada considerata baza de comparatie, sau, ceea ce este acelasi lucru, cat la suta reprezinta modificarea absoluta fata de baza de comparatie.

In functie de alegerea bazei de comparatie si de modul de calcul a modificarilor absolute, se determina:

ritmul cu baza fixa (R_t/1)

(7.9)

ritmul cu baza in lant (mobila, glisanta, R_t/t-1)

(7.10)

Ritmul de crestere/descrestere se calculeaza mai simplu pornind de la indicele corespunzator. In cazul indicelui exprimat procentual, baza de comparatie este egala cu 100. Deci, daca din indice se scade 100 (baza de comparatie) se obtine ritmul de crestere sau descrestere:

si

Observatie: Ritmul de crestere/descrestere se foloseste frecvent in comparatii teritoriale. De exemplu, se compara R_PIB din Romania      cu R_PIB din Germania. Astfel de comparatii pot conduce la concluzii neconcordante cu realitatea daca nu se indica nivelul absolut din perioada considerata baza de comparatie sau modificarea absoluta care revine la 1% din modificarea relativa.

Ø     Valoarea absoluta a unui procent din ritmul de crestere / descrestere (A) exprima care este echivalentul absolut al unui procent din ritmul de crestere / descrestere.

Se calculeaza ca un raport dintre modificarea absoluta (Δ) si modificarea relativa (R):

cu baza fixa

(7.11)

- cu baza in lant (mobila, glisanta)

(7.12)

Valoarea absoluta a unui procent din ritmul de crestere / descrestere reprezinta a suta parte din baza de comparatie. Acest lucru devine evident daca se dezvolta relatiile (7.11) si (7.12) :

respectiv

In cazul exemplului din tabelul nr. 7.2, la un procent din oricare ritm de crestere cu baza fixa (8,0%; 20,0%;; 48,0%) revine o crestere absoluta egala cu 0,5 miliarde lei.

c) Indicatorii medii ofera informatii sintetice care se refera la intreaga serie cronologica: nivelul mediu; modificarea medie absoluta; indicele mediu de crestere / descretere; ritmul mediu de crestere / descrestere.

Ø     Nivelul mediu se determina ca o medie aritmetica simpla a termenilor seriei:

unde (7.13)

Pentru seria prezentata in tabelul nr. 7.2, milioane lei.

Nivelul mediu se recomanda a fi utilizata numai in cazul seriilor cronologice aproximativ stationare, deci cand termenii seriei formeaza un sir omogen.

Ø     Modificarea medie absoluta sintetizeaza modificarile absolute cu baza in lant si se calculeaza ca o medie aritmetica simpla a acestor modificari.

(7.14)

unde n reprezinta numarul modificarilor absolute cu baza in lant.

miliarde lei.

Modificarea mediei absolute poate caracteriza o serie cronologica numai daca modificarile cu baza in lant sunt aproximativ egale, deci daca evolutia poate fi apreciata drept liniara.

Ø     Indicele mediu de crestere sau descrestere se determina ca o medie geometrica a indicilor cu baza in lant.

(7.15)

unde, n reprezinta  numarul indicilor cu baza in lant.

Indicele mediu arata de cate ori s-a modificat, in medie, fiecare termen fata de termenul precedent sau cat la suta reprezinta in medie fiecare nivel fata de cel precedent.

In cazul seriei prezentata in tabelul nr. 7.3 indicele mediu de crestere sau descrestere este:

sau .

Deci, cifra de afaceri a fost, in medie, in fiecare an fata de anul precedent de 1,068 ori mai mare sau a reprezentat in medie 106,8% in fiecare an comparativ cu anul anterior.

Indicele mediu sintetizeaza corect modificarile relative cu baza in lant daca indicii cu baza mobila sunt aproximativ egali.

Ø     Ritmul mediu de crestere/descrestere masoara cu cate procente s-a modificat fiecare termen fata de termenul precedent. Se determina pornind de la relatia existenta intre indice si ritmul de crestere sau descrestere.

(7.16)

Observatie: Din cadrul indicatorilor medii mentionati, numai nivelul mediu sintetizeaza valorile individuale. In cazul celorlalti indicatori medii rezultatul calculului depinde doar de valoarea primului si al ultimului termen. Aceasta situatie poate conduce la concluzii neconforme cu realitatea.

Pelucrarea seriilor cronologice de momente prezinta cateva particularitati fata de seriile de perioade.

Asa cum s-a mentionat, lungimea intervalelor de timp care separa momentele pot fi egale sau neegale.

Daca intervalele care despart momentele sunt egale, prelucrarea seriei se realizeaza prin calcularea indicatorilor absoluti, relativi si medii, cu deosebirea ca nivelul mediu se calculeaza nu prin media aritmetica simpla ci prin media cronologica simpla.

In cazul unei serii de momente cu intervale inegale, singurul indicator care se calculeaza este nivelul mediu, prin media cronologica ponderata.

Media cronologica simpla este o forma transformata a mediei aritmetice simple. Se aplica cand momentele la care se refera termenii seriei sunt echidistante (t₁ = t₂ = = t_n).

Fig. 7.2

O serie cronologica formata din n termeni are n-1 intervale, fiecare interval fiind delimitat de doi termeni.

La media cronologica se ajunge astfel:

- se transforma seria de momente intr-o serie de intervale prin calcularea mediilor aritmetice simple partiale din cate doi termeni succesivi de momente.

Pornind de la figura nr. 7.2, mediile partiale sunt:

Fiecare medie partiala se refera la o perioada t, deci termenii seriei sunt insumabili;

- se calculeaza media generala din mediile partiale:

Dupa efectuarea simplificarilor se obtine media cronologica simpla .

(7.17)

Calculul mediei cronologice simple se exemplifica pe baza datelor din tabelul nr. 7.3.

Tabelul nr. 7.3

Datele privind nivelul stocului se refera la un moment dat si ca urmare nu pot fi insumate direct. Aceste date s-ar putea insuma daca s-ar cunoaste stocul existent in fiecare luna (media partiala). Stocul mediu existent in primul semestru 2003 se determina prin media cronologica simpla.

milioane lei.

Media cronologica ponderata se utilizeaza la calculul nivelului mediu daca momentele de timp pentru care s-au inregistrat valorile variabilei sunt despartite prin intervale neegale (vezi figura nr. 7.3).

Figura nr. 7.3

Calculul mediei cronologice ponderate se bazeaza pe ipoteza ca modificarea termenilor intre momente se realizeaza uniform de la un moment la altul. Aceasta inseamna ca fiecare termen va intra in calculul mediei cu o importanta egala cu jumatate din lungimea intervalelor alaturate lui. Deci frecventele sunt reprezentate de distantele intre termenii seriei.

Media cronologica ponderata se calculeaza folosind relatia:

(7.17)

Ajustarea seriilor cronologice

Evolutia unei variabile in timp, descrisa printr-o serie cronologica, este efectul influentei unor factori esentiali (sistematici) si neesentiali (intamplatori). Actiunea acestor factori imprima evolutiei o anumita regularitate dar si abateri de la ceea ce este normal.

Analiza oricarei serii cronologice presupune identificarea componentelor generate de influenta diferitelor grupe de factori.

Teoretic, o serie cronologica poate fi descompusa in urmatoarele patru componente:

trendul sau tendinta generala (fundamentala);

senzonalitatea;

ciclicitatea;

variatia reziduala (aleatoare).

Trendul (T_t) se manifesta sub forma unei miscari (cresteri sau descresteri) regulate cu caracter de continuitate a fenomenului. Ca regula, trendul poate fi sesizat daca seria cronologica se refera la o perioada de timp suficient de mare. Trendul sau tendinta reflecta directia de evolutie si este efectul influentei factorilor sistematici. Astfel de factori ar putea fi in cazul seriilor cronologice construite pe diferite variabile macroeconomice, volumul investitiilor, dimensiunea si calitatea fortei de munca, nivelul tehnologiei etc.

Senzonalitatea (S_t) se manifesta sub forma variatiilor periodice, relativ regulate in cadrul seriilor cronologice a caror termen se refera la perioade mai scurte decat un an, de regula luni sau trimestre. Aceste oscilatii in jurul trendului se datoreaza unor factori ca: clima, obiceiuri, iregularitati ale calendarului; conditii de productie etc.

Ciclicitatea (C_t) se prezinta sub forma unor oscilatii multianuale in jurul tendintei. Periodicitatea acestor variatii este cuprinsa, de regula intre 3 si 12 ani. Aceasta componenta este efectul unor factori conjuncturali si psihologici. Evidentierea variatiilor ciclice in vederea eliminarii lor este diferita, motiv pentru care se studiaza impreuna cu trendul.

Variatia reziduala (aleatoare) R_t sintetizeaza variatiile termenilor seriilor cronologice provocate de factori neprevizibili cu o actiune neregulata. Astfel de factori pot fi: greve, catastrofe naturale.

Corespunzatori componentelor mentionate, termenii empirici ai unei serii cronologice pot fi priviti drept o functie a acestor influente.

(7.19)

Referitor la reunirea componentelor unei serii cronologice (innodarea componentelor sau compunerea componentelor) exista doua modele statistice: modelul aditiv si modelul multiplicativ.

Modelul aditiv de compunere presupune insumarea componentelor, ceea ce inseamna ca grupurile de factori influenteaza independent. Pentru acest model se opteaza cand variatiile sezoniere (sezonalitate) nu este dependenta de trend. Aceasta inseamna ca in conditiile unei tendinte de crestere sau de scadere, valorile sezoniere sunt egale la aceleasi momente de timp.

Figura nr. 7.4

respectiv

In acest caz modelul se prezinta astfel:

(7.20)

In realitate, variatiile sezoniere nu sunt de aceiasi amploare la aceleasi momente de timp. De regula, se comporta proportional cu valorile trendului.

Modelul multiplicativ se plica daca amploarea oscilatiilor sezoniere este valabila la aceleasi momente de timp. De exemplu,    in cazul unui trend descrescator, intre valorile variatiilor sezoniere exista inegalitatea:

Figura nr. 7.5

Acest model de compunere porneste de la ipoteza ca intre grupurile de factori exista o interactiune.

(7.21)

Prin anliza seriilor cronologice se urmareste, asa cum s-a mentionat, cunoasterea regularitatilor manifestate, care sunt expresia actiunii factorilor sistematici, esentiali.

Aceasta inseamna sa se separe axtiunea factorilor sistematici care imprima tendinta de evolutie, de influenta factorilor intamplatori ce provoaca abateri de la ceea ce este normal, de la trend.

Operatiunea prin care din termeni empirici ai unei serii cronologice (y_t) se elimina influenta factorilor intamplatori poarta denumirea de ajustare a seriilor cronologice.

Ajustarea seriilor cronologice presupune deci inlocuirea termenilor empirici (y_t) cu termeni teoretici (calculati) care exprima tendinta de evolutie a fenomenului studiat .

In vederea ajusatrii seriilor cronologice se utilizeaza, in special, urmatoarele metode:

metoda grafica;

metoda mediilor mobile;

metoda modificarii medii

metoda indicelui mediu;

metode analitice.

Metoda grafica consta in reprezentarea grafica a seriei cronologice (y_t) prin cronograma si trasarea vizuala a unei drepte sau curbe care uneste punctele extreme, astfel incat aceasta sa se apropie cat mai mult de valorile empirice (vezi figura nr. 7.6)

Aceasta metoda ofera informatii orientative utile pentru alegerea functiei analitice care este in masura sa descrie tendinta de evolutie. Ajustarea grafica se exemplifica pornind de la datele din tabelul nr. 7.2.

Figura nr. 7.6

Semnul conventional ≈ din figura nr. 7.6 semnifica o intrerupere al suportului scarii OY. Aceasta inseamna, in cazul graficului, ca s-a renuntat la marcarea valorilor empirice mai mici de 50. De regula, se recomanda o intrerupere daca valoarea empirica cea mai mica se indeparteaza semnificativ de originea axei OY.

Metoda mediilor mobile (glisante) se recomanda pentru determinarea valorilor trendului (pentru ajustare) daca seria valorilor empirice prezinta variatii alternative. Prin calcularea mediilor mobile se provoaca netezirea acestor variatii, iar tendinta de evolutie poate fi sesizata mai usor. Netezirea variatiei este cu atat mai pronuntata cu cat numarul termenilor empirici din care se calculeaza mediile mobile este mai mare.

Mediile mobile sunt medii aritmetice calculate dintr-un numar prestabilit de termeni. Fiecare medie mobila (alunecatoare) se deosebeste de cea precedenta prin faptul ca exclude primul termen din care s-a calculat si include in calcul termenul urmator al seriei valorilor empirice.

Ajustarea seriei presupune inlocuirea termenilor empirici (y_t) cu termeni teoretici . Fiecare medie mobila va inlocui termenul central din care s-a calculat media, daca numarul termenilor din care se determina media este impar .

Tabelul nr. 7.4

Daca mediile se calculeaza din 3 termeni (m = 3) se obtine:

samd.

In cazul ajustarii prin aceasta metoda, cand mediile se calculeaza dintr-un numar par de termeni (m = 2k+1), se parcurg doua etape:

se calculeaza medii mobile. Fiecare medie se va plasa intre cei doi termeni central din care s-a calculat. De exemplu, prima medie calculata din patru termeni se va plasa intre termenul al 3-lea si al    4-lea. Din acest considerent se numesc si medii mobile provizorii;

se calculeaza medii mobile definitive din cate doua medii mobile provizorii; se centreaza mediile provizorii:

Mediile mobile definitive calculate reprezinta valorile ajustate.

Numarul termenilor din care se calculeaza pornind de la lungimea unui ciclu de variatie: De exemplu, in cazul unei serii privind consumul lunar de bere in ultimii 5 ani se remarca valori foarte mari in luna iulie si august. In acest caz se vor calcula medii mobile din 12 termeni. Daca o serie este formata din date trimestriale se vor calcula medii mobile din cate patru termeni.

Numarul mediilor mobile calculate este mai mare decat numarul termenilor empirici, ceea ce inseamna ca seria mediilor mobile care defineste trendul este mai scurta decat seria termenilor empirici.      Cu cat numarul termenilor din care se calculeaza mediile mobile este mai mare, cu atat numarul termenilor empirici care nu au o valoare teoretica corespondenta este mai mare.

Observatie: Ajustarea prin metoda mediilor mobile presupune pe langa oscilatii sezoniere si o serie formata dintr-un numar mare de termeni.

Metoda modificarii medii absolute se aplica atunci cand termenii seriei (y_t) tind sa formeze o progresie aritmetica, respectiv cand modificarile absolute au bazele in lant apropiate ca valoare. Aceasta inseamna ca valorile variabilei se modifica relativ uniform, iar cronograma poate fi aproximata printr-o dreapta.

Expresia prin intermediul careia se determina valorile ajustate se bazeaza pe relatia dintre ultimul termen, modificarile absolute si primul termen:

Daca modificarile absolute cu baza in lant sunt aproximativ egale, fiecare este aproape egala cu modificarea absoluta medie . Deci, valorile ajustate rezulta din expresia:

(7.22)

Revenind la datele din tabelul nr. 7.2 privind evolutia cifrei de afaceri rezulta:

miliarde lei

Valorile ajustate determinate prin metoda modificarii medii absolute sunt:

.

.

Observatie: Daca valorile empirice care compun seria si se opteaza pentru metoda modificarii medii absolute termenul notat in relatia (7.22) cu y₁ nu trebuie sa fie obligatoriu prima valoare empirica. Aceasta poate fi oricare termen empiric cu conditia sa se inscrie in tendinta de evolutie, deci sa fie un termen reprezentativ. Daca se procedeaza astfel, lui t i se va da valoarea 1 corespunzator termenului ales drept y₁. Spre primul termen t ia valorile -2, -3, -4 etc iar spre ultimul termen al seriei +2, +3, etc.

Metoda indicelui mediu de crestere/descrestere se recomanda pentru determinarea valorilor ajustate daca termenii empirici tind sa formeze o progresie geometrica. O serie cronologica tinde spre o progresie geometrica daca indicii cu baza in lant sunt aproximativ egali, respectiv cand cronograma seamana cu graficul functiei exponentiale. Daca este indeplinita aceasta conditie atunci se poate scrie:

Deci, valorile ajustate se calculeaza prin relatia:

(7.23)

Ca si in cazul ajustarii prin metoda modificarii medii absolute y₁ poate fi oricare termen empiric, care indeplineste conditia de reprezentativitate.

Exemplificarea acestei metode se face tot pe baza datelor din tabelul nr. 7.2.

sau

Valorile ajustate sunt:

.

.

Metoda modificarii medii absolute si metoda indicelui mediu au avantajul usurintei aplicarii, dar au neajunsul ca valorile ajustate depind exclusiv de primul termen. La aceasta se adauga si faptul ca de cele mai multe ori modificarile absolute si cele relative cu baza in lant nu sunt omogene.

Metodele analitice de ajustare a unei serii cronologice presupun identificarea unei functii care exprima tendinta de evolutie si calcularea valorilor acesteia, respectiv a valorilor teoretice sau ajustate .

Alegerea functiei care se potriveste cel mai bine trendului de evolutie se poate face pe baza urmatoarelor criterii:

criteriul reprezentarii grafice;

criteriul modificarilor absolute si relative cu baza in lant;

criteriul diferentelor.

Ø         Criteriul reprezentarii grafice presupune construirea cronogramei si interpretarea acestuia. Daca graficul sugereaza o crestere sau scadere absoluta uniforma se considera ca seria tinde sa se modifice liniar, deci drept functie de ajustare se alege ecuatia dreptei:

(7.24)

unde

valorile ajustate (teoretice)

parametrul care matematic arata nivelul la care ar fi ajuns variabila y, daca influenta tuturor factorilor ar fi fost constanta pe toata perioada analizata.

reprezinta parametrul care arata cu cat se modifica in medie variabila analizata in conditiile modificarii cu o unitate a factorului timp. b > 0 inseamna o tendinta de crestere, iar b < 0 - o tendinta de descrestere. b = 0 semnifica faptul ca fenomenul a fost stationar.

reprezinta valorile variabilei timp.

Daca cronograma sugereaza amplificarea cresterii sau descresterii, termenii seriei tind sa formeze o progresie geometrica. In acest caz se va opta pentru functia exponentiala.

(7.25)

Daca cronograma reprezinta o curba crescatoare respectiv descrescatoare catre un punct maxim, respectiv minim, atunci se considera ca fenomenul analiza se modifica in timp sub forma unei parabole de gradul doi.

(7.26)

Ø         Criteriul modificarilor absolute si / sau relative cu baza in lant presupune calcularea modificarilor absolute cu baza in lant si a indicilor de crestere / descrestere cu baza in lant .

Daca sun aproximativ egale se alege functia liniara iar daca sunt relativ egale se opteaza pentru o functie exponentiala.

Ø         Criteriul diferentelor consta in calcularea diferentelor absolute (in modul) cu baza in lant de diferite ordine :

diferentele de ordinul unu :

(7.27)

diferentele de ordinul doi :

(7.28)

diferentele de ordinul 'i' :

(7.29)

Diferentele absolute cu baza in lant de diferite ordine se interpreteaza astfel:

- daca sunt egale, seria cronologica se ajusteaza folosind functia liniara;

- daca sunt constante, se considera ca tendinta poate fi descrisa pe baza parabolei de gradul 2;

- daca sunt constante se opteaza pentru parabola de gradul 3, s.a.md.

Dupa alegerea functiei de ajustare dupa una din metodele mentionate urmeaza estimarea parametrilor acesteia si calcularea valorilor teoretice .

Pentru estimarea parametrilor functiei de ajustare se utilizeaza cel mai frecvent metoda celor mai mici patrate care isi propune minimizarea patratelor abaterilor valorilor empirice (y_t) de la valorile teoretice sau ajustate . Deci:

(7.30)

Daca se presupune un trend liniar, conditia de minim devine:

(7.31)

iar sitemul de ecuatii liniare este:

In cazul unei serii cronologice, deci in situatia sistemului (7.32), variabila timp reprezinta doar criteriul de sistematizare a datelor si nu factorul care conditioneaza valorile empirice, pentru a simplifica calculele se transforma seria cronologica pastrand conditia ca valorile variabilei timp sa formeze o progresie aritmetica cu ratia egala cu +1, dar se pune conditia suplimentara ca suma valorilor lui t sa fie egala cu zero .

Procedand astfel sistemul de ecuatii (7.32) devine:

(7.33)

de unde:

(7.34)

Pentru satisfacerea conditiei ca , valorile lui t se aleg pornind de la numarul termenilor seriei. Pot interveni doua situatii:

a) daca seria este formata dintr-un numar impar de termeni, originea ( t = 0) va corespunde termenului central. Spre primul  termen al seriei, t ia valorile -1, -2, -3 samd, iar spre ultimul termen +1, +2, +3 samd.

b) daca seria este alcatuita dintr-un numar par de termeni, in centrul seriei se afla doi termeni, caz in care corespunzator primului termen central t = -1, si +1 in cazul celui de-al doilea termen central. In continuare valorile lui t vor fi: -3, -5, -7 samd spre primul termen si +3, +5, +7 samd spre ultimul termen.

Ajustarea analitica se ilustreaza pornind de la datele din tabelul nr. 7.1

Tabelul nr. 7.5

Cronograma construita pentru aceasta serie cronologica sugereaza ca tendinta de evolutie poate fi estimata printr-o pereche liniara.

Seria este formata dintr-un numar impar de termeni, deci corespunzator termenului central t = 0.

Sistemul de ecuatii normale obtinut pe baza datelor din tabelul nr. 7.5 este:

de unde:

Inlocuind in ecuatia de ajustare a si b cu valorile de mai sus se obtine:

Valorile ajustate, respectiv termenii care definesc trendul, se obtin inlocuind in ecuatia de mai sus t cu valorile corespunzatoare:

.

.

Daca cronograma sau criteriul diferentelor sugereaza ca tendinta poate fi descrisa printr-o parabola de gradul doi:

atunci sistemul de ecuatii normale este:

(7.35)

Punand conditia , atunci sistemul devine:

(7.36)

Dupa calculul parametrilor a, b si c, valorile teoretice, ajustate se obtin prin inlocuirea lui t cu valorile corespunzatoare.

In situatia in care se foloseste functia exponentiala , pentru a putea aplica metoda celor mai mici patrate este necesara liniarizarea ecuatiei exponentiale.

(7.37)

Sistemul de ecuatii normale este:

Criterii de alegere a procedeelor de ajustare

Criteriile in functie de care se alege procedeul de ajustare nu sugereaza intotdeauna categoric care este procedeul care poate descrie cel mai bine tendinta de evolutie in timp al fenomenului studiat. In asemenea situatie se recomanda sa se ajusteze seria cronologica recurgand la mai multe procedee, urmand sa se opteze in final pentru unul in functie de urmatoarele criterii:

se compara suma valorilor empirice cu suma valorilor teoretice. Daca se verifica egalitatea , atunci se concluzioneaza ca estimarea parametrilor ecuatiei de regresie este corecta. Aceiasi concluzie se desprinde daca suma abaterilor valorilor empirice de la valorile teoretice este egala cu zero:

(7.39)

se determina suma abaterilor cu valoare absoluta dintre valorile empirice si valorile teoretice. Procedeul de ajustare prin care aceasta suma este minima, este considerat a fi cel mai bun :

(7.40)

se calculeaza coeficientul de variatie, determinat ca un raport dintre abaterea medie liniara a valorilor empirice de la cele teoretice si media valorilor empirice:

(7.41)

unde:

Procedeul de ajustare care conduce la cel mai mic coeficient de variatie descrie cel mai bine tendinta de evolutie:

- se calculeaza coeficientul de eroare a functiei de ajustare analitica (e).

(7.42)

unde

Cu cat coeficientul de eroare este mai mic cu atat variatia valorilor empirice in jurul functiei de ajustare este mai putin intensa, ceea ce inseamna ca functia aleasa este mai potrivita pentru determinarea tendintei.

Extrapolarea seriilor cronologice

Studiul evolutiei variabilelor (indicatorilor) in timp urmareste cunoasterea tendintei de manifestare intr-o perioada exp , in vederea fundamentarii acesteia in viitor.

Extrapolarea unei serii cronologice consta in extinderea trendului manifestat in trecut in afara orizontului de timp pentru care se dispune de date empirice, pornind de la ipoteza ca actiunea factorilor de influenta nu se modifica semnificativ in viitor.

Extrapolarea unei serii cronologice se realizeaza pe baza metodelor de ajustare mentionate.

Valorile extrapolate sunt afectate de erori generate de urmatoarele cauze: modificarea in viitor a factorilor de influenta; alegerii modelului de ajustare.

Pornind de la ipoteza ca nu se modifica influenta factorilor, valorile extrapolate se obtin prelungind doar valorile variabilei de timp in cadrul modelului de ajustare ales.

Ø         In cazul unui trend liniar, valorile extrapolate se determina pe baza relatiei:

(7.43)

unde

valori extrapolate;

termenul ales drept baza de ajustare;

valori extrapolate pentru variabila timp;

cresterea medie absoluta.

Valorile extrapolate pentru cifra de afaceri (vezi tabelul nr. 7.2) pentru 2002 si 2003 sunt:

miliarde lei

miliarde lei

Ø         Daca seria cronologica tinde sa formeze o progresie geometrica, extrapolarea se realizeaza pe baza metodei indicelui mediu:

(7.44)

* Extrapolarea prin intermediul metodelor analitice presupune ca parametrii functiei de ajustare se mentin nemodificati, iar la stabilirea valorilor extrapolate pentru t se mentine conditia: .

Valorile extrapolate se determina pe baza relatiilor:

- tendinta liniara;

- tendinta sub forma de parabola de gradul doi;

- tendinta exponentiala.

Observatie: Se recomanda ca orizontul de timp pentru care se extrapoleaza sa nu depaseasca jumatate din lungimea seriei analizate. Privitor la cat de lunga trebuie sa fie o serie cronologica pentru a putea vorbi de o tendinta de evolutie, se sustine frecvent ca seria sa fie formata din cel putin 12-15 termeni.

Cuvinte - cheie

* Serie cronologica - serie de timp - serie dinamica.

* Serie cronologica de perioade (intervale).

* Serie cronologica de momente.

* Indicator de nivel.

* Modificare absoluta.

* Indice de crestere / descrestere.

* Ratii de crestere / descrestere.

* Trend - tendinta.

* Nivelul mediu.

* Modificarea medie absoluta.

* Indicele mediu.

* Ritmuri medii.

* Sezonalitate.

* Variatie reziduala.

* Ajustarea unei serii cronologice.

* Ajustare (grafica, cu modificarea medie absoluta, cu indicele mediu de crestere / descrestere).

* Ajustare prin metoda mediilor mobile.

* Ajustare analitica.

* Functie de ajustare.

* Eroarea standard a functiei de ajustare.

* Coeficient de eroare a functiei de ajustare.

* Extrapolarea seriilor cronologice.

Intrebari de control

1. Ce reprezinta o serie cronologica?

2. Prin ce se deosebeste o serie cronologica de intervale de una de momente?

3. Cum se trece de la modificarea absoluta / relativa cu baza in lant la baza fixa si invers?

4. Cum se calculeaza nivelul mediu in cazul unei serii de intervale si in cazul unei serii de momente?

5. Ce componente pot fi identificate intr-o serie cronologica?

6. Cand se foloseste modelul aditiv de combinare a componentelor? Dar cel multiplicativ?

7. Ce intelegeti prin ajustarea unei serii cronologice?

8. Cand se foloseste metoda mediilor mobile?

9. Ce criterii se au in vedere la alegerea functiei de ajustare?

10. Cum se foloseste metoda diferentelor?

11. Cum se aleg valorile variabilei de timp in cazul seriilor cu un numar par de termeni?

12. Ce criterii se folosesc pentru aprecierea calitatii unei functii de ajustare?

13. In ce consta extrapolarea seriilor cronologice?

Bibliografie

1. Korka M., Begu S., Tusa E., - Bazele statisticii pentru economisti, Editura Tribuna Economica, Bucuresti 2002, p 142-167.

2. Voineagu V., Lilea E., Goschin Z., Vatui M., Boldeanu D., - Statistica economica. Teorie si practica, Editura Tribuna Economica, Bucuresti 2002, p 266-299.

3. Baron T., Biji E., Wagner P., Lilea E., s.a. - Statistica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1999, p