Indicii statistici

INDICII STATISTICI

Introducere

Indicii statistici reprezinta un instrument de cunoastere folosit nu numai de specialisti dar si de amatori in ale statisticii cu cea mai larga utilizare. Patrunderea indicilor in folosinta cotidiana a omului modern se explica partial prin faptul ca informatia furnizata de un indice statistic este foarte concisa si usor de inteles. La aceasta se adauga si faptul ca exista impresia ca oricine se pricepe la calcule aritmetice stie si statistica.

Problematica construirii indicilor statistici este deosebit de complexa iar posibilitatile de cunoastere oferite sunt foarte diverse.

In prezentul capitol se trateaza problematica metodologica privind construirea indicilor, categoriile de indici si logica construirii acestora, folosirea indicilor in analiza influentei factorilor asupra variatiei unei variabile complexe, particularizarea relatiilor generale pentru indicele valorii, indicele volumului fizic, indicele preturilor.

Definire. Tipuri de indici

Pentru descrierea si caracterizarea fenomenelor, statisticianul se foloseste frecvent de marimi relative care sunt forma uzuala de exprimare a indicatorilor si o importanta baza pentru fundamentarea deciziilor economice si politice. Utilizarea frecventa a indicilor in caracterizarea fenomenelor social - economice este expresia faptului ca reflecta modificarile intervenite si permite masurarea influentei factorilor care au generat miscarea.

Indicii sunt marimi relative de dinamica sau de coordonare prin parametrul carora se masoara modificarea relativa in timp sau in spatiu a unei caracteristici observate pe o unitate statistica, pe un grup de unitati sau pe intreaga colectivitate studiata. Mai simplu, indicele este un raport dintre doua niveluri ale aceleiasi caracteristici inregistrate pentru doua unitati de timp sau de spatiu.

Indicele se confunda cu marimile relative de dinamica sau de coordonare doar daca caracteristica s-a inregistrat pentru o singura unitate statistica (intreprindere, persoana). In acest caz, caracteristica apare in numaratorul raportului cu nivelul analizat si in numitorul raportului cu nivelul in perioada considerata baza de comparatie. Daca valorile caracteristicii se refera la mai multe unitati, construirea indicilor ridica o serie de probleme metodologice (vezi 8.3). In asemenea caz, indicii pot fi utilizati ca metoda de analiza factoriala prin care se masoara influenta factorilor asupra variabilei complexe studiate.

Indicii statistici ofera deci urmatoarele posibilitati de cunoastere:

a) exprima nivelul relativ a unei variabile (Y) si arata cat reprezinta nivelul analizat fata de cel de referinta;

b) servesc ca mijloc de analiza factoriala prin care se explica variatia unei variabile (Y) in functie de modificarile intervenite in variabile considerate factori de influenta (X si F, de exemplu). Folosirea indicilor in acest scop presupune ca variabila Y sa rezulte din produsul factorilor, cel putin unul cantitativ (F) si unul calitativ (X).

Aceasta inseamna ca la nivelul fiecarei unitati la care se inregistreaza variabilele trebuie sa existe relatia: .

In teoria si in practica statistica se opereaza cu o mare diversitate de indici. Principalele criterii de clasificare sunt:

Ø     Dupa natura variatiei exprimate:

indici de dinamica sau simpli indici, cand se compara nivelul actual (notat cu 1) cu nivelul considerat baza de comparatie (notat cu 0);

indici teritoriali - se compara nivelul aceleiasi variabile inregistrat pentru doua unitati teritoriale.

Ø     Dupa sfera de cuprindere:

indici individuali (i), cand nivelul caracteristicii se refera la un singur element al colectivitatii. Corespunzator celor trei variabile mentionate mai sus, se pot calcula trei indici elementari: 626b13g

(8.1)

Pornind de la relatia , inseamna ca exista relatia:

(8.2)

La nivelul unei grupe sau pe ansamblul colectivitatii se pot calcula, pentru o caracteristica, atatia indici individuali din cate unitati este formata grupa sau colectivitatea.

indici de grup (I), cand in comparatie se implica nivelul caracteristicii aferent tuturor unitatilor. Acesti indici sintetizeaza variatia medie a caracteristicii studiate.

Corespunzator celor trei variabile mentionate se poate calcula cate un indice de grup: .

Daca intre variabile exista relatia , iar indicii au fost construiti cu respectarea anumitor reguli (vezi 8.3) exista relatia:

(8.3)

Indicii de grup se diferentiaza ca modalitate de calcul in functie de natura grupei sau a colectivitatii studiate.

Daca colectivitatea este eterogena, deci cand valorile factorului cantitativ nu pot fi insumate, indicii de grup se calculeaza ca:

indici agregati, care presupun, in vederea obtinerii nivelului totalizator al caracteristicii, daca valorile individuale nu sunt insumabile direct, pentru toate unitatile (agregare), folosirea unor coeficienti care sa permita agregarea, insumarea valorilor individuale. De exemplu, indicele cantitatilor de bunuri de consum cumparate de o familie in luna octombrie 2003 fata de aceiasi luna din 2002, bunuri de consum diferite (paine, incaltaminte etc) nu pot fi insumate direct. Elementul care permite insumarea este pretul unitar ;

indici de grup calculati ca o medie a indicilor individuali. Daca colectivitatea este omogena, indicii de grup se pot calcula ca raport a doua medii aritmetice.

Ø     Dupa sisemul de ponderare utilizat la construirea indicilor de grup, se disting: 

indici cu pondere constanta (vezi indicii de tip Laspeyres);

indici cu ponderi variabile (vezi indicii de tip Paasche);

indici cu pondere ideala (vezi indicii de tip Fisher).

Ø        Dupa baza de comparatie, indicii de grup pot fi:

cu baza fixa, cand nivelul fiecarei perioade se compara cu nivelul unei singure baze;

cu baza in lant, atunci cand compararea se realizeaza intre doua niveluri succesive.

Alegerea uneia sau alteia din modalitatile de construire a indicilor de grup depinde de obiectivul cunoasterii, de datele disponibile, de posibilitatea trecerii de la modificarea relativa la modificarea absoluta , de natura unitatilor care compun colectivitatea studiata.

Probleme metodologice privind construirea indicilor de grup

Pe cat de clare si expresive sunt informatiile furnizate de indice, pe atat de complexa este problema construirii indicilor de grup.

Problemele metodologice cele mai importante care se cer a fi solutionate la construirea indicilor de grup se refera la: alegerea bazei de comparatie, alegerea formulei de calcul, alegerea ponderilor.

Baza de comparatie trebuie sa fie un nivel al caracteristicii in raport cu care are sens sa se determine modificarea relativa. Aceasta inseamna sa fie un nivel care se inscrie in tendinta de evolutie, deci sa fie un nivel normal, nu unul care se abate semnificativ de la restul valorilor.

In practica statistica se aleg frecvent drept baza de comparatie perioada precedenta (luna, trimestrul etc), aceiasi perioada din anul anterior (luna, trimestrul, semestrul).

Formula de calcul se alege pornind de la datele disponibile si de la natura unitatilor care compun colectivitatea studiata. In functie de aceste criterii, indicii de grup se calculeaza ca indici agregati, ca o medie a indicilor individuali, ca raport a doua medii arimetice (vezi 8.4; 8.5 si 8.6).

Sistemul de ponderare a fost si continua sa fie aspectul care face obiectul dezbaterilor in domeniul teoriei statistice.

Ce este ponderea in cazul indicilor de grup?

Un indice de grup sintetizeaza modificarea relativa a caracteristicii la nivelul tuturor unitatilor colectivitatii. Aceasta presupune determinarea nivelului totalizator al caracteristicii pentru care se calculeaza indicele pentru cele doua perioade implicate in comparatie.

Asa cum s-a mentionat, intre valorile variabilei complexe si factorii de influenta ( si ) exista, la nivelul fiecarei unitati, relatia: . O relatie similara trebuie sa existe la nivelul colectivitatii: unde unitati.

Indicele variabilei complexe este:

(8.4)

Relatia [9.4] exprima variatia lui y in functie de modificarile intervenite in factorul cantitativ (f) de la la si in factorul calitativ (x) de la la .

Factorul cantitativ este reprezentat de unitatile de observare (intreprinderea, cantitatile produse sau vandute, salariul etc).

Factorul calitativ reprezinta atributele unitatilor (cifra de afaceri a inteprinderii, pretul produsului, salariul muncitorului etc).

Daca se pune problema construirii si calcularii indicelui de grup pentru factorul cantitativ si / sau pentru factorul calitativ , trebuie examinat daca datele individuale inregistrate sunt insumabile. Daca nu sunt insumabile direct, trebuie gasit un element care permite insumarea (agregarea), denumit pondere.

Ponderea exprima importanta cu care intra in calculul indicilor valorile celuilalt factor.

In cazul indicelui construit pentru factorul cantitativ, problema se rezolva simplu daca datele individuale sunt insumabile (numar de salariati, produse de acelasi fel etc)

(8.5)

Daca valorile nu sunt insumabile direct, factorul calitativ are rolul de pondere si figureaza in numaratorul raportului cu aceiasi valoare. Indicele de grup este un indice agregat.

Valorile factorului calitativ nu sunt insumabile direct. Indicele construit pentru astfel de variabila foloseste drept pondere factorul calitativ, si se prezinta tot ca un indice agregat.

Teoretic, factorul care joaca rolul de pondere poate figura in numaratorul si in numitorul indicelui cu nivelul actual (1) sau cu cel din perioada considerata baza de comparatie (0).

In decursul timpului s-au propus diferite sisteme de ponderare:

a) Sistemul de ponderare propus de Laspeyres in 1864, presupune ca la construirea indicelui de grup al unui factor, ponderile sa figureze cu nivelul din perioada de baza.

Pornind de la relatia (8.4), si vor fi:

si (8.6)

Folosind aceiasi pondere la construirea celor doi indici factoriali, nu se verifica relatia de sistem :

respectiv

(8.7)

Indicii de grup de tip Laspeyres calculati pe baza termenilor unei serii cronologice, sunt indici cu baza fixa si ponderi constante, comparabile.

b) Sistemul de ponderare propus de Paasche (1874) presupune utilizarea ponderilor cu nivelul din perioada curenta. Indicii celor doi factori (variabile factoriale se prezinta astfel:

si (8.8)

Nici in acest caz produsul indicilor factorilor nu este egal cu indicele variabilei complexe:

respectiv (8.9)

Raspunsul la intrebarea « Care din cele doua tipuri de indici masoara mai corect variatia intervenita in variabila 'x' sau 'f '? » este greu de dat. Aceasta datorita faptului ca oricare are avantaje dar si dezavantaje in raport cu celalalt tip.

In practica statistica se prefera de cele mai multe ori indicele de tip Laspeyres, optiune determinata de faptul ca determinarea lui reclama numai cunoasterea nivelului din perioada curenta pentru caracteristica pentru care se calculeaza (x₁ sau f₁).

c) Sistemul de ponderare propus de Fisher porneste de la unele limite ale indicilor de tip Laspeyres (invechirea ponderii) si Paasche (nu conduce la o serie de indici comparabili) si de la faptul ca nici unul nu satisface cerinta de sistem: .

El propune ca indicele variabilei calitative (X) si a variabilei cantitative (F) sa se calculeze ca o medie geometrica a indicelui de tip Laspeyres si de tip Paasche:

(8.10)

si

(8.11)

Indicele Fisher satisface cerinta de sistem si valorile lui se incadreaza in intervalul de variatie a valorilor indicelui Laspeyres si Paasche.

In practica statistica acest indice nu sintetizeaza in mod curent, in principal datorita informatiilor reclamate - presupune cunoasterea valorilor actuale pentru x₁ si f₁.

Desigur, indicii calculati dupa cele trei variante de ponderare nu conduc la aceleasi rezultate datorita ponderilor diferite utilizate.

In decursul timpului s-au propus si alte modalitati de alegere a ponderilor in vederea construirii indicilor de grup.

Indicii de grup, calcularea carora se bazeaza pe suma produselor factorilor (x_i si f_i) poarta denumirea de indici agregati (vezi relatiile 8.6 - 8.8).

Particularizam aceste relatii generale de calcul a indicilor de grup pentru indicele valorii , pentru indicele volumului fizic i pentru indicele preturilor .

Indicele valorii masoara variatia valorii productiei, desfacerilor, exporturilor etc. Daca se calculeaza pentru o singura unitate (produs, marfa etc) se determina indicele individual .

(8.12)

iar daca se determina pentru un grup de unitati, se calculeaza indicele de grup .

(8.13)

Indicele valorii masoara variatia relativa a valorii sub influenta modifcarilor intervenite in volumul fizic (q), care este factorul cantitativ si in nivelul pretului (p) care este factorul calitativ.

Daca intereseaza modificarea absoluta a valorii , se face diferenta dintre numaratorul si numitorul indicelui.

(8.14)

Indicele volumului fizic masoara variatia relativa a cantitatilor (q).

. indicele individual:

. indicele de grup este un indice de tip Laspeyres, deci preturile se folosesc ca ponderi cu nivelul din perioada de baza .

(8.15)

Numaratorul raportului reprezinta o valoare ipotetica - cat ar fi fost valoarea in perioada curenta daca nu s-ar fi modificat preturile.

Modificarea absoluta a valorii numai datorita modificarilor intervenite in volumul fizic , se calculeaza ca diferenta dintre numaratorul si numitorul indicelui:

(8.16)

Indicele preturilor masoara variatia relativa a preturilor (p).

indicele individual  ;

indicele de grup se construieste ca regula, aplicand sistemul de ponderare propus de Paasche.

(8.17)

Modificarea absoluta a valorii numai pe seama variatiei preturilor este:

(8.18)

Observatie: Indicele volumului fizic se calculeaza intotdeauna ca un indice de tip Laspeyres. Daca si trebuie sa constituie un sistem , atunci indicele preturilor trebuie sa fie un indice de tip Paasche [8.17]. Daca indicele preturilor se calculeaza ca un indice independent, acesta poate fi construit si dupa regula propusa de Laspeyres (vezi indicele preturilor de consum).

In practica statistica se calculeaza, pe baza datelor inregistrate, indicele valorii si indicele volumului fizic. Indicele preturilor nu se calculeaza explicit ci ca un raport dintre indicele valorii si indicele volumului fizic de tip Laspeyres .

Indici de grup calculati ca o medie a indicilor individuali

Determinarea indicilor agregati de tip Laspeyres sau de tip Paasche presupune cunoasterea unor agregate ipotetice , pentru care, de regula, nu se dispune de date pentru fiecare element (unitate).

Asa cum s-a mentionat, statistica apeleaza, in vederea determinarii diferitilor indicatori, la toate datele disponibile care raspund scopului cunoasterii. De cele mai multe ori se cunoaste nivelul variabilei complexe pentru cele doua perioade .

Din diferite inregistrari special organizate (anchete statistice) se obtin date (valori) pentru factorul cantitativ din cele doua perioade (f₀ si f₁). Pe baza acestor valori se calculeaza indicele individuali i^f pentru fiecare element.

Indicele de grup este o medie a indicilor individuali. Forma mediei se alege in functie de datele disponibile.

* In cazul indicelui de grup al factorului cantitativ, forma agregata se transforma intr-un indice calculat ca o medie aritmetica a indicilor individuali.

Inlocuind in relatia indicelui agregat, f₁ cu expresia '' rezulta:

(8.19)

Particularizand aceasta relatie la indicele volumului fizic se obtine:

(8.20)

Ca regula, indicele de grup al factorului cantitativ se calculeaza ca o medie aritmetica a indicilor individuali, unde ponderea este reprezentata de structura pe elemente a valorilor variabilei complexe din perioada de baza .

Exemplificam calculul indicilor de grup ca o medie a indicilor individuali pe baza datelor privind volumul valoric al desfacerilor unui agent economic.

Tabelul nr. 8.1

Pentru fiecare marfa (element) se poate calcula cate un indice (individual) care masoara variatia relativa privind valoarea (i^v), volumul fizic (i^q) si preturile (i^p).

In cazul marfii, o obtinem:

Nu cunoastem cantitatile vandute in cele doua perioade. Dar modificarea procentuala este ritmul (R), care se obtine scazand 100 din indice:

se deduce din relatia de sistem: , deci

Pentru celelalte doua marfuri, indicii sunt prezentati in tabelul nr. 9.1, coloana 4 - 6.

Indicele de grup privind valoarea desfacerilor se calculeaza ca un indice agregat.

ceea ce inseamna ca valoarea desfacerilor a crescut cu 5% sau de 1,05 ori, respectiv cu 100 milioane lei, pe seama modificarii cantitatilor vandute si a preturilor.

milioane lei

In cazul indicelui agregat privind volumul fizic nu se cunoaste numaratorul (q₀ p₀) si, ca atare, se va aplica indicele mediei aritmetice.

Interpretare: Datorita cresterii numai a cantitatilor vandute, valoarea desfacerilor trebuie sa fie cu 0,5% mai mare decat in perioada de baza.

Cresterea absoluta a valorii desfacerilor pe seama acestui factor trebuie sa fie de 10 milioane lei.

milioane lei.

Daca intereseaza variatia preturilor marfurilor vandute de acest agent economic se determina indicele preturilor pornind de la relatia de sistem:

Interpretare: Preturile marfurilor vandute au fost in medie cu 4,5% mai mari decat in luna X 2002 sau valoarea desfacerilor trebuie sa creasca numai datorita cresterii preturilor cu 4,5%, respectiv cu 90 milioane lei.

milioane lei.

Ø         In cazul indicelui factorului calitativ, forma agregata se transforma intr-un indice calculat ca o medie armonica a indicilor individuali:

Daca se inlocuieste in relatia indicelui agregat cu expresia   rezulta:

(8.21)

Particularizarea acestei relatii la indicele preturilor conduce la:

(8.22)

Din relatiile (8.19) si (8.22) rezulta faptul ca indicele factorului cantitativ se calculeaza folosind drept pondere valoarea fenomenului complex din perioada de baza, iar indicele factorului calitativ se construieste pe baza valorilor variabilei complexe din perioada curenta. Se procedeaza astfel daca indicele preturilor se incadreaza intr-un sistem de genul .

Daca indicele preturilor se calculeaza ca un indice independent, deci fara incadrarea lui intr-un sistem de indici, acesta se determina dupa regula Laspeyres, deci ca o medie aritmetica a indicilor individuali:

(8.23)

Asa se procedeaza, de exemplu, in cazul indicelui preturilor de consum, care masoara variatia relativa a preturilor in ipoteza in care marfurile si serviciile de consum cumparate de populatie nu s-au modificat fata de perioada de baza.

Exemplificam calculul indicelui preturilor de consum pe baza datelor unui agent economic care comercializeaza doua marfuri.

Tabelul nr. 8.2

Pentru fiecare marfa in parte se poate analiza, pe baza indicilor individuali, modificarea relativa intervenita in volumul desfacerilor,         in preturile si in cantitatile vandute. Daca intereseaza modificarea relativa a preturilor la nivelul agentului economic se calculeaza indicele de grup.

Deci, preturile celor doua marfuri au crescut in medie de 1,089 ori sau cu 8,9%. Din sporul total al volumului vanzarilor de 90 milioane lei, 48,19 milioane lei este efectul cresteriipreturilor.

Indicii de grup calculati ca raport a doua medii

In practica se opereaza frecvent cu indicatori care au caracter de medie. Astfel de indicatori sunt de exemplu: salariul mediu, pretul mediu, rata medie de rentabilitate etc. Variatia relativa a unor astfel de indicatori se caracterizeaza prin intermediul indicilor calculati ca un raport a doua medii aritmetice.

Asa cum se cunoaste, nivelul mediei depinde de valorile individuale din care se calculeaza si de structura colectivitatii , respectiv de frecventa relativa cu care apar valorile .

Indicele calculat ca raport a doua medii evidentiaza variatia relativa in timp a mediei in perioada curenta fata de perioada de baza.

(8.24)

Un astfel de indice exprima variatia mediei sub influenta a doi factori:

modificarea factorului calitativ la nivelul fiecarei unitati inregistrate  ;

modificarea structurii colectivitatii .

Salariul mediu din economie , de exemplu, poate creste daca cresc salariile salariatiilor, dar si daca aceste salarii raman neschimbate insa creste proportia salariatilor care au avut salarii mai mari in perioada de baza.

Indicele raportului a doua medii in care toti factorii de influenta implicati sunt variabili, poarta denumirea de indice cu structura variabila .

Modificarea absoluta a mediei sub influenta tuturor factorilor care apar in relatia de calcul se obtine ca diferenta dintre numaratorul si numitorul indicelui.

(8.25)

Indicii de grup corespunzatori factorilor de influenta incadrati intr-un sistem se construiesc dupa doua reguli diferite:

Indicele factorului calitativ (x) este un indice de tip Paasche, deci ponderile sunt cele din perioada curenta.

(8.26)

Acest indice masoara care ar fi fost variatia relativa a mediei daca s-ar fi modificat numai valorile caracteristicii la nivelul unitatilor si structura colectivitatii ar fi fost cea din perioada curenta. Este indicele mediei cu structura fixa .

Variatia absoluta a mediei sub influenta factorului x, se determina dupa relatia:

(8.27)

Indicele factorului cantitativ se calculeaza ca indice de tip Laspeyres. Exprima care ar fi fost variatia relativa a mediei daca s-ar fi modificat numai structura colectivitatii (indicele variatiei structurii).

(8.28)

Modificarea absoluta a mediei datorata influentei factorului de structura se calculeaza prin relatia:

(8.29)

Intre indicii de grup, respectiv intre modificarile absolute corespunzatoare exista relatiile:

(8.30)

respectiv

(8.31)

Exemplificam posibilitatile de cunoastere oferite de indicii calculati ca raport a doua medii pe baza datelor pentru doi agenti economici din aceiasi ramura de activitate.

Tabelul nr. 8.3

Salariul mediu este raportul dintre fondul de salarii (FS) si numarul de salariati.

La nivelul fiecarui agent economic salariul mediu se obtine prin impartirea fondului de salarii la numarul salariatilor (i). Rezultatele sunt prezentate in tabelul nr. 8.3 col. 5 si 6.

La nivelul celor doi agenti economici, salariul mediu rezulta din expresia:

deoarece

milioane lei

milioane lei

Salariul mediu a crescut de 1,32 ori, respectiv cu 32,0%.

ori sau +32,0%

In marime absoluta, salariul mediu a sporit cu 1175 mii lei / salariat.

mii lei

Cresterea salariului mediu la nivelul celor doi agenti economici cu 32,0%, respectiv cu 1175 mii lei, se poate analiza in functie de modificarile intervenite in salariul mediu la nivelul fiecarui agent economic si in functie de mutatiile care au avut loc in structura salariatilor .

Indicele salariului mediu cu structura variabila:

ori

Indicele salariului mediu cu structura fixa:

ori sau 131,4%

Interpretare: Salariul mediu pe total ar fi sporit cu 314% daca s-ar fi modificat numai salariul mediu la nivelul fiecarui agent economic.

Modificarea absoluta determinata de influenta acestui factor este de +1158 mii lei.

mii lei

Indicele salariului mediu a variatiei structurii:

ori sau 100,5%

mii lei

Interpretare: Salariul mediu pe total trebuia sa scada cu 2,4% daca s-ar fi modificat numai structura salariatilor, iar salariile la nivelul fiecarui agent economic ar fi ramas la nivelul lunii X 2002.

Influenta pozitiva a variatiei structurii asupra salariului mediu se explica prin faptul ca a crescut importanta agentului B, de la 66,7% la 68,4%, in totalul salariatilor.

de la 66,7% in X 2002 la 68,4% in X 2003, agent economic la care salariul mediu este mai mare. Deci salariile mai mari intra cu o pondere mai mare in calculul mediei.

Descompunerea variatiei unei variabile complexe pe factori de influenta prin metoda indicilor

Masurarea influentei factorilor asupra modificarii unei variabile complexe reprezinta o functie de cunoastere importanta a indicilor. Astfel, daca vrem sa cunoastem influenta volumului fizic (q) si a preturilor (p) asupra variatiei valorii productiei (v) sau influenta numarului salariatilor (T) si a salariilor (S) asupra modificarii fondului de salarii (FS) sau influenta cantitatilor produse (q) si a costului unitar (c) asupra costului total (C), se poate recurge la metoda indicilor, ca instrument de separare si cuantificare a acestor influente. In fiecare din exemplele mentionate, variabila complexa este egala cu produsul factorilor de influenta.

Variatia variabilei complexe si influenta factorilor pot fi calculate si analizate in marimi relative si in marimi absolute. Descompunerea variatiei relative pe factori de influenta presupune descompunerea indicelui variabilei complexe in produsul indicilor factorilor. Aceasta descompunere este denumita descompunere geometrica.

Descompunerea variatiei in marimi absolute presupune separarea modificarii absolute a variabilei complexe in suma modificarilor absolute induse de factorii de influenta. Separarea pe factori a variatiei in marimi absolute este denumita descompunere aritmetica sau analitica.

Metodele cele mai folosite de descompunere a variatiei unei variabile complexe pe factori de influenta sunt:

metoda substitutiei in lant (MSL)

metoda influentelor izolate ale factorilor (MIIF) sau metoda restului nedescompus (MRN).

Metoda substitutiei in lant presupune o anumita succesiune in modificarea factorilor, si anume:

mai intai se modifica factorul cantitativ (se substituie cu ), toti ceilalti factori raman la nivelul din perioada de baza;

un factor odata substituit, se implica in determinarea influentei celorlalti factori cu nivelul din perioada curenta.

ultimul factor care se modifica (se substituie) este cel calitativ.

Presupunand ca factorii se substituie in lant, inseamna ca indicii factorilor se construiesc cu ponderi diferite, iar indicele variabilei complexe este egal cu produsul indicilor factorilor. Corespunzator, modificarea absoluta a variabilei complexe este egala cu suma modificarilor absolute determinate de factorii cuprinsi in analiza.

Daca intre valorile inregistrate pentru variabila complexa (y_i) si factorii de influenta (x_i si f_i) exista relatia y_i=x_if_i, influenta factorilor dupa procedeul subsituirii in lant se calculeaza conform relatiilor:

Influenta factorului cantitativ (f) asupra modificarii variabilei complexe (y_i):

(8.32)

Modificarea absoluta pe seama factorului cantitativ rezulta din relatia:

(8.33)

Influenta factorului calitativ (x):

(8.34)

Modificarea absoluta pe seama influentei factorului calitativ:

(8.35)

Construirea indicilor factorilor cu ponderi diferite se concretizeaza in faptul ca se verifica relatia de sistem:

(8.36)

respectiv

(8.37)

Pentru ilustrarea acestei metode pornim de la datele din tabelul nr. 8.3 si ne propunem sa calculam inluenta factorilor asupra modificarii fondului de salarii (FS) in X 2003 fata de X 2002.

Factorii de influenta care pot fi implicati in aceasta analiza sunt, conform datelor din tabelul nr. 8.3, numarul de salariati, (factorul calitativ, T_i) si salariul mediu .

Modificarea fondului de salarii:

ori sau 67,3%

Fondul de salarii a sporit cu 67,3%, ceea ce inseamna +74 milioane lei, in marime absoluta.

milioane lei

Influenta numarului salariatilor:

ori sau 127,3%

si

milioane lei

Daca ar fi crescut numai numarul salariatilor, fondul de salarii trebuia sa fie mai mare cu 27,3%, respectiv cu 30 milioane lei.

Influenta modificarii salariului mediu:

ori sau 131,4%

si

milioane lei

Cresterea salariului mediu a determinat sporirea salariului mediu cu 31,4%, ceea ce reprezinta in marime absoluta un spor de 44 milioane lei.

Metoda influentelor izolate ale factorilor (MIIF) sau metoda restului nedescompus (MRN) presupune ca fiecare factor actioneaza independent. Aceasta inseamna ca influenta fiecarui factor se calculeaza pornind de la presupunerea ca toti ceilalti factori raman la nivelul perioadei de baza.

Indicii factoriali si modificarile absolute antrenate de fiecare factor se calculeaza pornind de la regula propusa de Laspeyres.

Procedand astfel, produsul indicilor factoriali si, corespunzator, suma modificarilor absolute nu este egala cu modificarea totala a variabilei complexe. Ca atare, o parte din variatia variabilei complexe nu se atribuie factorilor, parte denumita rest nedescompus.

Aplicarea acestui procedeu presupune parcurgerea a doua etape:

in prima etapa se calculeaza influentele izolate ale factorilor. Se construiesc indici factoriali sau se determina modificarile absolute folosind aceiasi regula de alegere a ponderilor (Paasche);

in a doua etapa se repartizeaza modificarea variabilei complexe determinata de modificarea concomitenta a factorilor (rest nedescompus).

Utilizarea acestui procedeu presupune, in cazul in care se implica doi factori de influenta, determinarea a trei indici, respectiv a trei modificari absolute:

Influenta izolata a factorului cantitativ:

(8.39)

respectiv

(8.40)

Influenta izolata a factorului calitativ:

(8.41)

respectiv

(8.42)

Influenta modificarii concomitente a factorilor (restul nedescompus):

(8.43)

respectiv

(8.44)

Intre indicele variabilei complexe si indicii factoriali exista relatia:

(8.45)

iar intre modificarile absolute se verifica relatia:

(8.46)

Asa cum s-a mentionat, specific metodei indicilor este faptul ca variatia variabilei complexe se descompune in totalitate pe factorii de influenta implicati in analiza. In situatia a doi factori de influenta, restul nedescompus trebuie repartizat pe cei doi factori de influenta.

In legatura cu proportia in care se repartizeaza restul nedescompus pe factori de influenta, exista urmatoarele posibilitati:

sa se atribuie integral unui singur factor, caz in care se ajunge la procedeul substitutiei in lant;

sa se repartizeze in mod egal pe factorii de influenta;

sa se repartizeze in functie de ponderea influentei izolate a fiecarui factor in suma influentelor izolate ale factorilor, varianta pentru care se opteaza cel mai frecvent in practica. Proportia in care se repartizeaza restul nedescompus pe cei doi factori de influenta se calculeaza astfel:

(8.47)

si

(8.48)

Influenta totala a fiecarui factor asupra variatiei variabilei complexe se determina pe baza relatiilor:

(8.49)

si

(8.50)

Desigur, fiecare din cele doua metode de descompunere are o serie de avantaje si limite. Dezavantajele se amplifica in cazul ambelor procedee, odata cu cresterea numarului factorilor de influenta. In cazul MSL este necesar sa se separe factorii de influenta dupa natura lor, iar in cazul MIIF creste numarul resturilor nedescompuse care trebuie repartizate pe factori de influenta.

Ilustram aplicarea MIIF pornind de la datele din tabelul nr. 8.3.

Modificarea fondului de salarii:

ori sau 167,3%

si

milioane lei

Influenta izolata a modificarii numarului salariatilor:

ori sau 127,3%

si

milioane lei

Influenta izolata a modificarii salariului mediu:

ori sau 131,8%

Tabelul nr. 8.4

milioane lei

- Influenta modificarii concomitente a factorilor:

ori sau 99,7%

si

milioane lei

sau

mil lei

Cota parte din restul nedescompus care se atribuie influentei numarului salariatilor:

Cota parte din restul nedescompus care se atribuie influentei salariului mediu :

Influenta factorilor asupra modificarii fondului de salarii este :

Influenta numarului salariatilor :

milioane lei

Influenta salariului mediu :

milioane lei

Deci, cresterea fondului de salariu cu 67,3%, respectiv cu 74 milioane a fost determinata in proportie de 53,8% de sporirea salariilor medii la nivelul agentilor economici si in proportie de 46,2% de cresterea numarului salariatilor.

Serii cronologice de indici statistici

Caracterizarea evolutiei unui indicator in timp se bazeaza pe analiza seriilor cronologice. Serii cronologice se construiesc nu numai pentru indicatori absoluti ci si pentru indicatori relativi, pentru indici.

Construirea unei serii cronologice pentru indicii individuali nu ridica probleme deosebite. Singurul aspect ce trebuie rezolvat se refera la alegerea bazei de comparatie, care poate fi aceeasi pentru intreaga serie (au baza fixa) sau diferita la fiecare indice (cu baza in lant). Pentru factorul x, de exemplu, seria de indici se obtine din relatia :

cu baza fixa :

(8.51)

cu baza in lant :

(8.52)

Construirea de serii pentru indicii de grup agregati (valorile observate ale factorilor nu sunt direct insumabile) trebuie solutionata problema ponderii.

Daca toti indicii care compun seria au aceeasi pondere se dispune de o serie de medii cu ponderi constante. Daca ponderea difera de la un indice la altul se dispune de o serie de indici cu ponderi variabile.

Din combinarea bazei de comparatie cu ponderea utilizata se pot construi patru tipuri de serii cronologice de indici de grup.

a)    Serii de indici cu baza fixa si cu ponderi constante :

, respectiv (8.53)

De regula, astfel de serii de indici se construiesc in practica pentru volumul fizic.

Dupa aceasta regula se construieste si indicele preturilor de consum (), baza de comparatie fiind luna decembrie din anul precedent.

b)    Serii de indici cu baza in lant si ponderi constante :

, respectiv                           (8.54)

Astfel de serii de indici se construiesc in practica pentru caracterizarea dinamicii volumului fizic si al preturilor in luna curenta fata de luna precedenta.

De exemplu, in cazul indicelui preturilor de consum seria de indici este :

Produsul indicilor cu baza in lant si cu ponderi constante care compun seria conduce la un indice cu baza fixa (). Aceasta proprietate a indicilor sta la baza inlantuirii indicilor.

c)    Serii de indici cu baza in lant si ponderi variabile:

, respectiv                            (8.55)

Produsul indicilor unei astfel de serii nu conduce la un indice cu baza fixa.

d)    Serii de indici cu baza fixa si cu ponderi variabile :

, respectiv            (8.56)

Asemenea serii se construiesc pentru indicii preturilor utilizati la deflatarea agregatelor valorice de productie (productia industriala, produsul intern brut etc).

Cuvinte cheie

- Indice = indice statistic

- Indice individual = indice elementar

- Indice de grup = indice sintetic

- Indice al factorului cantitativ

- Indice al factorului calitativ

- Indice al variabilei complexe

- Indice de grup agregat

- Indice de grup calculat ca o medie a indicilor individuali

- Indice de grup calculat ca raport de medii

- Indicele valorii

- Indicele preturilor

- Indicele volumului fizic

- Indice de tip Laspeyres

- Indice de tip Paasche

- Indice de tip Fisher

- Indici cu baza fixa

- Indici cu baza in lant = indici cu baza mobila

- Metoda subtituirii in lant

- Metoda influentelor izolate ale factorilor = metoda restului nedescompus

- Serie cronologica de indici

- Indici de grup cu ponderi constante

- Indici de grup cu ponderi variabile

Intrebari de control

1. Ce este un indice statistic ?

2. Prin ce se deosebeste un indice de grup de unul individual ?

3. Care este deosebirea dintre un indice de grup de tip Laspeyres si de tip Paasche ?

4. De ce se opteaza in practica statistica, de cele mai multe ori, pentru indicele Laspeyres ?

5. Cand se verifica relatia :  ?

6. Cum se calculeaza si cand se aplica in practica indicele de tip Fisher ?

7. Indicele de grup al volumului fizic se determina ca o medie aritmetica sau ca o medie armonica a indicilor individuali ?

8. Cum se aleg ponderile la construirea sistemului de indici calculati ca raport a doua medii ?

9. In ce consta metoda substituirii in lant in masurarea influentei factorilor asupra variatiei unei variabile complexe ?

10. De ce ramane in cazul metodei influentelor izolate o parte nedescompusa din variatia variabilei complexe ?

11. Cum se repartizeaza pe factori de influenta restul nedescompus in cazul metodei influentelor izolate ?

12. Cand produsul unei serii cronologice de indici cu baza in lant este egal cu indicele cu baza fixa ?

Bibliografie

1. Biji E., Wagner P., Lilea E., Petcu N., Vatui V. - Statistica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1999, p. 322 - 372

2. Korka M., Begu L., Tusa E. - Bazele statisticii pentru economisti, Editura Tribuna Economica, Bucuresti, 2002, p. 197 - 222