Marimile medii

Marimile medii

Mediile sunt, de asemenea, indicatori derivati dar care exprima ceea ce este tipic, comun si general in configuratia fenomenelor, exprima intr-o maniera abstracta tendinta centrala de grupare a nivelurilor individuale catre un nivel de sinteza denumit marime medie. Media poate substitui nivelurile individuale pe care le sintetizeaza deoarece este o valoare mai mult sau mai putin reprezentativa in functie de gradul de omogenitate al colectivitatii supuse cercetarii.

Modul de organizare al sistemului de date statistice pentru care dorim sa calculam media determina optiunea de aplicare a unei anumite forme de medie. Se cunosc si se aplica mai multe tipuri de medii, dintre care cele mai utilizate sunt: media aritmetica, media armonica, media patratica, media cronologica si media geometrica.

Media aritmetica se utilizeaza la calculul nivelului mediu al unor indicatori prezentati in serie dinamica de intervale de timp, la calculul nivelului mediu al seriilor statistice de variatie, al seriilor simple enumerative, precum si in cazul seriilor teritoriale comparabile. De exemplu, se recurge la forma mediei aritmetice atunci cand dorim sa calculam categoria medie de incadrare tarifara a unor salariati, productia medie sau cifra de 525d39f afaceri realizata in medie pe un segment de timp dintr-o anumita perioada etc.

Daca frecventele variantelor din seria statistica studiata sunt egale intre ele, se foloseste formula mediei aritmetice simple,

, iar daca frecventele variantelor nu sunt egale intre ele, se aplica media aritmetica ponderata,

, in care notatiile utilizate au urmatoarele semnificatii:

M(x) sau - valoarea medie a caracteristicii studiate "x",

x_i- varianta "i" a caracteristicii statistice pentru care se calculeaza media, i = 1, 2, 3, , n ,

n_i- frecventa variantei "i" a caracteristicii statistice studiate,

n - numarul variantelor caracteristicii statistice atunci cand se foloseste media aritmetica simpla.

Proprietatile mediei aritmetice:

Media aritmetica are mai multe proprietati operationale care prin cunoasterea si aplicarea lor se poate verifica atat exactitatea calculelor cat si posibilitatea obtinerii valorii medii printr-un calcul simplificat. Aceste proprietati sunt:

1. Media aritmetica se pozitioneaza ca marime intre valoarea minima si maxima a caracteristicii studiate,

2. Suma algebrica a abaterilor variantelor caracteristicii de la valoarea medie este egala cu zero,

, pentru seriile statistice cu frecvente egale,

, pentru seriile statistice cu frecvente neegale

3. Daca fiecare varianta a caracteristicii studiate (x_i) se mareste sau se micsoreaza cu o constanta (a), valoarea medie a caracteristicii se modifica cu constanta respectiva,

, pentru seriile statistice cu frecvente egale,

pentru seriile statistice cu frecvente neegale

4. Daca fiecare varianta a caracteristicii studiate (x_i) se mareste sau se micsoreaza de un anumit numar de ori (k) valoarea medie a caracteristicii se modifica cu numarul de ori exprimat de constanta respectiva. In cazul seriile statistice cu frecvente neegale pot fi scrise urmatoarele relatii:

5. Daca valoarea medie se calculeaza pe baza frecventelor relative (nr_i), valoarea medie nu se modifica,

In acest sens se mentioneaza, de asemenea ca, daca frecventele (ponderile) variantelor caracteristicii studiate se modifica in aceeasi proportie, respectiv se majoreaza sau se micsoreaza de "c" ori, ("c" fiind o constanta oarecare), media caracteristicii nu se modifica.

Pornind de la proprietatile prezentate, in anumite conditii, prin imbinarea acestora se ajunge la o relatie de calcul simplificat a valorii medii si anume,

, pentru seriile statistice cu frecvente egale,

, pentru seriile statistice cu frecvente neegale

Aceste relatii ofera in mod efectiv avantajul simplificarii calculelor numai daca sunt indeplinite urmatoarele conditii:

- seria de variatie este constituita pe intervale egale de grupare,

- constantei "a" i se acorda ca valoare mijlocul intervalului care detine frecventa cea mai mare,

- constantei "k" i se acorda ca valoare marimea intervalului de grupare.

Exemplul 1. Cele 30 de apartamente ale unui bloc de locuinte se repartizeaza dupa valoarea consumului de energie electrica inregistrat in luna aprilie, astfel:

Tabelul 1

Consumul de energie electrica din luna aprilie

Nota: - Limita inferioara a intervalului de grupare este inclusa in interval.

- Mijlocul intervalului de grupare se obtine prin raportarea la 2 a sumei celor doua limite inscrise la fiecare interval (semisuma limitelor intervalului).

- In cazul intervalelor deschise (lipseste una din limite), pentru a putea calcula mijlocul intervalului, acestora li se completeaza limita care nu este definita, astfel:

- in cazul primului interval: se calculeaza marimea intervalului urmator si se extinde marimea acestuia si la primul interval. Prin urmare primul interval va avea ca limite, 6,0 si 6,5,

- in cazul ultimului interval: se calculeaza marimea intervalului precedent si se extinde marimea acestuia si la intervalul urmator. In urma acestui calcul ultimul interval va fi dimensionat astfel: 8,0-8,5.

Consumul mediu de energie electrica care revine la un apartament este,

sau,

,

sau, daca se folosesc frecventele relative se poate scrie urmatoarea relatie de calcul a valorii medii,

Media armonica este o forma transformata a mediei aritmetice (simple sau ponderate) si se utilizeaza atunci cand ne propunem sa calculam o valoare medie din marimi relative, cunoscand marimile relative individuale si numaratorii rapoartelor pe baza carora au fost calculate. Utilizari adecvate ale acestei forme de medie sunt: la calculul indicelui mediu al preturilor de consum; pentru determinarea nivelului mediu al mai multor marimi relative de intensitate de acelasi tip, dar numai in conditiile in care se cunosc nivelurile individuale ale marimilor relative si numaratorii rapoartelor pe baza carora au fost calculate.

Formula de calcul a mediei armonice simple se aplica atunci cand numaratorii rapoartelor pe baza carora au fost calculate marimile relative individuale sunt egali ca marime intre ei,

unde "n este numarul marimilor relative, iar "x_i reprezinta marimile relative individuale.

In timp ce media armonica ponderata se utilizeaza atunci cand numaratorii rapoartelor pe baza carora au fost calculate marimile relative individuale nu sunt egali ca marime intre ei,

In cazul mediei armonice ponderate, se foloseste o pondere compusa, "" echivalenta cu numaratorii rapoartelor pe baza carora au fost calculate marimile relative individuale.

Exemplul 2. In patru puncte comerciale dintr-o piata agro-alimentara s-au inregistrat in ziua de 1 octombrie urmatoarele date statistice privind vanzarile de cartofi:

Tabelul 2

Vanzarile de cartofi inregistrate la data de 1 octombrie

Sa se determine pretul mediu de vanzare, al unui kilogram de cartofi, inregistrat la cei patru comercianti, in data de 1 octombrie.

Se mentioneaza ca intre media aritmetica si media armonica nu este nici-o deosebire de continut, ambele reflectand nivelul mediu al caracteristicii studiate, dar calculul acesteia din urma se adopta in functie de modul in care sunt prezentate datele statistice initiale.

Media patratica se utilizeaza la calculul indicatorilor care exprima in mod sintetic gradul de variabilitate al caracteristicilor statistice.

Daca frecventele variantelor caracteristicii din seria statistica studiata sunt egale intre ele, se foloseste formula mediei patratice simple,

iar daca frecventele variantelor nu sunt egale intre ele, se aplica media patratica ponderata,

Media cronologica are semnificatia unei medii aritmetice din medii partiale si se utilizeaza la calculul nivelului mediu al indicatorilor prezentati sub forma seriilor dinamice de momente. Aceasta medie se foloseste la calculul valorii medii a activelor circulante, a stocurilor de orice natura dar in special pentru materii prime, materiale si marfuri, a imobilizarilor corporale si respectiv a mijloacelor fixe, precum si la calculul efectivelor medii de animale.

Daca intervalele de timp, dintre oricare doua momente succesive ale seriei dinamice, sunt egale intre ele se foloseste formula mediei cronologice simple, adica,

si respectiv, daca nu sunt egale intre ele, se recurge la formula mediei cronologice ponderate,

in care,

Mc - nivelul mediu al indicatorilor prezentati in serie dinamica, calculat cu media cronologica,

x_i - indicatorii de nivel ai seriei dinamice, i = 1, 2, 3, , n,

n - numarul indicatorilor de nivel sau numarul momentelor de timp la care sunt inregistrati indicatorii,

t_j - durata intervalului de timp "j", dintre doua momente succesive la care sunt inregistrati indicatorii de nivel, exprimata in zile, luni sau ani,

j = 1, 2, 3, , m ; m = n-1. Suma duratelor succesive t_j va fi egala cu durata intregii perioade exprimata de seria dinamica analizata.

Media geometrica are aplicabilitate in domeniul economic, in special cand se calculeaza indicele mediu anual de crestere (scadere) - "" - a unui indicator, intr-o anumita perioada de timp. Aceasta forma de medie conduce la un rezultat real numai atunci cand seria dinamica, pentru care dorim sa determinam nivelul mediu al modificarii relative, prezinta o anumita constanta a cresterii sau scaderii indicatorului formalizat in serie dinamica.

Relatia de calcul a mediei geometrice simple este urmatoarea:

, in care:

- Mg este notatia pentru valoarea medie obtinuta cu ajutorul mediei geometrice,

- n - numarul indicatorilor de nivel inscrisi in serie dinamica,

- - varianta "i" a indicatorului de nivel,

- si - primul si respectiv ultimul indicator de nivel al seriei dinamice.

Daca fenomenul studiat este marcat de oscilatii pronuntate cu caracter conjunctural, de la un segment de timp la altul, utilizarea procedeului clasic al mediei geometrice, simpla sau ponderata, dupa caz, poate conduce la un rezultat neconform cu realitatea, deoarece se bazeaza numai pe indicatorul initial si final din seria dinamica respectiva. In aceste situatii se recomanda calculul indicelui mediu anual de crestere (scadere) prin folosirea procedeului mediei geometrice corectate sau a procedeului autoregresiei care iau in calcul toti indicatorii de nivel cuprinsi in seria dinamica analizata.

Media geometrica corectata ( este o forma a mediei geometrice ponderate calculata din medii geometrice secventiale sau partiale ( determinate astfel:

- prima medie geometrica ( este o medie geometrica simpla , care se refera la intreaga serie dinamica supusa prelucrarii,

- a doua medie geometrica ( este tot o medie geometrica simpla dar care se bazeaza pe n-2 indicatori de nivel, fiind eliminati din calcul primul si ultimul indicator din serie, notatia "n" este acordata numarului total de indicatori de nivel inscrisi in serie dinamica,

- a treia medie geometrica ( se determina prin luarea in consideratie a unui numar de n-4 indicatori de nivel, se elimina astfel din calcul primii doi si ultimii doi indicatori de nivel din serie,

- se continua modalitatea de calcul a mediilor geometrice secventiale (partiale) pana se epuizeaza toate posibilitatile.

Daca seria dinamica respectiva este formata dintr-un numar impar de indicatori, indicatorul din mijlocul seriei nu va fi luat in calcul la nici-o varianta a mediei geometrice secventiale.

Ponderea fiecarei medii geometrice secventiale este reprezentata prin numarul unitatilor (segmentelor) de timp la care se refera media, adica f = n-1 pentru prima medie, f = n-3 pentru media a doua, f = n-5 pentru media a treia, s.a.m.d.

Relatia de calcul a mediei geometrice corectate este urmatoarea:

in care,

m - numarul mediilor geometrice secventiale

Procedeul autoregresiei se bazeaza pe calculul indicelui mediu anual de crestere (scadere) din ecuatia care se obtine prin minimizarea urmatoarei expresii:

Egaland cu zero derivata acestei sume calculata in raport cu rezulta ecuatia, , din care se extrage

Daca indicele mediu este exprimat procentual si apoi se micsoreaza cu 100 se obtine ritmul mediu anual de crestere sau de scadere , ca o expresie derivata a marimii medii care caracterizeaza modificarea medie in timp a unui fenomen,

Marimi medii de pozitie (mediana si modulul)

Daca se considera necesar, pentru aprecierea nivelului mediu al unei caracteristici statistice se poate folosi, mediana sau modulul, ca valori tipice de pozitie, deoarece acestea ocupa un anumit loc cu semnificatie medie in cadrul unei serii de valori.

Mediana X_Me) este varianta caracteristicii care ocupa locul central in seria de date statistice care au fost ordonate crescator sau descrescator.

Pozitia ocupata de mediana in cadrul unei serii de repartitie prezentata ca o insiruire de variante se calculeaza asfel:

Daca seria are un numar impar de valori, X_Me va fi varianta centrala localizata prin calculul locului medianei (Me

Daca seria are un numar par de valori, X_Me va fi rezultatul mediei aritmetice simple efectuata din cele doua variante centrale.

In cazul seriilor de repartitie in care datele statistice sunt prezentate sub forma unor grupari pe intervale de grupare, calculul valorii mediane se realizeaza pe baza formulei:

, in care,

este limita inferioara a intervalului median,

d este marimea intervalului median, obtinuta ca diferenta intre limita superioara si limita inferioara a intervalului median,

este locul sau, numarul de ordine pe care il ocupa valoarea mediana si pe baza caruia se stabileste intervalul median,

fcp este suma frecventelor tuturor intervalelor precedente, constituite pana la intervalul in care se gaseste valoarea mediana,

fm este frecventa intervalului in care se pozitioneaza valoarea mediana.

Quartilele sunt acele valori ale caracteristicii statistice care impart o serie de repartitie in patru zone egale, din punct de vedere al numarului unitatilor care formeaza o colectivitate. Aceasta procedura este folosita atunci cand numarul unitatilor statistice este suficient de mare si se considera necesar sa se constituie patru grupe egale care sa se caracterizeze printr-un anumit grad de omogenitate. Calculul quartilelor se bazeaza pe aceeasi logica metodologica folosita la calculul medianei, dar tinand seama de locul ocupat de quartila respectiva. Quartila 2 (Q₂) este identica cu valoarea mediana iar quartila 1 (Q₁) si respectiv quartila 3 (Q₃) se calculeaza astfel:

Decilele. In unele cazuri, in procesul de prelucrare al datelor statistice, se opteaza pentru calculul decilelor care sunt valori ale caracteristicii ce impart seria statistica in zece parti egale. Decila a cincea este egala cu valoarea mediana, iar calculul celorlalte decile tine seama de pozitia acesteia in cadrul seriei de valori ale caracteristicii. Decilele se calculeaza, de regula cand amplitudinea variatiei este mai mare, astfel:

Modulul X_Mo) reprezinta acea varianta a caracteristicii care are cea mai mare frecventa, sau, cu alte cuvinte, varianta care este inregistrata de cele mai multe unitati ale colectivitatii statistice.

Daca dispunem de o serie de repartitie in care datele statistice sunt prezentate sub forma unei grupari pe intervale de grupare, calculul valorii modale se realizeaza pe baza formulei:

, in care,

este limita inferioara a intervalului modal. Intervalul modal este intervalul care are frecventa cea mai mare,

d este marimea intervalului modal, obtinuta ca diferenta intre limita superioara si limita inferioara a intervalului modal,

este diferenta dintre frecventa intervalului modal si frecventa intervalului precedent,

este diferenta dintre frecventa intervalului modal si frecventa intervalului urmator.

Sunt si cazuri in care frecvente maxime identice se inregistreaza la doua sau mai multe intervale de grupare sau la mai multe variante ale caracteristicii, in aceste situatii seriile de repartitie sunt denumite bimodale sau multimodale.

Exemplul 3.

Daca folosim datele statistice utilizate la exemplul 1, valoarea madiana si respectiv valoarea modala se calculeaza astfel:

Locul valorii mediane:

, prin urmare mediana este valoarea medie a variantelor cu numarul de ordine 15 si 16 care se pozitioneaza in intervalul, 7,0 - 7,5 (intervalul median).

Intervalul modal este intervalul, 7,0 - 7,5 la care se inregistreaza frecventa maxima (10).

Media in cazul caracteristicii alternative

Programul observarii statistice poate cuprinde si caracteristici alternative, pentru care exista doua variante de raspuns exprimate prin "da" sau "nu". Pentru a calcula nivelul mediu al unei astfel de caracteristici se inlocuiesc cu cifra 1 raspunsurile "da" (cand la o unitate statistica este caracteristica cercetata) si cu 0 raspunsurile "nu" (cand unitatea statistica nu detine caracteristica cercetata). Valoarea medie se determina cu ajutorul mediei aritmetice ponderate, astfel:

., in care,

n₁ este numarul de unitati care detin caracteristica studiata,

n₂ este numarul de unitati care nu detin caracteristica studiata.

Prin umare, valoarea medie a unei caracteristici alternative este egala cu proportia unitatilor statistice care detin caracteristica cercetata in totalul unitatilor care formeaza colectivitatea statistica.