Gestiunea portofoliilor de valori mobiliare

GESTIUNEA PORTOFOLIILOR DE VALORI MOBILIARE

RAPORTUL RISC- PROFIT

Castigul pe o perioada

Orice investitor, pentru a decide ce titluri sa includa in portofoliul sau trebuie sa le poata compara. Fiecare titlu este caracterizat de un pret de piata, un cost si un flux de venituri. Sa presupunem actiunea A, avand cost de 486 u.m.. Cum poate ea fi comparata cu actiunea B, cumparata cu 30 u.m.., detinuta timp de un an si apoi vanduta cu 35 fara a primi nici un dividend? Bineinteles, trebuie sa se tina seama de costul diferit al celor doua actiuni, precum si de perioada de timp diferita.

Castigul pe o anumita perioada se calculeaza astfel:

R = (D₁ + P₁ - P₀) / P₀,

unde

P₀ - costul,

P₁ - pretul la sfarsitul perioadei,

D₁ - dividendul

Totusi, beneficiul adus de actiunile A si B nu este inca comparabil deoarece B a fost detinut o perioada dubla fata de A. Pentru aceasta se poate calcula castigul pe 6 luni al actiunii B folosind formula:

(1+ r_B)² = l+R_B unde r_B - castigul pe 6 luni
r_B = 8% r_B - castigul pe 1 an
Acum se poate compara actiunea A care ofera un profit de 7% in 6 luni cu actiunea B care produce un castig de 8% in aceeasi perioada.

Multi investitori nu au nici un dubiu in a alege titlul care ofera cel mai ridicat venit intr-o anumita perioada. O analiza a titlurilor cotate la Bursa londoneza ne arata ca actiunile ordinare au depasit obligatiunile pe termen lung in ce priveste profitul anual in ultimii 70 de ani.

Sursa: Frank Russell International and BZW Gilt survey 1991.

In aceste conditii, un investitor ar alege cu siguranta sa cumpere actiuni. Si totusi multi investitori aleg obligatiunile sau cel putin includ in portofoliul lor cateva obligatiuni datorita sansei mai mici de a inregistra pierderi dupa cum se vede din ultima coloana a tabelului. Aceasta inseamna ca un investitor nu se uita doar la profit cand decide o investitie, ci ia in considerare si riscul.

Tipuri de risc

A. Incertitudinea marimii venitului

Toate actiunile ordinare sunt pasibile de acest risc. Acest risc este evident daca privim formula:

R=(D₁+P₁-P₀) / P₀

In cazul actiunilor A si B prezentate anterior, D₁ , P₀ si P₁ au cunoscute deoarece am luat in considerare profitul perioadei anterioare adus de investitie. Din nefericire, un investitor trebuie sa ia decizia de a investi privind spre viitor. Astfel el cunoaste doar P₀, pretul curent al actiunii pe piata. Nu stie care va fi pretul actiunii cand o va vinde si nici dividendul pe care-1 va primi. Spre deosebire de obligatiuni, o companie nu se angajeaza prin contract sa le plateasca actionarilor un nivel fix sau minim de dividende.

Actionarii pot dispune de bunurile companiei abia dupa ce toate obligatiile ei au fost stinse, insa firma nu este datoare sa le plateasca actionarilor nici un dividend. Probabil, doar o parte din profitul corespunzator actionarilor ordinari intr-un an va fi distribuit ca dividende, restul fiind pastrat de companie. Daca o firma este rentabila, este de asteptat ca actionarul obisnuit sa primeasca atat un dividend, dar si ca pretul actiunii P₁ sa depaseasca costul P₀ Totusi unele firme, desi intr-o puternica expansiune, au o politica de a nu plati dividende actionarilor pentru cativa ani.

Daca o companie nu obtine profit, nu are nici un motiv sa le plateasca actionarilor dividende. Profitabilitatea oricarei firme este supusa mai multor riscuri: o recesiune economica poate duce la scaderea vanzarilor, o decizie politica poate insemna impozite mai mari, de exemplu. Acesti factori, precum si faptul ca actionarii ordinari sunt indreptatiti sa primeasca o parte din profit abia dupa ce ceilalti detinatori de titluri asupra companiei au fost onorati, fac ca actiunile ordinare sa fie cele mai riscante titluri. Pe de alta parte, actionarii tind sa castige mai mult decat detinatorii de titluri cu venit fix.

B. Riscul de neplata

Detinatorii de titluri cu venit fix sunt mult mai siguri de castigul lor, dar totusi si aceste valo 535e45f ri sunt pasibile de riscuri, cum ar fi riscul de neplata. Daca o companie are dificultati s-ar putea sa nu poata plati dobanda pentru titlurile cu venit fix sau sa rascumpere titlul la scadenta. Doar bonurile de tezaur sau alte titluri cu dobanda fixa garantate de stat nu sunt afectate de riscul de neplata. Guvernul este singurul imprumutator care poate evita riscul de neplata, apeland in ultima instanta la tiparirea de bani, daca datoria este in moneda nationala.

Bonitatea titlurilor cu dobanda fixa si deci riscul lor de neplata este masurata de diferite agentii de 'rating', cum ar fi Moody's si Standard & Poors. Ea se incadreaza intre AAA pentru titlurile cu riscul cel mai redus, si C sau D pentru cele cu grad ridicat de risc.

C. Alte riscuri

Este usor de inteles de ce titlurile emise de companii, chiar daca promit un venit fix sigur, au un element de risc. in conditiile economiei de piata, unele firme pot esua si, data fiind raspunderea lor limitata, investitorii in acea firma pot apela in ultima instanta doar la bunurile companiei, ceea ce s-ar putea sa fie insuficient, pentru a-si recupera investitiile.

Totusi este mai dificil de vazut de ce titlurile cu dobanda fixa emise de stat ofera venituri incerte. Un rol important in aceasta ecuatie il joaca inflatia si modificarea continua a ratei dobanzii care influenteaza in permanenta cotatiile bonurilor de tezaur. De exemplu, un bon de tezaur cu dobanda de 3% emis de Trezoreria UK este cotat la 35 lire sterline fata de valoarea sa nominala de 100 lire sterline.

C.a. Dobanda la bonurile de tezaur

Pentru a determina riscurile care planeaza asupra bonurilor de tezaur, trebuie mai intai sa analizam venitul adus de acestea, dobanda lor.

Sa luam ca exemplu un bon de tezaur nedatat, denumit 2 ¹/₂% Consols. Termenul 'nedatat' inseamna ca guvernul se angajeaza sa plateasca 2,50 u.m. pe an pentru fiecare 100 u.m. detinute pe o perioada nelimitata. Totusi, in fiecare an cele 2,50 u.m. primite de investitor i se vor parea din ce in ce mai putine. Cele 2,50 u.m. primite acum valoreaza mai mult decat 2,50 u.m. primite peste un an deoarece pot fi investiti astfel incat sa aduca un venit mai mare de 2,50 u.m. intr-un an. Sa presupunem ca rata dobanzii pe un an de zile este 10%. 2,50 u.m. pot fi investite astfel incat sa devina 2,75 u.m. (2,50 x 1,10), astfel ca 2,50 u.m. primite peste un an valoreaza doar 2,27 u.m. (2,50/1,10) in prezent. Acesti 2,27 u.m. sunt cunoscuti sub denumirea de valoarea prezenta a 2,50 u.m.

Astfel, un investitor poate calcula valoarea prezenta a unui sir de dobanzi de 2,50 u.m. primite in mai multi ani, daca cunoaste valoarea ratei dobanzii.

Valoarea prezenta a valorii nominale de 100 u.m. pentru bonul Consols este P calculata dupa formula:

P= [D/(1+R)]+[D/(1+R)²]+. +[D/(l±R)ⁿ]+

D - dobanda de 2,50 u.m.;

P - pretul pietei.

De aici se poate deduce R care este de fapt rata profitului adus de investitie in acest bon de tezaur.

O formula mai simpla pentru P se poate obtine scriind:

P= D/(1+R)+D/(1+R)²+. +D/(l±R)ⁿ+ (1)

Daca inmultim relatia (1) cu (1+R) se obtine:

(1+R)P = D+D/(1+R)+. +D/(l+R)^n-1+D/(l±R)ⁿ+ (2)

Daca scadem relatia (1) din relatia (2) vom avea:

(1 +R)P-P = D, adica P=D/R

Daca de exemplu, pretul la bursa pentru Consols este de 20 u.m. putem afla rata profitului investitiei:

R = D/P => R = 2,50/20=12,5%

Astfel, in prezent, investitorii cer o dobanda de 12,5% pentru acest bon de tezaur. Dar pentru ca dobanda fixa a titlului este mult sub aceasta valoare, pretul bonurilor este de 20 u.m., mult mai mic decat valoarea sa nominala de 100 u.m. Cand titlul a fost prima oara emis, dobanda ceruta de investitori era de 2,5 - 3%, iar pretul sau de piata era aproximativ egal cu valoarea sa nominala 100 u.m.

Dupa aceasta analiza putem sa evidentiem doua mari riscuri ce afecteaza titlurile cu dobanda fixa, inclusiv bonurile de tezaur: riscul ratei dobanzii si riscul inflatiei.

C.a₁. Riscul modificarii ratei dobanzii

Sa consideram cazul unui investitor care cumpara bonul 2 ^l/2 % Consols, cand rata profirului adus de acesta este 10%. Pretul de cumparare va fi:

P₀ = 2,50/0,10 = 25 u.m.

A. Sa presupunem ca dupa un an rata dobanzii si deci si rata profitului ceruta pentru bon creste ajungand la 15%. in acest caz, pretul titlului pe piata va fi:

P₁ = 2,50/0,15 = 16,70 u.m.

Daca presupunem ca rata profitului cerut scade la 5%, pretul devine:

P₁ = 2,50/0,05 = 50 u.m.

Daca investitorul vinde titlul in cazul scenariului A, venitul sau va fi:

R_A = (D₁+P₁ - P₀) / P₀ = (2,50 +16,70 - 25) / 25 = -2,3%

In cazul scenariului B, venitul este:

R_B = (2,50 + 50 - 25) / 25 = 110%

O schimbare in nivelul ratei dobanzii are un impact puternic asupra venitului adus de un bon de tezaur presupus ca fiind fara risc. Doar daca rata dobanzii si deci si pretul bonurilor sunt stabile, aceste titluri pot fi considerate fara risc.

Deci un investitor care cumpara bonuri de tezaur ne datate este supus riscului ca, atunci cand vrea sa le vanda, rata dobanzii sa fi crescut si valoarea titlului sa scada.

Dar sa vedem cum influenteaza rata dobanzii titlurile care au durata de viata limitata pana in momentul rascumpararii lor.

Sa presupunem ca un investitor trebuie sa returneze un imprumut de 10.000 u.m. peste exact 5 ani. Daca isi investeste banii in bonuri cu o durata de viata mai mare de 5 ani sau in bonuri nedatate, exista riscul ca in acesti ani rata dobanzii sa creasca si, cand va revinde titlurile pentru a inapoia imprumutul, valoarea lor sa fie mai mica de 10.000 u.m. Pe de alta parte, daca investesti in titluri cu durata de viata mai mica de 5 ani si rata dobanzii scade intre timp, el va trebui sa reinvesteasca banii obtinuti dupa rascumpararea titlurilor, dar va obtine un venit mai mic decat daca ar fi investit de la inceput in titluri pe 5 ani.

Din aceasta analiza rezulta ca un investitor se poate feri cel mai bine de riscul modificarii ratei dobanzii doar daca investeste in titluri cu maturitate egala cu cea a datoriilor sale. Dar nici acest lucru nu-l apara complet de acest risc, deoarece pana la maturitate titlurile platesc dobanzi pe care investitorul ar vrea de asemenea sa le reinvesteasca, insa s-ar putea sa o faca cu o rata de profit mai mica decat cea a bonurilor.

Fondurile de pensii si companiile de asigurare au obligatii de plata viitoare pe care le pot determina destul de exact. Astfel, aceste institutii isi pot investi disponibilitatile pe perioade bine determinate pana la scadenta obligatiilor lor si in acest mod sa evite, in mare masura, riscul modificarii ratei dobanzii. Insa alti investitori nu pot sti cand vor avea nevoie de bani si nici macar de ce suma vor avea nevoie, fiind mai expusi acestui risc.

C.a₂. Riscul inflationist

Sa presupunem ca un investitor doreste sa cumpere un utilaj care in prezent costa 140.000 u.m. si cumpara bonuri de tezaur pe 5 ani prin care isi va asigura aceasta suma. Insa s-ar putea ca acesti bani sa nu-i mai ajunga peste 5 ani. Chiar daca prevede ca utilajul va costa 200.000 u.m. peste 5 ani si investeste astfel incat sa-i obtina, totusi exista riscul ca inflatia sa fie chiar mai mare.

Sa analizam un simplu exemplu numeric:

Un investitor cumpara un bon de tezaur cu 95 u.m. cu o maturitate de un an, cand va fi rascumparat cu 100 u.m. si va aduce o dobanda de 5 u.m.

Venitul va fi:

R = (d₁ + P₁ - P₀) / P₀ = [(5+100) - 95] / 95 = 10,5%

Acum sa presupunem ca inflatia va fi 5% astfel incat 105 u.m. peste un an vor avea aceeasi putere de cumparare ca 100 u.m. de azi.

In aceste conditii, investitorul poate calcula venitul sau absolut:

R_real = [(100 - 95) / 95] = 5,3%

De aici, rezulta ca investitia ar fi riscanta.

Daca piata, in ansamblul ei, ar cere un profit de 5,3% in termeni reali, atunci, conform teoriei lui Fisher, rata nominala a profitului va reflecta din plin acest lucru. Astfel, daca se asteapta o inflatie de 5%, rata nominala a dobanzii se va calcula:

(1 + nominal) = ( 1+ real)(l + rata estimata a inflatiei)

= 1,053 x 1,05

=

adica rata nominala a dobanzii = 10,6%

Pretul pe piata al bonurilor de 95 u.m. tine cont de 5% inflatie. Daca inflatia ar fi fost 0, atunci pretul ar fi devenit:

P₀ = (D₁ + P₁) / (l + R) = 105 / l,053 = 99,72 u.m.

Conform teoriei lui Fisher, rata nominala a dobanzii tine cont pe deplin de marimea inflatiei prognozate si impinge in jos pretul bonurilor de tezaur.

Cum am vazut mai devreme, investitorul este pazit de riscul inflationist, acesta fiind preluat de cresterea ratei dobanzii nominale. Totusi exista doi factori care pot transforma riscul inflationist intr-un risc real.

In primul rand, s-ar putea ca rata dobanzii sa nu se ajusteze exact in functie de inflatia previzionata asa cum spune Fisher, aceasta din cauza ca o predictie asupra inflatiei este intotdeauna dificila.

In al doilea rand, s-ar putea sa apara surse inflationiste neasteptate care sa afecteze veniturile investitorului si care sa-1 impiedice sa obtina destui bani pentru a-si cumpara utilajul.

Sa presupunem acum ca investitorul cumpara titlul descris mai sus cu 95 u.m., insa inflatia creste neasteptat la 10%. in aceste conditii puterea de cumparare a celor 105 u.m. primite la sfarsitul anului va fi doar 105/1,1 adica 95,45 u.m. Astfel, venitul in termeni reali va fi:

R_real= (95,45 - 95)795 = 0,5%.

Riscul inflationist, in sensul ca venitul obtinut in termeni reali poate fi mai mic decat cel asteptat, este un risc care afecteaza toate tipurile de titluri cu dobanda fixa. Astfel, investitorul de mai sus nu-1 poate evita cumparand anumite titluri cu dobanda fixa. Totusi inflatia in anul urmator poate fi estimata mult mai exact decat cea de peste cativa ani, iar investitorul poate diminua riscul, daca cumpara titluri cu maturitatea pe termen scurt. Cu cat este mai mica durata de viata a bonurilor, cu atat este mai redus riscul de a fi afectat de inflatie.

Desi acest risc afecteaza mai mult sau mai putin titlurile cu dobanda fixa, el nu trebuie atasat si investitiei in actiuni. Dividendele platite nu sunt fixe. Daca inflatia este mare, atunci firma va obtine profituri nominale ridicate, ceea ce va duce la plata de dividende nominale ridicate. Dimpotriva, daca o firma a emis un numar mare de titluri cu dobanda fixa, s-ar putea chiar ca pretul actiunilor sale sa creasca mai mult decat inflatia, reflectand pierderea suferita de detinatorii primelor titluri si deci reorientarea acestor bani spre plata de dividende.

Masurarea riscului si a venitului

Dupa ce am identificat principalele tipuri de riscuri, ne punem intrebarea cum putem masura aceste riscuri precum si veniturile probabile aduse de fiecare investitie.

In acest scop, folosim probabilitatile. De exemplu, putem sa ne uitam la evolutia unei investitii de 100 u.m. in actiunile companiei X la sfarsitul fiecarui an din ultima jumatate de secol. Pentru aceasta ne uitam la distributia frecventelor veniturilor in ultimii 50 de ani. In acest fel putem avea o imagine destul de buna pentru ceea ce se va intampla in viitor. Desigur, in perioada urmatoare pot interveni o serie de factori noi care trebuie identificati de investitori sau de sfatuitorii lor pentru a determina cu o exactitate cat mai mare probabilitatea distributiei veniturilor in viitor.

Astfel putem spune ca avem 20% sansa sa obtinem 4% profit 30%- 6% tot 30% pentru 8% si 20% pentru 10%. Totusi, investitorii au nevoie de o valoare unica pentru a lua anumite decizii, aceasta se obtine calculand media ponderata a veniturilor.

Formula de calcul a venitului este:

_n

E(R) = ∑ P_i R_j

ⁱ⁼¹

unde P_i - probabilitatea de a se realiza profitul j,

E(R) - veniturile probabile,

adica

E(R) - (0,2 x 4)+(0,3 x 6)+(0,3 x 8)+(0,2 x 10) = 7%

Formula R = (D₁ + P_{1 -} P₀) / P₀ ne ajuta sa comparam titlurile in functie de venitul adus de ele. Deoarece ea se refera la o perioada trecuta, se cunosteau cu certitudine P₀, P₁ D₁ si R. Insa cand trebuie sa comparam investitii viitoare (P₁ si D₁ nu se cunosc) - este nevoie de calculul venitului probabil folosind formula de mai sus.

Definirea riscului

Totusi se stie ca in conditiile mediului economic actual nu cumparam neaparat titlurile care promit cel mai ridicat profit pentru ca fiecare este pasibil de un anumit grad de risc. Sa luam urmatorul exemplu in care un investitor trebuie sa compare doua oportunitati de a investi, fiecare cate 100 u.m.

In acest exemplu si titlul A si titlul B ofera acelasi profit scontat. Astfel un investitor nu poate lua o decizie bazata doar pe marimea profitului scontat. El trebuie sa tina seama de riscul asociat actiunii A si B, in primul rand pentru a vedea daca merita sa le cumpere si apoi pentru a alege unul din cele doua titluri.

Intuitiv, ne putem da seama ca titlul B este mai riscant decat A, insa cum putem masura acest risc? Se pune intrebarea: este riscul relativ la marimea investitiei initiale de 100 u.m. sau este relativ la marimea profitului scontat de 120 u.m. Daca pretul actiunii B devine 600 u.m., investitorul va pierde 40 u.m. relativ la marimea investitiei, insa aceasta pierdere va creste la 60 u.m. daca avem in vedere marimea profitului scontat. Aceasta din urma valoare este mult mai relevanta deoarece investitorul nu numai ca a pierdut 40 u.m. daca titlul B scade la 60 u.m., dar pierde si oportunitatea de a investi cele 100 u.m. ale sale

altceva avand un risc echivalent, dar care i-ar fi putut aduce 20 u.m. Astfel, grija sa se refera la diferenta dintre venitul real si cel asteptat (1 u.m.).

Formula de calcul a riscurilor

Cea mai utilizata masura a riscului in teoria investitiei este abaterea standard datorita a trei avantaje pe care le ofera. In primul rad, daca distributia veniturilor aduse de titlu este normala (ca in figura ce urmeaza), avem nevoie doar de marimea profitului scontat si de marimea abaterii standard, pentru a descrie evolutia probabila a oricarui titlu. In al doilea rand, daca urmarim distributia din trecut a marimii veniturilor aduse de titlu, aceasta se apropie foarte mult de distributia normala (cea din figura). Chiar daca aceasta nu este perfect 'normala', este un adevar statistic ca un portofoliu format din astfel de titluri va prezenta o distributie normala. in al treilea rand, abaterea standard este o marime cu care se poate lucra usor.

Masurarea riscului: abaterea standard

P(R₁)

Pentru a calcula abaterea standard se calculeaza mai intai o alta marime 'variatia' care este de fapt patratul primei.

_n

V = ∑ ((E(R) - R_i)² P_i(R_i)) E(R) - profit scontat

ⁱ⁼¹

S = √ V

P_i(R_i) - probabilitatea de a realiza venitul scontat. Daca folosim aceste formule obtinem S_A = 8% si S_B = 46%. Acum investitorul poate alege intre titlul A si titlul B, iar el va prefera actiunea cu un grad mai scazut de risc adica A.

Utilitatea asteptata

Desi toti investitorii sunt reticenti in ceea ce priveste riscul, fiecare va cantari in mod diferit intre risc si profitul scontat. De asemenea, o alta problema pe care si-o pune investitorul este in ce masura investitia facuta ii va afecta avutia sa totala. O posibila pierdere de 1000 u.m. va ingrijora mai putin un milionar fata de o persoana care castiga 100 u.m. pe saptamana.

Conceptul de utilitate ii permite investitorului sa combine atitudinea sa fata de risc si profit la diferite nivele ale avutiei sale intr-o singura marime: utilitatea avutiei. Ea se defineste ca fiind satisfactia pe care un investitor o obtine in functie de diferite niveluri ale avutiei sale. Diferite venituri probabile aduse de o investitie vor duce la diferite niveluri probabile ale avutiei. Daca un investitor stie care este marimea utilitatii (a satisfactiei sale) pe care o obtine la niveluri diferite ale avutiei, el poate calcula utilitatea asteptata din fiecare investitie. Astfel, el va alege acea investitie cu o utilitate asteptata mai mare.

Sa luam exemplul urmator in care un investitor trebuie sa aleaga intre doua actiuni:

Spre deosebire de exemplele anterioare, in acest caz investitiile nu au nici acelasi profit prognozat, nici aceeasi abatere standard. Acum alegerea nu mai este asa de simpla, ea depinde de psihologia investitorului, adica daca el are nevoie de mai mult sau mai putin de 2% profit pentru a accepta un risc suplimentar de 5%. Sa presupunem ca utilitatea avutiei acestui investitor este urmatoarea functie:                                                                                                                  U(W) - 0,1 w-0,000025W²

utilitate

50-

45-

40-

250 500 750 1000 costul investitiei

Acum vrem sa determinam daca investitorul, data fiind functia utilitatii sale va prefera titlul A sau B. Pentru aceasta trebuie sa mai stim marimea avutiei sale care este 500 UM. In aceste conditii putem calcula utilitatea asteptata a investitiei ca o medie ponderata intre utilitatea fiecarei marimi a avutiei rezultate in urma investitiei si probabilitatile acestora de realizare:

_n

EU(W) = ∑ P_i U(W_i)

ⁱ⁼¹

Valoarea investitiei este 100 u.m., iar marimea initiala a avutiei este 500 u.m.

Daca aflam utilitatea initiala a avutiei vom obtine:

U(W) = 0,1(500) - 0,000025(500)²

U(W) = 43,57 u.m.

Observam ca investitorul obtine in ambele cazuri o utilitate mai mare decat cea initiala, dar totusi in cazul titlului B valoarea este mai mare astfel ca il va prefera.

Daca reprezentam grafic functia utilitatii acestui investitor obtinem o curba specifica unui investitor reticent fata de risc, in sensul ca solicita un profit suplimentar pentru a-si asuma un risc sporit. Am vazut acest lucru cand am primit utilitatile asteptate pentru titlurile A si B. Investitorul a ales B pentru ca, in opinia sa cei 2% in plus la marimea profitului depasesc cei 5% de risc suplimentar asumat.

STRATEGIA INVESTITIILOR in VALOR1 MOBILIARE

Teoria portofoliului

Pentru a intelege cum combinarea titlurilor intr-un portofoliu poate reduce riscul, vom analiza mai intai cel mai simplu caz (un portofoliu de 2 titluri) si apoi vom extinde rezultatele pentru orice portofoliu.

Sa presupunem un portofoliu P format din titlul A si titlul B in proportii W₁ si respectiv W₂ astfel incat W₁ + W₂ = 1. Ce putem spune despre riscul lui P, dar despre profitul scontat? Profitul scontat al lui P se calculeaza ca medie ponderata intre profiturile scontate pentru fiecare din cele 2 titluri:

E(R_P) = W₁E(R_A) + W₂E(R_B)

Probabilitatea                % Profit

P(Ri) Titlul A TitlulB

0,25 20 45

0,5 10 25

0,25 0 5

1,00

Profitul scontat E(R_A) = 10% E(R_B) = 25°/c

Variatia V_A = 50% V_B = 200%

Abaterea standard S_A = 7,1% S_B = 14,1%

Exemplul 9. 1

Variatia pentru orice titlu, dupa cum am vazut intr-un capitol anterior, poate fi scrisa:

_n

V = S² = ∑ (R_i - E ( R))² P( R_i)

ⁱ⁼¹

adica probabilitatea fiecarui nivel al profitului R_i multiplicata cu patratul diferentei dintre fiecare R_i si profitul scontat E(R).

In acelasi mod poate fi scrisa si variatia portofoliului

_n

V = S_P² = ∑ (R_pi - E ( R_p))² p( R_pi)

ⁱ⁼¹

dar P este format din W₁ A + W₂ B si inlocuind E ( R_p) obtinem:

_n

V_p = W₁² S_A² + W₂² S_B²   +2W₁ W₂∑ (R_Ai - E ( R_A))( R_Bi - E(R_B))p(R_i)

ⁱ⁼¹

Variatia portofoliului P nu este, ca in cazul profitului scontat, media ponderata dintre S_A² si S_B², avand in plus un termen conex care descrie relatia dintre cele doua titluri A si B. El se numeste covariatie (COV_AB):

_n

COV_AB = ∑ (R_Ai - E ( R_A))( R_Bi - E(R_B))p(R_i)

ⁱ⁼¹

Semnificatia acestei marimi este ca, oricum ar evolua piata (exprimat prin probabilitatile diferite p( R_i) ale fiecarui profit), profitul este comparat cu valoarea scontata pentru ambele titluri. Daca profitul adus de A este mai mare decat valoarea asteptata, iar B de asemenea, atunci COV_AB va fi pozitiv ca si in cazul in care profiturile aduse de A si B ar fi mai mici decat asteptarile. Daca profiturile aduse de A si B sunt in parti diferite fata de profiturile scontate, atunci covariatia va fi negativa.

Pornind de la COV_AB putem defini:

CORR_AB = COV_AB / S_AS_B.

Acest coeficient de corelatie are proprietatea de a lua valori intre -1 si 1. Astfel, daca doua titluri evolueaza in aceeasi directie, coeficientul va avea valoarea de +1. Daca se misca in directii opuse va fi egal cu -1, iar daca sunt independente CORR_AB= 0.

Daca scriem COV_AB = CORR_ABS_AS_B si substituim COV_AB in ecuatia variatiei obtinem:

V_p = W₁² S_A² + W₂² S_B² +2W₁ W₂S_AS_BCORR_AB

Titluri perfect corelate

Sa calculam COV_AB pentru titlurile din exemplul 7. 1 .

₃

COV_AB = ∑ (R_Ai - E ( R_A))( R_Bi - E(R_B))p(R_i) = 0,01

ⁱ⁼¹

Deci CORR_AB = COV_AB / S_AS_B = 1, adica cele 2 titluri se misca perfect la unison. Daca substituim CORR_AB = 1 in relatia anterioara avem:

V_p = W₁² S_A² + W₂² S_B²   +2W₁ W₂S_AS_B = (W₁S_A + W₂S_B)²

Dar S_p=√V

Rezulta S_p = W₁S_A + W₂S_B.

Observam ca in cazul in care CORR_AB = 1, deviatia standard lui P este media ponderata a deviatiilor pentru fiecare titlu. Aceasta inseamna ca nu se pot combina doua titluri cu CORR_AB = 1 astfel incat sa se obtina un avantaj prin reducerea riscului. Figura urmatoare ilustreaza si mai bine acest lucru:

profit scontat %

30

B

20

A

10

7,1 10 14,1 20 risc,%

Figura 91.

Orice combinatie de A si B se va situa pe segmentul AB neobtinandu-se nici o reducere a riscului. Sa privim din nou ecuatia:

V_p = W₁² S_A² + W₂² S_B²   +2W₁ W₂S_AS_BCORR_AB

Daca CORR_AB = 1,      V_p = (W₁S_A + W₂S_B)²

Observam ca, daca CORR_AB < 1, termenul din dreapta va trebui sa fie mai mic decat media ponderata si deci si riscul va fi mai mic decat media ponderata a riscurilor celor doua titluri.

Titluri necorelate

Sa presupunem ca CORR_AB = 0. In acest caz cele doua titluri, A si B sunt complet independente, ele nu sunt influentate de nici un factor comun si orice miscare asemanatoare se datoreaza intamplarii.

Ecuatia anterioara devine:

V_p = W₁² S_A² + W₂² S_B²_AB

Sa luam cazul unui investitor care detine doua titluri identice (ambele avand deviatie de 10% si profitul scontat de 10%) in proportii egale.

Inlocuind, obtinem:

V_p = 1/4 x 0,01+1/4 x 0,01 = 0,005 S_p = 7,1%

Se observa ca deviatia S_p a portofoliului este mai mica decat deviatia fiecarui titlu luata separat. Acest lucru sta la baza reducerii riscului prin pooling. De exemplu, evenimente ca avarierea unei case sau moartea unui individ nu au nici o legatura intre ele, astfel oricare doua polite ce acopera un asemenea eveniment vor fi necorelate cu COV_AB=0. Astfel riscul sustinerii a doua polite va fi substantial mai mic decat suma riscurilor sustinerii fiecarei polite. Din nefericire, profiturile aduse de titlurile cotate la bursa nu sunt independente ca in exemplul anterior.

Titluri necorelate

Sa presupunem ca CORR_AB = 0. In acest caz cele doua titluri, A si B sunt complet independente, ele nu sunt influentate de nici un factor comun si orice miscare asemanatoare se datoreaza intamplarii.

Ecuatia anterioara devine:

V_p = W₁² S_A² + W₂² S_B²_AB

Sa luam cazul unui investitor care detine doua titluri identice (ambele avand deviatie de 10% si profitul scontat de 10%) in proportii egale.

Inlocuind, obtinem:

V_p = 1/4 x 0,01+1/4 x 0,01 = 0,005 S_p = 7,1%

Se observa ca deviatia S_p a portofoliului este mai mica decat deviatia fiecarui titlu luata separat. Acest lucru sta la baza reducerii riscului prin pooling. De exemplu, evenimente ca avarierea unei case sau moartea unui individ nu au nici o legatura intre ele, astfel oricare doua polite ce acopera un asemenea eveniment vor fi necorelate cu COV_AB=0. Astfel riscul sustinerii a doua polite va fi substantial mai mic decat suma riscurilor sustinerii fiecarei polite. Din nefericire, profiturile aduse de titlurile cotate la bursa nu sunt independente ca in exemplul anterior.

Titluri invers corelate

Acesta este cazul cu CORR_AB = -1. Un exemplu de asemenea titluri ar fi cele ale unei firme ce produce inghetata si una care produce umbrele. Prima ar merge bine daca vremea este buna iar cealalta daca vremea este urata.

Ecuatia variatiei devine:

V_p = W₁² S_A² + W₂² S_B² - 2W₁W₂S_AS_B   

sau

V_P = (W₁S_A - W₂S_B)²

adica

S_P = |W₁S_A-W₂S_B|

In acest caz particular, oricand se pot gasi W₁ si W₂ astfel incat S_p = 0 putandu-se forma un portofoliu cu risc 0.

Sa presupunem cazul unui portofoliu format din titlurile A si B ca in exemplul urmator:

Probabilitatea                % Profit

P(Ri) Titlul A TitlulB

0,25 20 45

0,5 10 25

0,25 0 45

1,00

Profitul scontat                                                                           E(R_A) = 10% E(R_B) = 25°/c

Variatia                                                                                 V_A = 50% V_B = 200%

Abaterea standard                                                                                    S_A = 7,1% S_B = 14,1%

Daca alegem proportii egale din A si B astfel incat W₁=W₂= l/2, avem:

E(R_p) = l/2x 10% + 1/2 x 25%.

E(R_p) = 17,5% ca in cazul cu CORR_AB = 1.

Insa riscul acestei combinatii va fi mult mai redus:

Sp=| 1/2 x 0,071 - 1/2 x 0,141 | = 3,5%.

Sa calculam W₁ si W₂ astfel incat S_p =0.

0 = W₁ S_A - W₂S_B adica W₁S_A = W₂S_B

0,071W₁=0,141W₂ sau W₁=2W₂

W₁=2/3 si W₂=l/3 →

In acest caz profitul scontat ar fi:

E(Rp)-2/3x10%+1/3x25%=15%.

Acest portofoliu cu risc 0 este reprezentat in figura de punctul Q.

profit scontat %

30 P B

20

Q

10 A

10 20 risc,%

Figura 9.2

Titluri corelate usor pozitiv

Dupa cum am vazut, daca un investitor poate gasi doua titluri care nu sunt perfect corelate, cu CORR_AB < 1 , el le poate combina intr-un portofoliu, astfel incat sa obtina un profit egal cu media ponderata a profiturilor fiecaruia, cu un risc mai mic decat media

ponderata a celor doua riscuri.

Cu cat doua titluri sunt mai putin corelate, cu atat investitorul le poate combina astfel incat sa reduca mai mult riscul, astfel daca CORR_AB =-1 se poate obtine un risc 0.

Din nefericire, titlurile cotate nu sunt de obicei corelate invers, ci sunt influentate de multi factori comuni. De cele mai multe ori, coeficientul de corelatie va fi usor pozitiv, de exemplu: CORR_AB= 0,3.

Daca inlocuim obtinem:

V_p = W₁² S_A² + W₂² S_B² - +2W₁ W₂S_AS_BX0.3

Reprezentarea grafica a acestei ecuatii este o curba, nu o linie ca in cazul in care CORR_AB = 1. Punctul P ilustreaza un profit scontat de 10% si deviatie de 7,1 % pentru A si un profit asteptat de 25% si deviatie standard de 14,1 % pentru B luate in proportii egale.

R(R_P) = 1/2 x 1 0% + 1/2 x 25% = 1 7,5%

V_p = 1/4 x 0,005 x 1/4 x 0,02+2 x 1/2 x 1/2 x 0,071 x 0,141x 0,003= 0,0078 =>S_P =8,8%.

Profit

scontat

30

20

10

10 20 risc, %

Figura 9.3

Curbele de indiferenta

Mai departe, investitorul trebuie sa aleaga un punct pe curba AB, de obicei punctul in care utilitatea sa e maxima. Pentru a determina acest punct vom desena mai intai curbele de indiferenta, care apoi vor fi folosite si pentru a determina portofoliul optim.

Dupa cum am vazut intr-un capitol anterior, fiecarui investitor i se poate asocia o functie care cuantifica atitudinea sa fata de risc si profit in functie de nivelul avutiei sale. In cazul unui investitor care are aversiune la risc, aceasta functie este descrisa de curba din figura 9.4.

50

45

40

35

30

25

250 500 750 1000

Figura 9.4

Curba implica o relatie de compromis intre risc si profitul scontat.

Aceasta relatie poate fi exprimata mai direct, daca folosim functia utilitatii, pentru a determina curbele de indiferenta ale investitorului.

De exemplu, daca un investitor are nevoie de 10% profit pentru a accepta o deviatie de 12%, iar pentru fiecare 3% in plus deviatie, el necesita 4% profit. Putem desena o curba de indiferenta marcand pe grafic punctele de risc - profit pentru care este indiferent. Astfel obtinem curba I₁ care este crescatoare deoarece pe masura ce riscul creste si profitul creste.

De fapt fiecarui investitor ii sunt asociate o infinitate de curbe I₁, I₂, I₃ El este indiferent in alegerea oricarui punct de pe I₁ sa zicem A sau B, dar nu este indiferent in situatia unor puncte de pe doua curbe diferite. Sa comparam A si A₂. Ambele au acelasi risc, insa profitul in A₂ este mai mare, deci investitorul va prefera sa se situeze pe curba I₂. De fapt, el va incerca sa se situeze pe cea mai inalta curba de indiferenta pentru a-si maximiza utilitatea.

Profit

scontat I₄ I₃ I₂ I₁

20

1 0 A

10 20 risc, %

Figura 9.5.

Profit I₄ I₃ I₂ I₁

scontat

30

B

20

10

A

10 20 risc, %

Figura 9.6.

Daca adaugam graficului curbelor de indiferenta, pe cel al posibilitatilor de a combina doua titluri, A si B cand CORR_AB = 0,3 obtinem figura 9.6. Din aceasta se observa clar cum investitorul prefera titlul A in detrimentul titlului B deoarece primul se afla pe o curba de indiferenta mai inalta.

Investitorul observa, de asemenea, ca poate avea mai multe avantaje prin achizitionarea unui portofoliu P decat daca cumpara numai titluri de tipul A. Insa utilitatea maxima o va obtine investind in portofoliul Q, punct in care una din curbele de indiferenta este tangenta la AB. Aceasta este si cea mai inalta curba pe care va putea intra investitorul, oricare curba de mai sus nu va intersecta AB, deci Q este portofoliul optim.

Deci, in cazul in care A si B nu sunt perfect corelate (CORR_AB = 1), investitorul va putea intotdeauna atinge o curba de indiferenta superioara obtinand o utilitate mai mare, prin achizitionarea unei combinatii de doua titluri.

GENERALIZAREA LA N TITLURI

Rezultatele obtinute pentru un portofoliu de doua titluri le putem extinde pentru un portofoliu de orice marime. Sa presupunem ca avem o combinatie de n titluri, se poate demonstra ca portofoliul rezultant are un profit scontat si o variatie dupa cum urmeaza:

_n

E(R_p) = ∑ W_iE(R_i)

ⁱ⁼¹

_{n n n}

V_p= ∑ W_i²S_i² + ∑ ∑ W_iW_jCOV_ij

^{i=1 i=1 i=1}

W_i - proportiile titlurilor, ∑ Wi = 1.

Desi arata complexa, ecuatia profitului scontat reprezinta de fapt media ponderata a profiturilor asteptate pentru fiecare titlu. Ecuatia variatiei este formata din suma termenilor reprezentand variatia W₁² si S₁² suma termenilor reprezentand covariatia COV_ij. Pentru a putea calcula variatia portofoliului, V_p, avem nevoie pe langa variatia fiecarui titlu din cele n, S_i² de covariatia (COV_ij) sau coeficientul de corelatie (CORR_ij) pentru fiecare pereche de titluri. Pentru cazul cu doua titluri, aveam doar un termen pentru covariatie. In cazul cu n titluri vom avea n² - n)/2 termeni de covariatie.

Oricat de complicata ar parea ecuatia pentru n titluri, principiile de baza se mentin. De exemplu, ca in cazul cu doua titluri, riscul oricarei combinatii de n titluri componente va fi mai mic decat media ponderata a riscurilor titlurilor componente, cu conditia sa nu se intample ca fiecare pereche de titluri sa fie perfect corelata, un eveniment foarte improbabil. De asemenea, si in acest caz apare problema de a decide ce combinatie de n titluri este optima pentru investitor.

Sa presupunem ca n =10, adica investitorul are 10 actiuni din care sa aleaga. El are 1023 posibilitati de a forma un portofoliu din cele 10 titluri, adica

_n n!

C_m =

(n-m)!m!

si o infinitate de proportii diferite in cadrul aceluiasi portofoliu.

profit

scontat

Y

R H

G

P F

E

D

C

X B

A

risc, %

Figura 9.7.

Daca reprezentam grafic toate aceste posibile portofolii (figura 9.7) vedem ca toate se incadreaza intr-o forma asemanatoare unei umbrele. Aceasta pentru ca fiecare pereche din cele 10 titluri este probabil sa aiba o corelatie usor pozitiva si astfel combinatiile pereche de titluri se vor situa pe o curba ce uneste titlurile. Asa rezulta AB, BC Combinatiile de mai mult de doua titluri se vor situa inauntrul sau deasupra umbrelei. Toate aceste posibile combinatii sunt denumite ca fiind setul de oportunitati ale unui investitor.

Curba XY este denumita 'frontiera eficienta' adica toate portofoliile situate pe ea sunt superioare oricarora din setul de oportunitati. De exemplu P ofera un risc mai mic decat G sau R pentru acelasi profit sau un profit mai mare decat C sau Q pentru acelasi risc.

Profit investitorul 2

scontat

%

Y

* O

investitorul 1

* P

X *

A

risc, %

Figura 9.8

Cum alege investitorul intre portofolii eficiente de pe XY? El aseaza curbele sale de indiferenta si afla punctul in care una din ele este tangenta la XY, acest punct reprezentand portofoliul optim.

Implicatii practice pentru investitor

Teoria portofoliului permite deci investitorului, fiind dat un set de titluri, sa aleaga combinatia de titluri care ii va maximiza utilitatea sa. Cum se intampla acest lucru in practica? Pentru fiecare titlu, investitorul trebuie sa estimeze profitul scontat E(R_j), variatia V_j, covariatia COV_ij sau coeficientul de corelatie CORR_ij ,- cu fiecare din celelalte titluri din set.

De exemplu, sa presupunem ca un investitor alege trei titluri A,B,C ca in tabelul urmator:

Date fiind aceste cifre, se pot determina portofolii de pe frontiera eficienta. Pentru acest exemplu, portofoliile eficiente se pot calcula si manual, insa pentru un numar mai mare de titluri este nevoie de un program de computer. Tabelul urmator prezinta cateva astfel de portofolii calculate de computer:                       

Trebuie precizat ca semnul " - " de pe ultimul rand presupune o vanzare short a titlului A, nu intotdeauna posibila.

Cum alege investitorul dintre aceste portofolii eficiente? Daca-si cunoaste functia utilitatii are doua variante: fie calculeaza utilitatea adusa de fiecare portofoliu si o alege pe cea mai mare, fie traseaza curbele de indiferenta si vede una dintre ele care este tangenta la frontiera eficienta.

In practica, probabil investitorul nu-si cunoaste functia utilitatii si nici nu este capabil sa traseze curbele de indiferenta. Ceea ce face el este sa stabileasca un nivel maxim admis al riscului sau un minim de profit. De exemplu, el poate dori ca portofoliul sau sa aiba un nivel minim de risc la un profit scontat de cel putin egal cu inflatia sau poate stabili un nivel de risc de maxim 20% masurat de variatie. In primul caz el alege varianta (4) care aduce un profit scontat de 8,5% iar in cel de-al doilea portofoliul (2) cu o deviatie de 4,4%.

Marimea portofoliului optim

Dat fiind un set de n titluri, investitorul poate alege combinatia optima pentru el. Poate include doar doua titluri sau le poate include pe toate n in functie de corelatiile dintre ele. Intrebarea pe care si-o pune el in primul rand este cate titluri trebuie sa analizeze in prima faza? Ce valoare ar trebui sa aive n? El stie ca diversificand, poate obtine o scadere a riscului, dar pana unde? Micul investitor in particular este interesat de aceasta problema deoarece costurile sale de tranzactionare cresc o data cu numarul de titluri cumparate.

Sa analizam ce se intampla cu un portofoliu pe masura ce creste marimea sa. Daca privim ecuatia variatiei pentru un portofoliu de n titluri vedem ca:

V_p= termenii ponderati ce reprezinta variatia + termenii ponderati ce reprezinta covariatia.

Daca presupunem ca cele n titluri sunt detinute in marimi egale, adica W_i = 1/n pentru fiecare i, se poate demonstra ca importanta termenilor ce reprezinta variatia, scade pe masura ce creste n. Pentru un n suficient de mare riscul portofoliului va depinde doar de covariatii dintre titluri. Evident, daca n tinde sa includa toate titlurile cotate, riscul portofoliului va deveni egal cu riscul pietei.

Insa cat de repede riscul portofoliului scade si tinde sa fie egal cu riscul pietei pe masura ce creste n? Au fost intreprinse diferite experimente asupra unor portofolii selectate aleator dintre titlurile cotate la Bursa londoneza. Au fost formate portofolii de la 1 la 50 de titluri si a fost calculat riscul mediu pentru fiecare marime a portofoliului. Rezultatele sunt ilustrate de Figura 9.9.

riscul mediu

pe actiune -

50 -

40 - 34,5

30 -

20 -

10 -

100 20 30 40 50 numar de actiuni

Figura 9.9.

Se observa cum riscul mediu scade rapid pe masura ce creste numarul actiunilor detinute de la 1 in sus. De fiecare data cand adaugam un titlu, riscul este redus cu o cantitate din ce in ce mai mica si oricate titluri am detine, nu vom putea reduce riscul sub 34,5% (in acest studiu) din riscul detinerii unei actiuni. Acest lucru intareste ideea de mai devreme ca exista un risc comun tuturor titlurilor cotate la bursa care nu poate fi eliminat prin diversificare.

Acest lucru era intuitiv evident deoarece daca cineva ar detine toate titlurile cotate la bursa, nu ar avea o investitie fara risc.

Aceste concluzii au doua implicatii majore asupra investitorilor.

In primul rand, micii investitori au nevoie de doar 10-15 titluri pentru a inlatura cea mai mare parte a riscului ce nu tine de piata din portofoliile lor. De exemplu, prin alegerea aleatoare a 10 titluri un investitor inlatura 90% din riscul nespecific pietei.

In al doilea rand, investitorii institutionali nu au nevoie sa detina portofolii foarte diversificate. Reducerea suplimentara a riscului obtinuta prin detinerea a 50 in locul a 50 de titluri este foarte mica si poate fi usor depasita de costurile suplimentare cu tranzactionarea si monitorizarea pentru inca 100 de actiuni.

Pana acum cand am discutat despre cate titluri ar trebui sa detina un investitor, am considerat o diversificare naiva (o alegere aleatoare a titlurilor) si un nivel mediu de risc pentru diferite marimi ale portofoliului. Acest lucru exclude modalitatea prin care se poate obtine cea mai importanta reducere a riscului pentru un portofoliu printr-o selectie atenta si calcularea frontierei eficiente. S-ar putea sa se gaseasca doua titluri corelate invers. In acest caz portofoliul cu riscul minim ar avea doar doua titluri. Orice alt titlu adaugat ar spori riscul.

Neajunsuri ale teoriei portofoliului

Cand teoria portofoliului a fost prima oara discutata in anii 50, ea nu a avut un succes deosebit printre analisti si investitori.

Aceasta din doua motive:

In primul rand, daca sunt analizate n titluri, este nevoie de estimarea a n profituri, n variatii si (n²-n)/2 covariatii. In aceste conditii, numarul de cifre cu care trebuia sa se lucreze era prea mare, computerele din acea vreme erau lente si scumpe.

In al doilea rand, departamentele de analiza a investitiilor erau organizate pe specificul fiecarei industrii si in aceste conditii cine era sa determine covariatia dintre titlurile unei firme producatoare de cherestea si cele ale unui distribuitor de pantofi?

In orice caz, singura cale de estimare a variatiei si covariatiei prin analiza datelor istorice, presupunand ca factorii ce afecteaza titlurile vor fi la fel si pentru perioada urmatoare. Acest lucru este destul de usor pentru profituri si variatii, insa devine mai dificil pentru covariatii.

Un alt neajuns potential al teoriei portofoliului ar fi faptul ca se refera doar la o perioada, iar investitorii isi gandesc de obicei strategiile pentru cativa ani (sau perioade). Totusi se poate demonstra ca daca se fac anumite constrangeri (de exemplu ca functia utilitatii ar fi logaritmica), investitorul isi va maximiza utilitatea totala considerand fiecare perioada separat, putand folosi teoria portofoliului pe fiecare perioada.

Astfel in ciuda problemelor care le ridica natura complexa a datelor de intrare, teoria portofoliului a inceput sa fie tot mai des utilizata pe masura dezvoltarii computerelor.

De asemenea teoria portofoliilor poate fi aplicata cu succes pentru a determina portofolii optime in context international sau pentru a afla in ce proportii trebuie incluse intr-un portofoliu actiuni, cash, obligatiuni.

CAPM (MODELUL EVALUARII VALORI PIETEI)

Modelul pietei propus de Sharpe

Era inevitabil ca o simplificare a teoriei portofoliului sa apara, dat fiind faptul ca valorile mobiliare par a fi subiectul unor influente comune, cum am vazut in tendinta lor de a se misca impreuna in sus sau in jos.

Sharpe (1963) a venit cu ideea ca profiturile aduse de valorile mobiliare, care dupa cum am vazut sunt pozitiv corelate, sunt intr-o astfel de relatie doar datorita raspunsului lor comun pe piata. Aceasta l-a facut sa presupuna ca profitul unui titlu poate fi exprimat in functie de profitul intregii piete (acesta poate fi aproximat prin folosirea unui index). Astfel ajungem la o ecuatie de forma:

E(R_i) = a_i + b_iE(R_m)

pentru fiecare titlu i, unde E(R_i) este profitul scontat pentru titlul i, iar a_i si b_i sunt constante specifice titlului, iar E(R_m), profitul pietei.

In practica profitul R, nu este neaparat necesar sa fie egal cu valoarea sa scontata, E(R₁) si astfel, daca folosim valori trecute ale profiturilor obtinem o expresie de forma:

R_i = a_i + b_iR_m + e₁

unde R₁ si R_m sunt valorile reale ale profiturilor pentru i si respectiv pentru piata, iar termenul rezidual e₁ reprezinta diferenta intre profitul real si cel scontat. Valoarea scontata pentru e_i este 0.

Un asemenea model presupune totusi niste conditii destul de stricte. El presupune ca singurul factor comun ce influenteaza toate titlurile sa fie profitul pietei. Alte influente comune cum ar fi factori industriali sau alte influente economice sunt ignorate. Evident un asemenea model nu exista in lumea reala. Totusi vom vedea in continuare ca el poate fi aplicat in practica.

Avantajele modelului pietei

Principalul avantaj este ca el reduce radical atat numarul de variabile necesare pentru determinarea portofoliului eficient cat si calculele adiacente. Tot ceea ce avem nevoie este a₁, b₁ si variatia termenului de eroare V(e₁). Acestea se pot calcula prin regresie trasand valorile trecute ale R₁ si R_m. De exemplu, se pot reprezenta profiturile lunare pe ultimii 5 ani ca in figura urmatoare:

R_i profitul actual

al titlului I

b_i

a_i

R_m , profitul actual al pietei

Figura 9.10

Intersectia graficului cu 0 va determina a_i iar b_i , va fi dat de panta dreptei.

Variatia lui e_i, V(e_j) va fi calculata prin regresie de computer.

Urmatorul pas este sa presupunem ca aceste valori se vor mentine si pe viitor pentru fiecare titlu. De asemenea, trebuie estimata variatia pietei V_m si profitul sau scontat E(R_m). In total, avem nevoie de 3n+2 termeni in cazul unei analize a n titluri. De exemplu, pentru un portofoliu de 30 de valori mobiliare teoria portofoliului necesita 495 de termeni si modelul pietei numai 92.

Venitul scontat si variatia fiecarui portofoliu va fi:

E(R_p) = a_p + b_pE(R_m)

_n

V_p = b_p²V_m + ∑ X_i²V(e_i)

ⁱ⁼¹

Unde a_p si b_p sunt mediile ponderate ale constantelor a₁ si b₁ pentru titlurile componente ale portofoliului, iar X_i ponderile.

_n

a_p = ∑ X_i a_i

ⁱ⁼¹

_n

b_p = ∑ X_ib_i

ⁱ⁼¹

_n

∑ X_i = 1

ⁱ⁼¹

Modelul evaluarii valorii pietei

Conditiile modelului

Modelul pietei prezentat mai devreme este atractiv prin simplitatea sa, dar insa nu avem nici un fundament teoretic care sa ne determine sa credem ca-1 putem aplica. Pentru a merge mai departe avem nevoie de cateva restrictii suplimentare:

1. o piata perfecta a valorilor mobiliare, adica o competitie perfecta pe o piata in echilibru ceea ce presupune:

a. fara taxe, costuri de tranzactionare si restrictii la vanzarea short.

b. informatia este gratis si simultana pentru toti investitorii.

c. titlurile pot fi cumparate in orice cantitate.

d. nici un investitor individual nu poate influenta piata vanzand sau cumparand titluri.

2. investitorii sunt toti rationali urmarind sa-si maximizeze utilitatea, toti investitorii cad de acord asupra unei perioade de investitie (o luna sau un an) si au aceeasi parere cu privire la riscul, si profitul acestei perioade.

3. o suma nelimitata de bani poate fi luata sau data cu imprumut cu o dobanda egala cu cea adusa de o investitie cu risc zero.

Daca exista inflatie, ea este pe deplin anticipata in rata dobanzii.

Conditia (1) este evident nerealista si departe de lumea reala. Totusi daca prea multe 'realitati' sunt introduse de-acum in model nu este posibila nici o analiza a relatiei intre profituri sau a comportamentului investitorilor.

Validitatea modelului poate fi testata empiric (pentru a se vedea in ce masura reflecta realitatea din bursa) si eventual unele restrictii pot fi apoi atenuate.

Conditia (2) este importanta deoarece CAPM presupune ca toti investitorii sa aibe acelasi set de oportunitati si aceeasi frontiera eficienta spre deosebire de teoria portofoliului care nu necesita acest lucru.

Conditia (3) este cruciala pentru CAPM deoarece a da si a lua cu imprumut cu un risc zero extinde oportunitatile investitorilor.

In practica, titlul care se apropie cel mai mult de aceste conditii este bonul de tezaur cumparat intotdeauna sub valoarea nominala si rascumparat de guvern la scadenta la valoarea sa nominala. De asemenea, bonurile de tezaur sunt titluri emise pe un termen mai scurt decat obligatiunile guvernamentale, astfel fiind mai ferite de riscurile inflatiei si a ratei dobanzii.

Rezultatele CAPM

Fiind date aceste conditii, mult peste cele necesare teoriei portofoliului, am determinat modelul evaluarii valorii pietei (CAPM), din care putem trage concluzii interesante cu privire la cum sunt corelate riscul si profitul titlurilor si cum ar trebui sa actioneze investitorii.

In primul rand, trebuie spus ca toti investitorii au la dispozitie acelasi set de oportunitati si aceeasi frontiera eficienta XY, ca in figura 9.11, totusi ei pot alege portofolii eficiente diferite in functie de curbele lor de indiferenta, de exemplu P si Q.

profit

scontat Q P¹

Y

P₂ *

P

P₁

R_F X

risc, %

Figura 9.11.

Introducerea posibilitatii de a lua si de a da cu imprumut cu risc zero largeste aria de actiune a investitorului. De exemplu, investitorul care initial a ales P, poate acum sa se miste in sus sau in jos pe curba R_FPP¹. Daca imprumuta bani el se deplaseaza de-a lungul lui PP¹, de exemplu in P₂ , marindu-si riscul investitiei in P cu banii imprumutati. Daca da cu imprumut el se misca de-a lungul lui R_FP, sa zicem in p₁, reducandu-si investitia in P si deci si riscul total. De fapt, posibilitatea de miscare pe dreapta R_FPP¹ permite investitorului sa-si sporeasca utilitatea prin deplasarea spre o curba de indiferenta superioara. In cazul din graficul de mai sus, daca investitorul da cu imprumut si 'ajunge' in P_l el va intersecta o curba de indiferenta superioara si-si sporeste utilitatea.

Sa examinam si alte alternative pe care le are investitorul privind figura urmatoare:

profit M¹

scontat

M₂

M

*

M₁ P

R_F P₁

risc, %

Figura 9.12.

El nu are de ce sa se limiteze la portofoliul P care ar fi optim fara conditia de imprumut cu risc zero. Se poate deduce din figura ca cel mai bine ar fi sa investeasca in portofoliul M si apoi sa dea cu imprumut bani pana ajunge in m₁ pe dreapta R_FMM¹.

M este punctul de pe frontiera eficienta unde dreapta prin R_F este tangenta la frontiera.

De fapt, orice investitor isi poate maximiza utilitatea alegand portofoliul M si apoi miscandu-se pe R_FMM¹ pana ajunge in punctul de intersectie cu una din curbele sale de indiferenta, de exemplu M₁ si M₂ pentru doi investitori. Astfel fiecare va detine o anumita proportie din M si cantitati pozitive de R_F (daca da cu imprumut) si negative (daca ia cu imprumut).

In conditiile CAPM, M trebuie sa reprezinte totalitatea valorilor de pe piata. Astfel, fiecare investitor va detine o mica parte din fiecare valoare de pe piata proportional cu valoarea ei bursiera. Daca se doreste un risc mai mare decat cel al pietei, ei vor imprumuta pentru a cumpara mai mult din M miscandu-se in sus pe R_FMM¹. Daca-si doresc un risc mai mic decat cel al pietei, ei vor detine mai putin M si vor imprumuta cu risc zero banii ramasi (de exemplu comparand bonuri de tezaur).

Modelul pe care 1-am construit pornind de la conditiile anterioare ne sugereaza cum ar trebui sa se comporte investitorii. Faptul interesant este ca ei nu ar trebui sa detina portofolii diferite, ci diferite proportii din acelasi portofoliu M combinate cu cantitati pozitive sau negative de bani investiti cu o dobanda data de riscul zero. Spre deosebire de teoria portofoliului care sugereaza ca fiecare investitor ar trebui sa detina un portofoliu specific lui, CAPM spune ca ar trebui sa avem acelasi portofoliu format din toate titlurile cu risc de pe piata proportional cu valoarea lor bursiera, nu 10 sau 15 titluri, ci cateva mii.

De asemenea CAPM ne furnizeaza informatii despre profit si risc si relatia dintre ele. Sa presupunem ca un investitor detine un portofoliu P pe dreapta R_pMM¹ format dintr-o proportie x din M si o proportie 1-x din R_F ca in figura 9.13.

profit M¹

scontat

M

E(R_p) P 1-x

R_F x

S_p risc, %

Figura 9.13.

Profitul scontat adus de portofoliu va fi:

E(R_p) = R_F (1-x) + xE(R_m) adica E(R_p) = R_F + x(E(R_m)) - R_F (*)

Variatia portofoliului va fi:

V_p = x²V_m

Deoarece variatia investitiei cu risc 0 in R_F este 0, astfel obtinem:

S_p = xS_m deci x = S_p/S_m

Substituind x in ecuatia (*) vom avea:

S_p

E(R_p) = R_F + (E(R_m) - R_p)

S_m²

Aceasta ecuatie este cunoscuta sub denumirea de ecuatia pietei de capital si exprima profirul adus de un portofoliu situat pe R_pMM¹ in ce priveste riscul sau S_p. Ea este utila cand avem de a face cu portofolii de pe dreapta pietei de capital, dar am avea nevoie de o expresie care sa ne dea o relatie intre profit si risc pentru orice titlu nu doar portofolii de pe R_FMM¹. Din ecuatia de mai devreme putem insa deriva aceasta expresie ca fiind de forma:

COV_im

E(R_i) = R_F + (E(R_m) - R_F)

S_m²

Aceasta poarta denumirea de ecuatia titlurilor de pe piata fiind similara cu cea de mai devreme cu deosebirea ca profirul scontat, E(R_i), nu este exprimat in functie de deviatia standard a titlului, S_i, ci in functie de covariatia lui cu piata, COV_im.

In cazul unui titlu cu risc zero, COV_im = 0 (COVi_m S_iSmCORR_im unde S_i = 0) si astfel E(R_i) va fi egal cu R_F. Daca titlul are un anumit grad de risc va fi necesara o prima peste dobanda adusa de un risc zero, care va create o data cu covariatia dintre titluri si piata.
Termenul (E(R_m) - R_F ) S este denumit unitatea de risc a pietei. Pentru fiecare 1% cu care creste COV_im, profitul scontat va creste cu marimea acestei unitati.                                                                                                     

Acest lucru are implicatii importante pentru un investitor cand se gandeste sa adauge un nou titlu portofoliului sau. Singurul risc pentru care va fi el rasplatit va fi cel dat de covariatia dintre titlu si piata, nu riscul total masurat de deviatia standard sau variatie. Aceasta se vede si mai clar daca scriem β = COV_im / S_m² (diferit pentru fiecare titlu i), astfel ecuatia titlurilor devine:

E(R_i) = R_F + β_i (E(R_m) - R_F)

Sau

E(R_i) = a_i+ b_iE(R_m) unde b_i = β_i si a_i =R_F - β_iRF

Acest lucru demonstreaza ca modelul pietei propus de Sharpe este valabil in anumite conditii. Β_i este o masura a sensibilitatii titlului fata de piata si tocmai pentru aceasta detinatorul titlului este rasplatit. Portofoliul M va avea un β = 1, astfel titlurile cu un β < 1 vor fi mai putin riscante decat piata, iar cele cu β ~ 1 vor fi mai riscante ca piata. Companiile cu β < 1 vor fi cele din industriile cu profituri stabile: productia alimentara de exemplu. Firmele cu β > 1 sunt acelea din industriile ciclice, de exemplu constructive unde profiturile fluctueaza.

Insa cum calculam β? Ideal ar fi sa privim in viitor pentru a-1 determina. Daca presupunem, ca si pentru deviatia standard, ca trecutul reprezinta o aproximare suficient de buna pentru viitor, putem trasa ca si pentru modelul pietei al lui Sharpe profiturile trecute R; si R_m, ca in figura 9. 10. β_i va fi panta dreptei de regresie:

R_i = α_i + β_iR_i + e_i unde e_i este termenul de eroare al regresiei

iar V_i = β_i S_m² + S²(e_i)

Ecuatia variatiei de mai sus separa riscul detinerii unui titlu in doua componente: prima, riscul dat de piata si masurat de β_i si riscul specific titlului, S²(e_i). Acesta este denumit si risc diversificabil deoarece poate fi eliminat prin diversificarea portofoliului.

Astfel, ecuatiile de mai devreme ne arata ca detinatorul unui titlu este recompensat doar pentru riscul β nu si pentru cel diversificabil.

Aplicatii practice ale CAPM

Cum ajuta acest model investitorul?

Odata cunoscute riscul si riscul diversificabil S²(e_i) pentru fiecare titlu se poate calcula riscul si profitul oricarei combinatii de titluri, fiind stiute riscul si profitul pietei ca si rata dobanzii cu risc zero.

Aceste informatii sunt in prezent disponibile pentru toate titlurile cotate in US si UK precum si pentru alte piete importante.

Exemplul 9.10. prezinta un extract din raportul Departamentului de Masurare a Riscului al London Business School publicat trimestrial, care furnizeaza toate informatiile necesare pentru a folosi CAPM in analiza actiunilor cotate la Bursa londoneza. Valorile lui p calculate in acest extras deriva din date trecute (profiturile lunare in ultimii 5 ani) prin folosirea regresiei. Utilizarea acestor β presupune ca datele istorice sa fie relevante si pentru viitor. Exista destule dovezi care sa sprijine aceasta ipoteza in special in cazul portofoliilor, de altfel intotdeauna CAPM se preteaza mai bine analizei portofoliilor decat a titlurilor luate individual. De exemplu, daca comparam valorile termenilor de eroare din exemplul 9.10. al actiunilor fondului de investitii Arhimede cu cele ale actiunilor Arley vedem ca in cazul fondului, acesta este mult mai mic: 0,11 fata de 0,25. Acest termen de eroare arata gradul de precizie a estimarii lui β, cu cat este mai mic, cu atat putem avea incredere mai mare in valoarea lui β.

Acum sa presupunem ca un investitor detine valori egale din patru titluri marcate cu (*) in exemplul 9.10. Singurele informatii necesare pentru o analiza completa a raportului risc - profit pentru acest portofoliu sunt profitul pietei si profitul unei investitii cu risc zero. O cale de scurtatura in estimarea profitului pietei este calcularea 'primei de piata', E(R_m) - R_F.

In prezent, marimea acestei valori este destul de controversata. Media acesteia in ultimii 60 de ani a fost de 9%, dar in ultimii ani valoarea primei a scazut, investitorii nemaivazand actiunile atat de riscante, in comparatie cu obligatiunile sau bonurile de tezaur. Astfel, intre 1980 si 1987 s-au folosit in calcule valori intre 3 si 6%. Totusi, dupa Crahul din 1987 valoarea a crescut la cca 7%.

Ceea ce mai ramane de estimat acum este rata profitului unei investitii cu risc zero. Dupa cum am vazut mai devreme, un titlu cu risc zero este greu de gasit. Cea mai buna aproximare ar fi un bon de tezaur pe 3 luni pentru a reduce riscul inflatiei si cel al ratei dobanzii.

Analiza performantei trecute

CAPM poate fi folosit atat pentru estimarea riscului si profitului unui portofoliu, cat si pentru evaluarea performantei trecute a portofoliului. De exemplu, performanta portofoliului poate fi comparata cu ceea ce s-ar fi putut obtine prin aplicarea strategiei recomandate de CAPM, adica detinerea unei anumite proportii din M cu β = 1 combinata cu cantitati pozitive sau negative de R_F. Aceasta din urma strategic este cunoscuta sub denumirea de 'strategie pasiva'. O comparatie a portofoliului de mai devreme cu strategia CAPM ne va arata daca investitorul a avut sau nu dreptate alegand un portofoliu mic ce mai poarta inca un risc diversificabil in loc sa elimine acest risc cu CAPM. Cu alte cuvinte, vom vedea daca strategia 'activa' a investitorului o va 'bate' pe cea pasiva recomandata de β al portofoliului care este media ponderata a β pentru titlurile componente:

β_P = l/4x 0,76 + l/4x 1,07 + l/4x 0,89 + l/4x 1,40

Riscul pietei S_m se calculeaza asupra unui index reprezentativ, de exemplu FT - Actuaries A 1 1 Share Index, valoarea sa in anul de calcul fiind de 20%.

Acum putem calcula riscul specific pietei existent in portofoliu: β_p² S_m² = (l,03²(0,20)²

β_p² S_m²=0.042

Cealalta parte a riscului portofoliului, riscul diversificabil va fi media ponderata a riscurilor diversificabile ale fiecaruia dintre titluri.

_n

(Riscul specific portofoliului)² = S²(e_p) = ∑ (W_i S(e_i))²

ⁱ⁼¹

darW_i = √4

S²(e_p) = 1/16x (0,22)² + 1/16x (0,38)²+ 1/16x (0,31)² + 1/16x (0,56)² S²(e_p) = 0,038

Deci riscul specific (diversificabil) al portofoliului va fi: S(e_p) = 0,19

Se observa cum riscul diversificabil al portofoliului este mai redus decat riscul diversificabil al fiecarui titlu ce alcatuieste portofoliul. Totusi acesta este prezent si reprezinta un element de risc nerasplatit conform CAPM. Vom vedea in continuare daca intr-adevar asa este.

Pentru a completa imaginea riscului portofoliului vom calcula riscul total V_P prin insumarea riscului specific pietei si a riscului diversificabil.

V_P = β_p²S_m² + S²(e_p)

V_P = 0,042 + 0,038

V_P = 0,080

S_P = √V_P = 28%

Acum stim ca deviatia standard a portofoliului considerat este de 28% comparata cu cea a portofoliului M de 20%.

Daca stim si ca dobanda adusa de o obligatiune guvernamentala cu scadenta de un an a fost de 110% si ca profitul pietei a fost de -13% putem calcula profitul unui portofoliu construit conform CAPM, numit portofoliu de referinta care are acelasi β cu portofoliul investitorului: 1,03.

R_R = (l-β_p)R_F + β_PRm,

R_R = -0,03x10%+1,03 x (-13%),

R_R = -13,7%

Putem acum compara acest profit cu cel obtinut prin investitia in portofoliul considerat:

R_m = 1 /4x 18% + 1 /4x (-8%) + 1 /4x (-16%) + 1 /4x 2%

R_P = -l%

Astfel, desi piata in ansamblu a mers prost, investitia in acest portofoliu a depasit strategia CAPM. Tocmai riscul diversificabil retinut a dus la aceasta diferenta fata de portofoliu de referinta:

Cifrele de mai devreme ne reamintesc ce inseamna riscul. Conform CAPM ne asteptam sa obtinem o prima fata de profitul adus de o investitie cu risc zero. Insa profitul pietei in perioada considerata de noi a fost de - 13%, sub profitul cu risc zero de 10%. Astfel, desi ne asteptam sa castigam peste 10%, am pierdut bani. Totusi pe o perioada suficient de mare de timp putem castiga in medie 7% in plus fata de investitia cu risc zero.

Estimarea performantei viitoare

In ce priveste profitul scontat in urma investitiei in acest portofoliu, tot ceea ce are nevoie sa stie investitorul este rata profitului unei investitii cu risc zero si perioada pe care doreste sa investeasca. Sa presupunem ca alege o perioada de un an. Investitorul poate considera ca rata a profitului cu risc zero rata anuala a dobanzii pentru un depozit la vedere. Sa presupunem ca aceasta este de 11% . Prima pietei o consideram din nou 7% . Astfel:

E(R_P) = R_{P +} β(E(R_m - R_P) = 11% + 1,03x7%

E(R_P) = 18%

Acesta este profitul pe care-1 obtine in urma suportarii riscului specific pietei β nu si a riscului diversificabil.

Construirea portofoliului de referinta

Sa vedem cum investitorul mai sus mentionat ar fi putut sa-si construiasca un portofoliu conform CAPM. in primul rand ar fi trebuit sa detina o anumita proportie din portofoliul pietei M. In realitate acest lucru ar fi foarte dificil datorita costurilor de tranzactionare imense presupuse de acest lucru.

O strategie alternativa ar fi sa cumpere actiuni ale unui fond index, un fond special creat pentru a oglindi cat mai bine portofoliul pietei. Acesta este format doar din actiuni (desi ar fi trebuit conform CAPM sa includa toate valorile pietei), in numar de cateva sute, obtinandu-se un β = 1 s i un risc diversificabil aproape de 0.

Aceste tipuri de fonduri au aparut in S.U.A. unde 30% din investitii se fac in astfel de fonduri.

Urmatorul pas conform CAPM ar fi sa imprumute o mica suma de bani pentru a ajunge cu β la 1,03.

O alta alternativa ar fi investitia intr-un portofoliu mai diversificat decat cel considerat mai devreme, care sa aiba acelasi β = 1,03 evitand imprumutul.

De fapt, nici nu este nevoie sa cumpere un numar foarte mare de titluri, deoarece, dupa cum am vazut in capitolul anterior, un portofoliu de 10 actiuni elimina 90% din riscul diversificabil.

Dezavantaje ale CAPM

Pana acum am vazut cat de simpla este aplicarea practica a CAPM. si totusi nu vedem toti investitorii detinand actiuni in fonduri index cu β = 1 combinate cu titluri cu risc zero. In realitate, investitorii detin portofolii diferite fata de cele gasite aplicand teoria portofoliului. Atunci ce nu este in regula cu CAPM?

In primul rand, trebuie amintite conditiile restrictive ale modelului, de exemplu, inexistenta taxelor si a costurilor de tranzactionare. De asemenea, micul investitor care doreste sa puna in joc o suma mica nu va dori sa cumpere o proportie din toate titlurile cotate datorita costurilor mari de tranzactionare raportate la valoarea cumparata.

O alta restrictie, evident nerealista, este ca investitorii nu pot lua sau da cu imprumut cu o dobanda egala cu cea a riscului zero.